1、第七章振動,1,1.簡諧振動,振動：某一物理量按照一定規(guī)律在某一定值附近重復變化的現(xiàn)象。 機械振動：物體沿同一路徑在一定位置附近做重復的往返運動。 簡諧振動是振動的基礎。 一、彈簧振子的運動 這種模型叫彈簧振子、簡諧振子、諧振子。 物體受力：,2,如果豎直懸掛，選平衡點為坐標原點，具有同樣的效果。,牛二定律： 二階微分方程 求運動方程：x=x(t) 有x(t)的二階導數(shù)是其自身的負值并乘以一個常數(shù)。,3,其實運動方程還可以由正弦函數(shù)表示： ，則兩式表示同一運動。 凡是以時間的正余弦函數(shù)表示位移的運動都稱為簡諧振動。 事實上，凡是加速度（或角速度）與位移（角位移）成正比而符號相反的運動都是簡諧振

2、動。,4,其微分方程都可表示如下： 對于不同的振動系統(tǒng)， 代表的物理量不同，對于彈簧振子：,5,二、簡諧運動的狀態(tài)參量 1、周期及頻率 是周期函數(shù)，表示運動為周期運動。 故 振動的周期 對于彈簧振子：,6,振動頻率： 彈簧振子： 單位：赫茲（Hz）=1/S 角頻率（圓頻率）： 彈簧振子： 都是由振動系統(tǒng)本身性質決定的，故常稱為固有角頻率、固有頻率、固有周期。,7,2、振幅、相位及初相位 振幅：運動質點離開平衡位置最大位移的絕對值。 由 知，振幅為A。 ：稱為相位（或位相、相位角）。 ： t=0時刻的相位初相位。 簡諧振動的狀態(tài)參量。 下面介紹振幅與初相位的確定： 是積分常數(shù)，由振動的初始條件確

3、定：,8,設初始條件： 則： 振幅取正值， 一般在 之間選取，但在此區(qū)間內，有兩個值的正切值相同，但只有一個是正確的，需同時滿足（1）中兩式。,9,兩同頻率振動的相位比較： 兩振動相位差：,10,2.簡諧振動的速度和加速度,11,3.簡諧振動的能量,彈簧振子的勢能： 其最大值為 ，最小值為0 彈簧振子的動能： 而 動能的最大值，最小值為0,12,彈簧振子的機械能： 即任一時刻，振子的機械能都是 ，保持不變。在平衡位置，勢能為0，動能達到最大值 ；在最大位移處，動能為0，勢能達到最大值 。 在其他位置，動能和勢能都不為零，但二者之和始終是 。,13,由此式可計算任一位置處速度的大小，實際上就是機

4、械能守恒定律；但速度的方向要根據(jù)具體情況確定。,14,由此可見，其在x軸上的投影為： 正好是簡諧振動的運動方程。 簡諧振動的矢量表示法或幾何表示法。,4.簡諧振動的矢量表示法,簡諧振動的表達式： 振幅矢量 自t=0開始，以 為角速度，沿逆時針方向勻速轉動，在t時刻,與 x軸成的角為 。,15,的端點參考點，參考點的運動軌跡為參考圓， 叫振幅矢量，參考點在x軸上的投影位置即為質點位置，投影點的運動即為簡諧振動。 簡諧振動矢量表示在討論振動合成時非常有用。,16,5.單擺和復擺,一、單擺 用角位移 描述質點的位置。起恢復作用的力： 把 展開成級數(shù)： 當 很小時，級數(shù)快速收斂。,17,牛二定律： 這

5、里： 條件： ，線不可伸長，小球可看成質點。,18,二、復擺 一剛體繞一固定的水平軸在重力作用下，作微小擺動，且水平軸不通過質心，這樣的系統(tǒng)復擺。 當 很小時，,19,由轉動定理知： 另外 這就提供了一種測量不規(guī)則物體的轉動復擺慣量的方法。,20,6.簡諧振動的合成,一、同方向同頻率的簡諧振動的合成 兩振動在同一直線上， 合成位移應為二者的代數(shù)和,21,結論：同方向同頻率的兩個諧向振動合成后，仍是一個簡諧振動，且振動方向不變，頻率不變。,22,其實用矢量表示更為簡單： 討論：,23,二、同方向不同頻率的簡諧振動的合成 為簡單，設兩振動的振幅相同，初相位相同 同向： 和差化積： 一般情況下，不易

