1、第三章 應(yīng)變分析,3-1 相對(duì)位移張量和應(yīng)變張量,3-3 應(yīng)變張量的性質(zhì),3-4 變形協(xié)調(diào)方程,3-5 位移邊界條件,3-2 幾何方程Cauchy方程,3-1 相對(duì)位移張量和應(yīng)變張量,一. 一點(diǎn)的相對(duì)位移張量,P,設(shè) 點(diǎn)的位移分量為,相鄰一點(diǎn),A,A1,P1,位移分量為,兩點(diǎn)間的位移（矢量）差,將 在 處展開，并忽略高階項(xiàng)，則,相對(duì)位移張量一般為非對(duì)稱張量。,相對(duì)位移張量反映了一點(diǎn)相對(duì)位移的總體情況，既包含了因剛體位移產(chǎn)生的相對(duì)位移，又包含了因變形位移產(chǎn)生的相對(duì)位移；,稱為P點(diǎn)的相對(duì)位移張量,二. 轉(zhuǎn)動(dòng)張量,設(shè),若為剛體位移，則,展開,由dxidxj的任意性，其項(xiàng)前系數(shù)為零。即,所以,位移轉(zhuǎn)動(dòng)

2、張量必為反對(duì)稱張量。,滿足此條件的相對(duì)位移張量稱為相對(duì)剛體位移張量或轉(zhuǎn)動(dòng)張量,將相對(duì)位移張量分解為,其中第二項(xiàng),第一項(xiàng)為不包含剛體位移的相對(duì)位移張量，即由變形產(chǎn)生的相對(duì)位移張量。稱為應(yīng)變張量，記為 。,三. 應(yīng)變張量,反對(duì)稱，即為轉(zhuǎn)動(dòng)張量，記為,應(yīng)變張量是對(duì)稱張量,3-2 幾何方程Cauchy方程,建立應(yīng)變與位移的關(guān)系，揭示應(yīng)變張量各分量的物理意義,考察P點(diǎn)，,分別沿 x、y、z正向引三正交線元 r、s、t,變形后P點(diǎn)移動(dòng)到P點(diǎn),三線元的長(zhǎng)度和相對(duì)夾角也發(fā)生變化,將三線元變形前后的位置分別向三坐標(biāo)面投影，建立其應(yīng)變和位移的關(guān)系,投影引起的誤差為高階微量,以向yz平面投影分析為例,設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為

3、 y、z,s、t 的長(zhǎng)度為dy、dz,點(diǎn)P到P 的位移為 v、w,s點(diǎn)到s 的位移為 vs 、ws,由正應(yīng)變的定義,由切應(yīng)變的定義,t點(diǎn)到t 的位移為 vt 、wt,若向xy平面投影同理可得,若向zx平面投影同理可得,綜合之,此方程組表明了應(yīng)變與位移的關(guān)系，稱為幾何方程或Cauchy方程,對(duì)比應(yīng)變張量各分量，可見,應(yīng)變張量分量與工程應(yīng)變的原始定義完全相同，但工程切應(yīng)變是角應(yīng)變分量的2倍，故一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)可由應(yīng)變張量描述,幾何方程可表示為,3-3 應(yīng)變張量的性質(zhì),由于應(yīng)變張量是對(duì)稱二階張量，因此與應(yīng)力張量具有類似的性質(zhì),一. 任意方向的正應(yīng)變和任意兩垂直方向的切應(yīng)變,1.設(shè)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)為ij ，

