1、高三講座,第十三講,不等式的性質(zhì)與不等式證明,學(xué)過什么？,1不等式的定義：,2不等式的性質(zhì)：,推論：若ab，且cd，則a+cb+d（同向，可加性）,（1） （對(duì)稱性）,（2） （傳遞性）,（3） （加法不變性）,學(xué)過什么？,3不等式的證明的方法：,比較法、綜合分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等,高考要求,1理解不等式的性質(zhì)，能夠?qū)π再|(zhì)進(jìn)行證明,4能根據(jù)不等式的性質(zhì)判定一些命題或已知不等式的正確 錯(cuò)誤，能正確使用特殊值法，判斷不等式的正誤,3掌握證明不等式的幾種基本方法，會(huì)證明一些簡單的不等式,2掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它 們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡單的應(yīng)用,考過什么？,C,考

2、過什么？,c(ba)0正確,分析：,ac0說明a、c異號(hào)，又cba a0，c0,Abc，a0 abac正確,Bc0，ba0,D中ac0，ac0 ac(ac) 0正確，只有C中,ba，由于b未說明是否大于零, 不一定成立c0，,則 也不一定成立,選（C）,B,考過什么？,a0，b0,分析：,（A）成立,則,（C）成立,考過什么？,考過什么？,又 時(shí)， ， ，,兩邊平方得 顯然成立,（D）成立,在（B）中，,若ab，則ab0, 應(yīng)恒成立,但從上式看出，a與b之間尚有制約性,選（B）,D,考過什么？,分析：,考過什么？,0ba1 ， A，B顯然成立,ba1， ，則成立,若令,檢驗(yàn)，D不成立,選（D）

3、,考過什么？,B,考過什么？,分析：,ab0,，各A、B、D中的 不能成立,又b0，b0,aba,又ab0，,（C）中 不成立,又ab0，,則 成立,對(duì)于 若成立，則abb0,a2b0這個(gè)結(jié)論不一定成立，,因此，只有（B）中兩個(gè)結(jié)論均不成立,選（B）,考過什么？,考過什么？,考過什么？,分析：,有條件ab0，可推出 ，,但從 不一定能推出ab0，只能是 ,條件ab0只能定 的充分不必要條件,選（A）,1注意不等式的性質(zhì)中左側(cè)表示實(shí)數(shù)的運(yùn)算 性質(zhì)，右式反映的是實(shí)數(shù)的大小順序，合 起來即為實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的 關(guān)系這是不等式一章的理論基礎(chǔ)，是不等 式性質(zhì)的證明，證明不等式和解不等式的主 要

4、依據(jù),2比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的大小，歸結(jié)為判斷它 們的差ab的符號(hào)，這又必然歸結(jié)到實(shí)數(shù) 運(yùn)算的符號(hào)法則因此，實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào) 法則是學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ),3復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)時(shí)，要注意將不等式 的性質(zhì)與等式的性質(zhì)類比注意它們之 間的區(qū)別，主要表現(xiàn)在與數(shù)相乘（除） 時(shí)，不等式兩邊所乘（除）的數(shù)的符號(hào) 不同，結(jié)論是不同的,4在均值不等式的復(fù)習(xí)中， 與 成立的條件是不同的前 者只要求a，b為實(shí)數(shù)，而后者要求a，b 為正數(shù)，這兩個(gè)公式都是帶有符號(hào)的不 等式因此對(duì)其中“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取 號(hào)”這句話的含義要搞清楚,5能利用“均值不等式”證明的不等式，用 其它證明方法一樣可證因此，均值不 等式就是利用這些方法證明的，要利

5、用 均值不等式求函數(shù)的極值時(shí)，一定要注 意不等式使用的條件及等號(hào)能否成立， 不可亂用,6不等式證明的方法很多，要注意恰當(dāng)選 擇方法，可使證明簡化,例題解析,例題解析,解： ，令,由此知,可猜測(cè)CABD,CA,例題解析,AB, BD,綜上：CABD,例題解析,本題我們采用了賦值法（特殊值法），先行猜想，使問題得以簡化、明朗注意賦值法是解選擇題、開放題等常用的方法，它可將復(fù)雜問題簡單化，是我們常用的數(shù)學(xué)思想,考過什么？,例2設(shè) ，且 ，試比較 與 的大小,考過什么？,解：,當(dāng) ab0 時(shí)， ，ab0，,所以,則 ，,考過什么？,當(dāng) ba0時(shí)， ，ab0，, ,綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù) a、b 都

6、有 ,則仍有 ，,考過什么？,使用作商比較時(shí)，一定要注意a0、b0，解題的關(guān)鍵在于變形的第二步，得出 注意討論ab，還是ba，一般說來，變形越徹底越有利于下一步的判斷,考過什么？,例3解答下列各題：,1已知： ，求函數(shù) 的最大值,2已知： ，且 ，求 的最小值,3已知：a、b為實(shí)常數(shù)，求函數(shù)的 最小值,考過什么？,1已知： ，求函數(shù) 的最大值,考過什么？,解：,當(dāng)且僅當(dāng),考過什么？,（不滿足 條件）,x =1 時(shí)，y 有最大值 1,考過什么？,2已知： ，且 ，求 的最小值,考過什么？,解法一：,當(dāng)且僅當(dāng) ，且,即 x = 4，y = 12,故 x = 4，y = 12 時(shí),考過什么？,解法二

7、：由 ，得 （定值）,又知 x1，y9，,即 x = 4，y = 12 時(shí)，,所以當(dāng)且僅當(dāng) x1y93 時(shí)，,考過什么？,3已知：a、b為實(shí)常數(shù)，求函數(shù)的 最小值,考過什么？,解：,當(dāng) ，即 時(shí)，,考過什么？,從以上三個(gè)小題，可知“均值不等式”的使用，注意了“和”“積”的轉(zhuǎn)換，達(dá)到了“放縮”目的解題時(shí)要?jiǎng)?chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊的成因在于使等號(hào)能夠成立另外還要注意“和定積最大，積定和最小”,考過什么？,考過什么？,解：, ，且a、b、m、n均正,ab，mn,考過什么？,即 ,故上式分子中,分子0，分母0,則,即,考過什么？,現(xiàn)在試題中“不等式證明”

8、很少，改為在一定條件下比大小，其解題方法仍同于不等式的證明（只不過未確定大?。┨貏e注意作差比較法中，代數(shù)式的恒等變形分解因式，乘法公式的運(yùn)用,考過什么？,例5設(shè)p0，q0 且 ，則pq2,分析：欲證pq2，可從其反面入手，證明pq2是不可能的,證：設(shè)pq2，由, ，,而,考過什么？, pq2,即, 是不可能的，,pq2也是不可能的，,則 ,解后思考：在證明不等式或比大小時(shí)，可以直接證明，也 可以利用間接證明的方法，如反證法，從另一 個(gè)角度考慮，證明有時(shí)可以取得更佳的效果,考過什么？,考過什么？,證明：abc1 ab1c ,平方，得 ,代入得,考過什么？,即,解出,考過什么？,注意不等式與函數(shù)，方程之間的聯(lián)系，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為求一個(gè)字母 c 的取值范圍，使證明變得更加靈活,課后練習(xí),D,A,課后練習(xí),B,課后練習(xí),B,課后練習(xí),C,課后練習(xí),B,課后練習(xí),pq,提示：,課后練習(xí),提示： ，,若 ，,則,課后練習(xí), ，若