1、1,17.1勾股定理（1）,人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)（下）,武夷山三中數(shù)學(xué)組,b,a,c,a2+b2=c2,2,一、 教材分析 （一）教材所處的地位及作用： 勾股定理是人教版新課標(biāo)八年級(jí)數(shù)學(xué)第十七章第一節(jié)第一課時(shí)內(nèi)容，勾股定理是學(xué)生在已經(jīng)掌握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，是幾何中幾個(gè)重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三邊的數(shù)量關(guān)系，它可以解決直角三角形中的計(jì)算問題，是解直角三角形的主要根據(jù)之一，在實(shí)際生活中用途也很大。從學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)上看，它把形的特征轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，架起了幾何與代數(shù)之間的橋梁；勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和應(yīng)用蘊(yùn)含著豐富的文化價(jià)值，是對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育的良好素材，因此具有相當(dāng)

2、重要的地位和作用，學(xué)好本節(jié)至關(guān)重要。,3,（二）教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能：了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定理，初步會(huì)用它進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算。培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、推理的能力。通過拼圖活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展形象思維。2、過程與方法：經(jīng)歷“觀察猜想歸納驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，發(fā)展合情合理的推理能力，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”和“特殊到一般”的思想方法。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀： 通過了解勾股定理的歷史，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國(guó)，熱愛祖國(guó)悠久文化的思想激勵(lì)學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí)。讓學(xué)生體驗(yàn)自己努力得到結(jié)論的成就感，體驗(yàn)數(shù)學(xué)充滿了探索和創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)之美，探究之趣。

3、鍛煉克服困難的勇氣，培養(yǎng)合作意識(shí)和探索精神。,4,（三）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：是勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和應(yīng)用。難點(diǎn)：是用拼圖方法、面積法證明勾股定理。,5,二、學(xué)情分析： 前面，學(xué)生已具備一些平面幾何的知識(shí)，能夠進(jìn)行一般的推理和論證，但如何通過面積法（拼圖法）證明勾股定理，學(xué)生對(duì)這種解決問題的途徑還比較陌生，存在一定的難度，針對(duì)這個(gè)問題我將本課的教法和學(xué)法體現(xiàn)確定如下：,6,1、教法分析：針對(duì)八年級(jí)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課采用探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)，提供適當(dāng)?shù)膯栴}情境由淺入深，由特殊到一般地提出問題。引導(dǎo)學(xué)生自主探索與合作交流的空間，引導(dǎo)學(xué)生有目的地進(jìn)行探索。通過演示實(shí)物，并利用教具與多媒體進(jìn)行

4、教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、分析、證明，提高學(xué)生動(dòng)手操作能力，以及分析問題和解決問題的能力。使學(xué)生得到獲得新知的成功感受，從而激發(fā)學(xué)生鉆研新知的欲望。這種教學(xué)理念反映了時(shí)代精神，有利于提高學(xué)生的思維能力，能有效地激發(fā)學(xué)生的思維積極性。,7,2、學(xué)法分析: 在教師的組織引導(dǎo)下，采用自主探索、合作交流的研討式學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生通過觀察、分析、討論、操作、歸納，理解定理獲取知識(shí)，掌握方法，借此培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口的能力，發(fā)表自己見解和展示自己才華的機(jī)會(huì)；更希望教師滿足他們的創(chuàng)造愿望。發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。,8,2002年在北京召開國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì),9,你聽說過勾股定理嗎？,這個(gè)

5、圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時(shí)用到的，被稱為“趙爽弦圖”,這就是本屆大會(huì)會(huì)徽的圖案,10,在我國(guó)古代，人們將直角三角形中的短的直角邊叫做勾，長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦根據(jù)我國(guó)古算書周髀算經(jīng)記載，在約公元前1100年，人們已經(jīng)知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形三邊之間的關(guān)系：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是勾股定理。,章前圖中左下角的圖案有什么意義？為什么選它作為2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽？,本章我們將探索并證明勾股定理及其逆定理，并運(yùn)用這兩個(gè)定理去解決有關(guān)問題，由此可以加深對(duì)直角三角形的認(rèn)識(shí)。,勾 股 定 理,11,讀

