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1、齊次方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第三節(jié),一、齊次方程,*二、可化為齊次方程,第十二章,一、齊次方程,形如,的方程叫做齊次方程 .,令,代入原方程得,兩邊積分, 得,積分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分離變量:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 解微分方程,解:,代入原方程得,分離變量,兩邊積分,得,故原方程的通解為,( 當(dāng) C = 0 時, y = 0 也是方程的解),( C 為任意常數(shù) ),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 解微分方程,解:,則有,分離變量,積分得,代回原變量得通解,即,說明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x

2、 也是原方程的解, 但在,(C 為任意常數(shù)),求解過程中丟失了.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,可得 OMA = OAM = ,例3. 在制造探照燈反射鏡面時,解: 設(shè)光源在坐標原點,則反射鏡面由曲線,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成 .,過曲線上任意點 M (x, y) 作切線 M T,由光的反射定律:,入射角 = 反射角,取x 軸平行于光線反射方向,從而 AO = OM,要求點光源的光線反,射出去有良好的方向性 ,試求反射鏡面的形狀.,而 AO,于是得微分方程 :,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,利用曲線的對稱性, 不妨設(shè) y 0,積分得,故有,得,(拋物線),故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面.,于是方

3、程化為,(齊次方程),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,頂?shù)降椎木嚯x為 h ,說明:,則將,這時旋轉(zhuǎn)曲面方程為,若已知反射鏡面的底面直徑為 d ,代入通解表達式得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,( h, k 為待,*二、可化為齊次方程的方程,作變換,原方程化為,令, 解出 h , k,(齊次方程),定常數(shù)),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化為,令,(可分離變量方程),注: 上述方法可適用于下述更一般的方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 求解,解:,令,得,再令 YX u , 得,令,積分得,代回原變量, 得原方程的通解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,得 C = 1 ,故所求特解為,思考: 若方程改為,如何求解?,提示:,作業(yè) P276 1(1),

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