1、數(shù)學(xué)實驗,合金工廠的 生產(chǎn)規(guī)劃,數(shù)學(xué)既不嚴峻，也不遙遠，她和幾乎所有的人類活動有關(guān)，還讓每個對她感興趣的人受益。 R.C.Buck,數(shù)學(xué)是理解世界及其發(fā)展的一把主要鑰匙 。 里約熱內(nèi)盧宣言,數(shù)學(xué)規(guī)劃是運籌學(xué)和管理科學(xué)中應(yīng)用級廣泛的分支，在多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)規(guī)劃的使用如此成功以至它超出運籌學(xué)的范疇，成為人們?nèi)粘５囊?guī)劃工具。,數(shù)學(xué)規(guī)劃包括線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，幾何規(guī)劃和多目標規(guī)劃等，每種規(guī)劃包含無數(shù)的實例，由于計算量的巨大，算法問題是極為重要的。,實際問題,由于A、B、C三種元素都是原料市場上十分緊缺的貨品, 工廠每月所能得到的這些元素的供應(yīng)量分別為200kg、200kg和360kg. 工

2、廠生產(chǎn)每噸甲種合金的利潤為30萬元，生產(chǎn)每噸乙種合金的利潤為40萬元.,某合金工廠生產(chǎn)甲、乙兩種合金， 生產(chǎn)每,A元素20 kg、 B元素40 kg和C元素90 kg，,噸甲種合金需用,而生產(chǎn)每噸乙種合金需用,A元素100 kg、B元素80 kg和C元素60 kg.,試問：該工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤？,數(shù)學(xué)模型,設(shè)每月生產(chǎn)甲種合金x1 噸，乙種合金x2 噸，利潤為 u 萬元, 那么 u= 30 x1+40 x2 要求何時有 max u= max (30 x1+40 x2),x1, x2 滿足約束條件,線性規(guī)劃問題,求最優(yōu)解,二元一次方程 a1x1+a2x2 =b 代表x1 x2平面

3、上的一條直線，而二元一次不等式a1x1+a2x2 b則代表了以此直線為界的半平面,圖解法,a1x1+a2x2 =b,a1x1+a2x2 b,這問題中約束條件意味著五個半平面的交集. 它是一個包含邊界的凸多邊形OPQRS,線性規(guī)劃的 容許集,x2 p Q R 0 S x1,x2 p Q R 0 S x1,30 x1+40 x2= u,將u視作參數(shù)，則30 x1+40 x2= u代表一條直線，隨著u的增或減，直線向右上或左下方平移. 若直線經(jīng)過容許集的某頂點時再增減將使直線離開容許集，則此臨界狀態(tài)直線所對應(yīng)的u 的就是所求的最大值，所過頂點的坐標就是問題的最優(yōu)解,從圖看出最 優(yōu)解應(yīng)為R點,最優(yōu)解在

4、R點，由R是直線40 x1+ 80 x2= 200與直線90 x1+ 60 x2= 360的交點,可得最優(yōu)解為x1=3.5, x2=0.75,此時有最大值為u=135. 說明安排月生產(chǎn)甲、乙種合金分別為3.5噸、0.75噸t，才能獲得最大利潤135萬元,問題的解答,圖解法的局限,畫圖并不方便，可以不畫圖而求出容許集所有的頂點，再將目標函數(shù)在這些頂點上的值加以比較來求出最優(yōu)解.但在約束條件多或多變量時，也是難以做到的,單純形法,基本思路是：線性規(guī)劃(通常是求最小值的形式)若有最優(yōu)解，其必定在容許集(在相應(yīng)幾何空間中是一個凸多面體)的頂點達到，故從某一個頂點出發(fā)，沿著凸多面體的棱向另一頂點迭代，使

5、得目標函 數(shù)的值下降,經(jīng)過有限次 迭代,將達到最優(yōu)解點.,利用Mathematica,單純形法的計算是線性規(guī)劃算法中極為重要的內(nèi)容,In1:= ConstrainedMin-30 x1- 40 x2， 20 x1+100 x2 -, x2 - - 2 4,關(guān)于線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)軟件,Matlab 不僅有處理線性規(guī)劃的功能，而且有處理非線性規(guī)劃的功能(在工具箱optimization toolbox),當(dāng)變量和約束條件個數(shù)增加時(數(shù)百甚至數(shù)千個是“小規(guī)模”的，往往是幾萬或幾十萬個)，需要更有效的軟件,Soplex, GULF, PCx 為免費軟件,基于Kamarker算法的Bell實驗室的商用軟件價

6、格昂貴,實驗任務(wù),1. 藥房有兩種復(fù)合維生素制劑，甲種每粒含維生素A、B各1克， D、E各4克和C 5克，乙種每粒含維生素A 3克，B 2克、D 1克、E 3克和C 2克，一顧客每天需攝入維生素A不超過18克、B不超過13克、D不超過24克和E至少12克，問： (1)每天應(yīng)服兩種維生素各多少才能滿足需要而且盡可能攝入較多的維生素C？ (2)甲種復(fù)合維生素每粒1.5元，乙種復(fù)合維生素每粒1元，選擇怎樣的服法才能花最少的錢而又滿足每天的需要，此時顧客攝入的維生素C是多少？,2.某工廠準備制造一批設(shè)備，每件設(shè)備需要7根2m長和2根7m長的鋼梁，鋼梁由150根長15m的鋼材截成，問如何截取鋼材能使產(chǎn)生

7、的廢料最少？ 以上兩題(至少第1題)用圖解法求解,3.農(nóng)場有A、B和C三塊地，分別是200 km2、400 km2和600 km2，計劃種植水稻、大豆和玉米，要求三種作物的最低收獲量分別為375 t、120 t和750 t.估計各塊地種植三種作物的單產(chǎn)(單位:t /km2)如表所示 A B C 水稻 11.250 9.750 9.000 大豆 6.000 6.750 5.250 玉米 15.000 13.500 12.750,4.鑄鐵廠要生產(chǎn)一種規(guī)格的鑄件共10 t.其成分要求為：錳含量至少達到0.45,硅含量允許在3.255.5，市場有充分的錳和三種不同型號的生鐵可供作鑄件的爐料使用，它們價格是錳每千克75元，A種生鐵每噸1700元，B種生鐵每噸1900元， C種生鐵每噸1400元.三種生鐵含錳和硅的成分百分比()如表所示 A B C 錳 0.40.5 0.35 硅 41 0.5 若不計冶煉鑄造過程中的損耗，問工廠怎樣選 擇爐料能使成本最低？,應(yīng)如何制訂種植計劃能使總產(chǎn)量最高？又若作物的售價為水稻元/t ,大豆元/t ,玉米950元/t ,那么應(yīng)如何制訂種植計劃能使總收益最高？,6.某牧場所飼養(yǎng)一批動物，平均每頭動物每天至少需要700g蛋白質(zhì)、30g礦物質(zhì)和100g維生素.現(xiàn)在有甲、乙、丙、丁和戊五種飼料可選用，每千克飼料的營養(yǎng)成分(單位：g)與價格(單位：元/