4、則該點(diǎn)任意方向N (l1 , l2 , l3) 正應(yīng)變,2.設(shè)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)為ij ，兩垂直方向分別為 r ( l1 , l2 , l3 ) 和 s ( l1 , l2 , l3 ) ，則該點(diǎn)rs方向上的切應(yīng)變,二. 應(yīng)變狀態(tài)的坐標(biāo)變換,設(shè)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)在 Oxyz 坐標(biāo)系下的應(yīng)變張量為ij ，旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)系為 Oxyz ，兩坐標(biāo)系間的方向余弦為lij ，則,三. 主應(yīng)變、主方向,設(shè)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)為ij，,過(guò)此點(diǎn)可作任意組三向正交線元，,總存在一組線元在變形前后始終保持正交，即兩兩方向上的切應(yīng)變?yōu)榱恪?將該組線元方向稱為應(yīng)變主方向，沿主方向的正應(yīng)變稱為主應(yīng)變。（該組線元所構(gòu)成的三軸又稱為應(yīng)變主

5、軸，兩兩線元構(gòu)成的平面稱為應(yīng)變主平面。）,由以上定義，類似主應(yīng)力分析可得,1. 主平面（主方向）方程,其中 為主應(yīng)變，lj 為主方向,2. 主應(yīng)變方程（特征方程）,3. 應(yīng)變不變量,三實(shí)根按 1 2 3 排序,4. 最大最小應(yīng)變,最大正應(yīng)變 max 1,最小正應(yīng)變 min 3,最大最小切應(yīng)變,5. 八面體應(yīng)變,八面體表面法線方向的正應(yīng)變,八面體表面上兩正交方向的切應(yīng)變,6. 應(yīng)變強(qiáng)度,四. 體積應(yīng)變和應(yīng)變張量分解,1. 體積應(yīng)變,由正交三線元可構(gòu)成一微元體，考察變形前后微元體體積的變化。,變形前微元體體積,變形后微元體邊長(zhǎng),其中， 表示切應(yīng)變的高價(jià)微量,變形后微元體體積,定義,體積應(yīng)變,可見應(yīng)

6、變張量的第一不變量的物理意義為體積應(yīng)變,考察位移場(chǎng),即,其散度,說(shuō)明應(yīng)變張量的第一不變量或體積應(yīng)變的數(shù)學(xué)意義為位移場(chǎng)的散度,當(dāng) = 0時(shí)，稱為物體是不可壓縮的，因此不可壓縮的條件為：,應(yīng)變張量的第一不變量為零,或,位移場(chǎng)的散度為零,2. 應(yīng)變張量的分解,與應(yīng)力張量的分解類似，可將應(yīng)變張量分解為球張量和偏張量,其中,只有體積改變而無(wú)形狀改變,只有形狀改變而無(wú)體積改變,不變量,3-4 變形協(xié)調(diào)方程,一. 問(wèn)題的提出,1. 根據(jù)連續(xù)性假定，受力物體在變形前后都是連續(xù)的。,3. 由于幾何方程是導(dǎo)出關(guān)系，數(shù)學(xué)上它們之間并不是相互獨(dú)立的，而存在著一定的相互制約關(guān)系。,2. 由幾何方程可知，給定位移函數(shù)ui

7、可唯一地確定應(yīng)變分量ij。,4. 物理上，相互獨(dú)立的應(yīng)變分量不能保證物體的連續(xù)性，物體內(nèi)在變形時(shí)會(huì)出現(xiàn)分裂和重疊。,二. 變形協(xié)調(diào)關(guān)系,應(yīng)變分量間的關(guān)系,考察幾何方程,在xy平面內(nèi),所以,同理，考察yz和zx平面可得,故得第一組變形協(xié)調(diào)方程,考察,故得第二組變形協(xié)調(diào)方程,如果作不同的數(shù)學(xué)運(yùn)算組合可得若干組變形協(xié)調(diào)方程, 若把幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程視為泛定方程組，因僅聯(lián)系九個(gè)量（六個(gè)應(yīng)變、三個(gè)位移），需九個(gè)獨(dú)立方程。而幾何方程有六個(gè)，故在若干組變形協(xié)調(diào)方程中，只有三個(gè)方程獨(dú)立。, 需要指出，變形協(xié)調(diào)方程是應(yīng)變張量的稟性方程。即，滿足變形協(xié)調(diào)方程是任何真實(shí)應(yīng)變張量的必要條件。,3-5 位移邊界條件,給