1、, 一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（1）,第三講 數(shù)列的極限的性質(zhì)與收斂準(zhǔn)則,授課教師：王利平,1,第一節(jié) 數(shù)列的極限,一、數(shù)列及其簡單性質(zhì),二、數(shù)列的極限,三、數(shù)列極限的性質(zhì),四、數(shù)列的收斂準(zhǔn)則,2,3,3.保號性定理,證,由絕對值不等式的知識, 立即得,a 0 的情形類似可證, 由學(xué)生自己完成 .,4,保號性定理的推論1：,這里為嚴(yán)格不等號時,此處仍是不嚴(yán)格不等號,5,保號性定理的推論2：,在極限存在的前提下, 對不等式兩邊可以同 時取極限, 不等號的方向不變, 但嚴(yán)格不等號也 要改為不嚴(yán)格不等號.,6,證,逆命題成立嗎？,7,證,8,9,解,利用函數(shù)的周期性, 在 xn 中取兩個子數(shù)列:,

2、10,1.單調(diào)收斂準(zhǔn)則,單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限 .,單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限 .,一、數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則,通常說成：單調(diào)有界的數(shù)列必有極限.,11,證,由中學(xué)的牛頓二項式展開公式,12,類似地, 有,13,14,又,等比數(shù)列求和,放大不等式,每個括號小于 1 .,15,綜上所述, 數(shù)列xn是單調(diào)增加且有上 界的, 由極限存在準(zhǔn)則可知, 該數(shù)列的極限 存在, 通常將它記為 e, 即,e 稱為歐拉常數(shù).,16,17,歐拉一身經(jīng)歷坎坷。他于1707年生于瑞士 巴塞爾，20年后卻永遠(yuǎn)離開了祖國。在他76年 的生命歷程中，還有25年住在德國柏林（1741 1766年），其余時間則留在俄國彼得堡。

3、 歐拉31歲時右眼失明，59歲時雙目失明。 他的寓所和財產(chǎn)曾被烈火燒盡（1771年），與 他共同生活40年的結(jié)發(fā)之妻先他10年去世。,歐拉聲譽(yù)顯赫。12次獲巴黎科學(xué)院大獎（17381772年） 曾任彼得堡科學(xué)院、柏林科學(xué)院、倫敦皇家學(xué)會、巴塞爾物理 數(shù)學(xué)會、巴黎科學(xué)院等科學(xué)團(tuán)體的成員。,18,歐拉成就卓著。生前就出版了560種論著，另有更多未 出版的論著。僅僅雙目失明后的 17 年間，還口述了幾本書 和約400篇論文。歐拉是目前已知成果最多的數(shù)學(xué)家。 歐拉聰明早慧，13歲入巴塞爾大學(xué)學(xué)文科，兩年后獲學(xué) 士學(xué)位。第二年又獲碩士學(xué)位。后為了滿足父親的愿望，學(xué) 了一段時期的神學(xué)和語言學(xué)。從18歲開始

4、就一直從事數(shù)學(xué)研 究工作。 歐拉具有超人的計算能力。法國天文學(xué)家、物理學(xué)家阿 拉哥（D. F. J. Arago，17861853）說：“歐拉計算一點(diǎn)也不 費(fèi)勁，正像人呼吸空氣、或像老鷹乘風(fēng)飛翔一樣。”,19,有一次，歐拉的兩個學(xué)生計算一個復(fù)雜的收斂級數(shù)的 和，加到第17 項時兩人發(fā)現(xiàn)在第 50 位數(shù)字相差一個單位。 為了確定究竟誰對，歐拉用心算進(jìn)行了全部運(yùn)算，準(zhǔn)確地 找出了錯誤。特別是在他雙目失明后，運(yùn)用心算解決了使 牛頓頭疼的月球運(yùn)動的復(fù)雜分析運(yùn)算。 歐拉創(chuàng)用 a，b，c 表示三角形的三條邊，用 A，B，C 表示對應(yīng)的三個角( 1748 )；創(chuàng)用 表示求和符號 ( 1755 )； 提倡用