6、感覺到振幅的周期性變化。,24,當 較大，而 很小時，振幅的周期性變化非常明顯。 兩頻率都較大，但頻率差很小的同方向的振動合成所產生的合振動作周期性加強和減弱的現(xiàn)象拍。 振幅最大值為2A，最小值為0,25,下面討論振幅的周期和頻率： 隨時間的變化相對于 來說要慢得多，甚至可以近似看做不變化 可看近似看做是振幅為 角頻率為 的簡諧振動。 對余弦函數(shù)的絕對值來說，角度變化，對應一個周期。,26,合振動的角頻率 頻率： 拍的應用：用音叉校準鋼琴，外差式或超外差式收音機，就利用了收音機固有頻率與所接收的電磁波頻率產生拍頻的原理。,27,三、兩個互相垂直的同頻率的簡諧振動的合成 同一質點參與這樣的兩個振

7、動，質點一般不會在一條直線上運動，而是做平面運動。 而簡諧振動： 設法消去t，可得質點的軌跡,28,討論： 1）兩振動相位相同 為一過原點的直線，斜率為 質點到原點的距離： 此時合振幅仍是一個簡諧振動，頻率仍為 振幅為 且在直線,2）兩振動相位相差， 為一過原點的直線，斜率為 同樣得到： 其中,30,3）兩振動相位差為 軌跡方程運動方向 當 時，x= , t增大量，x為 正，y為負， 即到II象限，故為順時針方向。,31,4）相位差為 橢圓，逆時針，自己討論。 5）其他情況下，為其他方向的橢圓,32,四、兩個互相垂直的不同頻率的簡諧振動的合成 1）頻率相差很?。?循環(huán)依次變化。,33,2）二振

8、動頻率成簡單倍數(shù) 利薩如圖形（Lissajous）. 共同特點：即如作一水平直線和一垂直直線，位置的選擇要使直線與圖形交點最多。,34,分別計算各直線與圓形的交點數(shù)，則有 水平直線與圓形的交點 垂直直線與圖形的交點 則頻率： 應用：在電學中，經常利用利薩如圖從一已知頻率的信號，求另一個未知信號的頻率。具體使用示波器皿。,35,7.阻尼振動,振幅隨時間而減小的振動叫阻尼振動。它不是簡諧振動。 以振動系統(tǒng)受介質粘滯阻力的振動為例： 當質點速度不太大時，粘滯阻力與速度的大小成正比： 即 阻力系數(shù),36,由牛二定律：,37,這一方程的解分三種情況： 1）阻力較?。?解為： 方向變換周期： 阻尼振動周期

9、 大于無阻尼振動簡諧振動的周期,38,2）阻力較大 解為： 這種情況稱為過阻尼，不振動，逐漸停止在平衡 位置。,39,3）如 解為： 這種情況稱為臨界阻尼，即剛剛不能振動，很快回到平衡位置。 阻尼的應用： 精密天平 靈敏電流計 加大阻尼，最好加到臨界阻尼的程度，此時回到平衡位置最快。,40,8.受迫振動,不受外力作用下的振動叫自由振動。只受彈性力或準彈性力和粘滯阻力作用的振動系統(tǒng)，其振幅總是隨時間衰減，振動不能持久。如果要使振動持久不衰，就必須由外界不斷供給能量。振動系統(tǒng)在外界強迫力作用下的振動，叫做受迫振動。 設周期性外力： f=Hcospt f強迫力， H強迫力的振幅， p強迫力的角頻率,

10、41,一、動力學方程及周期,42,該方程的解為： 當只剩第二項： 將此特解代入原微分方程得到：,43,二、穩(wěn)定受迫振動的振幅,討論強迫力的角頻率p對振幅的影響 P比系統(tǒng)的固有頻率大得多 P比系統(tǒng)的固有頻率小得多 時，,44,三、共振,求 的最小值 令一階導數(shù)等于零 即 即 即 時，A最大。,45,受迫振動振幅出現(xiàn)最大值的現(xiàn)象共振現(xiàn)象。 共振角頻率 振幅 受迫振動與強迫力的相位差,46,由(1)、(2)、(3)可知：受迫振動與強迫力的相位差都與系統(tǒng)的固有頻率、阻力有關。 越小， 接近 ， 越大 如此時叫尖銳共振 此時受迫振動落后于強迫力 由圖可知：阻力對振幅的影響主要是在共振區(qū)域。,47,應用： 1）要得到大的振幅：使P接近共振頻率， 減少阻尼因數(shù)。 2）要得到小的振幅：使P與共振頻率相差很大， 增大阻尼因數(shù)。 （1）的應用：利用超聲波清洗金屬元件 （2）的應用：加厚機器底座。,48,四、受迫振動與強迫力的相位差,即強迫力的速度的相位差為,49,強迫力與速度方向相同時，做正功，相反時，做 負功。 如正功負功，v增大，則阻力增大，阻力做負功增加， 當正功=負功+阻力做負功時，振幅穩(wěn)定。 但如 即速度與強迫力相位相同，強迫力只做正功。,50,本章主