5、表示圓周率（1736）；1727年用 e 表示自然對數(shù) 的底；還用y 表示差分等等。 十八世紀(jì)四十年代，歐拉的一些著作就已傳到中國， 如他在1748年出版的無窮分析引論。,20,2.數(shù)列極限的夾逼定理,設(shè)數(shù)列 xn, yn, zn 滿足下列關(guān)系:,(2),則,想想：如何證明夾逼定理?,21,22,解,由于,想得通吧？,23,解,24,夾逼定理,解,25,解,夾逼定理,26,解,27,3. 柯西收斂準(zhǔn)則,28,證,由柯西收斂準(zhǔn)則可知, 該數(shù)列是發(fā)散的.,29,柯 西 A.L.Cauchy (17891857),業(yè)績永存的 數(shù)學(xué)大師,30,柯西 1789 年8月21日出生于巴黎。父親是一位精通 古

6、典文學(xué)的律師，與當(dāng)時法國的大數(shù)學(xué)家拉格朗日和拉 普拉斯交往密切。少年時代柯西的數(shù)學(xué)才華就頗受這兩 位大數(shù)學(xué)的贊賞，并預(yù)言柯西日后必成大器。在拉格朗 日的建議下，其父親加強(qiáng)了對柯西文學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)，使 得后來柯西在詩歌方面也表現(xiàn)出很高的才華。 18051810年，柯西考入巴黎理工學(xué)校，兩年后以 第一名的成績被巴黎橋梁公路學(xué)院錄取，畢業(yè)時獲該校 會考大獎。1810年成為工程師。1815年獲科學(xué)院數(shù)學(xué)大 獎，1816年3月被任命為巴黎科學(xué)院院士，同年9月，被 任命為巴黎理工學(xué)校分析學(xué)和力學(xué)教授。,31,由于身體欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放 棄工程師工作，致力于純數(shù)學(xué)研究。柯西在數(shù)學(xué)上的最大

7、貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了極限概念，并以極限為基礎(chǔ)建立 了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發(fā)展史上的一個重大 事件，也是柯西對人類科學(xué)發(fā)展所作的巨大貢獻(xiàn)。1821年 柯西提出了極限定義的方法，把極限過程用不等式刻劃 出來，后經(jīng)維爾斯特拉斯改進(jìn)為現(xiàn)在教科書上所說的極限 定義或定義。當(dāng)今所有微積分教科書都還（至少在 本質(zhì)上）沿用柯西關(guān)于極限、連續(xù)、收斂等概念?？挛鲗?定積分作了系統(tǒng)的開創(chuàng)性的工作。他把定積分定義為和的 極限，并強(qiáng)調(diào)在作定積分運(yùn)算前，應(yīng)判斷定積分的存在性。,32,他首先利用中值定理證明了微積分基本定理。通過柯 西以及后來維爾斯特拉斯的艱苦工作，使數(shù)學(xué)分析的基本 概念得到嚴(yán)格化處理，從而結(jié)束了 200 年來微積分在思想 上的混亂局面，并使微積分發(fā)展為現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)、最龐 大的數(shù)學(xué)學(xué)科。 數(shù)學(xué)分析嚴(yán)謹(jǐn)化的工作一開始就產(chǎn)生了很大的影響。 在一次學(xué)術(shù)會議上柯西提出了級數(shù)收斂理論，會后，拉普 拉斯急忙回家，關(guān)起門來，避不見人，直到將他所發(fā)表和 未發(fā)表的與級數(shù)有關(guān)的論文和著作全部檢查一遍，確認(rèn)無 誤為止。,33,柯西一生撰寫的數(shù)學(xué)論著有800多種。他是19 個科學(xué)院 或著名學(xué)術(shù)團(tuán)體的成員。1838年他還被授予男爵封號。他在 學(xué)術(shù)上的貢獻(xiàn)涉及到分析學(xué)、復(fù)變函數(shù)論、彈性力學(xué)、微分 方程、群論、行列式、數(shù)論、解析幾何、數(shù)值分析、微分幾 何