6、一讀,勾 股 世 界 我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即“勾三、股四、弦五”。故稱之為“勾股定理”或“商高定理” 。圖1-1稱為“弦圖”，最早是由公元前3世紀(jì)我國(guó)漢代的數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)注解時(shí)給出的. 趙爽利用它來證明勾股定理。在這本書中的另一處，還記載了勾股定理的一般形式。,弦,股,勾,圖1-1,圖1-1,這樣的引入可喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，激發(fā)學(xué)生對(duì)勾股定理的興趣，從而較自然的引入課題。,12,讀一讀,勾 股 世 界 1945年，人們?cè)谘芯抗虐捅葌惾诉z留下的一塊數(shù)學(xué)泥板時(shí)，驚

7、訝地發(fā)現(xiàn)上面竟然刻有15組能構(gòu)成直角三角形三邊的數(shù)，其年代遠(yuǎn)在商高之前。 相傳二千多年前，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。,畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年。 相傳，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派找到了勾股定理的證明后，欣喜若狂，殺了一百頭牛祭神，由此，又有“百牛定理”之稱。,13,畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，相傳2500年前，一次，畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，高談闊論，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚地而發(fā)起呆來原來，朋友家的地是用一塊塊直角三角

8、形形狀的磚鋪成的，黑白相間，非常美觀大方主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過去問他誰(shuí)知畢達(dá)哥拉斯突然恍然大悟的樣子，站起來，大笑著跑回家去了。,看似平淡無(wú)奇的現(xiàn)象有時(shí)卻隱藏著深刻的道理。,通過講述故事來進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在不知不覺中進(jìn)入學(xué)習(xí)的最佳狀態(tài)。,14,同學(xué)們，我們也來觀察下圖地面，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？是否也和大數(shù)學(xué)家有同樣的發(fā)現(xiàn)呢？,原來古希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯從朋友家的地磚鋪成的地面上發(fā)現(xiàn)了:直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系。,A、B、C的面積有什么關(guān)系？,可以發(fā)現(xiàn)，以等腰三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積。,SA+SB=SC,即我們驚奇

9、地發(fā)現(xiàn)，等腰三角形的三邊之間有一種特殊的關(guān)系：兩直邊的平方和等于斜邊的平方。,c,a,b,即：a2 + b2 = c2,15,讓我們一起再探究：等腰直角三角形三邊關(guān)系,9,9,4,4,C的面積怎么求呢？,16,分“割”成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形。,（單位面積）,C的面積怎么求呢？,17,（單位面積）,把C“補(bǔ)” 成邊長(zhǎng)為6的正方形面積的一半。,C的面積怎么求呢？,18,SA+SB=SC,4,4,8,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,b,a,c,a2+b2=c2,“問題是思維的起點(diǎn)”，通過層層設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知。,19,對(duì)于等腰直角三角形有這樣的性質(zhì)：,那么對(duì)于一般的直角三角形是否也有這樣的

10、性質(zhì)呢？,歸納小結(jié)：,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,思考,20,2觀察右邊兩個(gè)圖并填寫下表：,16,9,4,9,C的面積怎么 求呢？,21,分割成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形。,（面積單位）,C的面積怎么求呢？,探究二：,22,分割成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形。,C的面積怎么求呢？,探究二：,（面積單位）,=13,23,把C“補(bǔ)”成邊長(zhǎng)為7的正方形面積減去4個(gè)直角三角形的面積。,（面積單位）,C的面積怎么求呢？,探究二：,24,把C“補(bǔ)”成邊長(zhǎng)為5的正方形面積減去4個(gè)直角三角形的面積。,（面積單位）,=13,C的面積怎么求呢？,探究二：,25,16,9,4,9,25,13,3三個(gè)正方形A，B，

11、C面積之間有什么關(guān)系？,SA+SB=SC,即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積,議 一 議,26,A,B,C,圖2,圖3,4,9,13,9,25,34,sA+sB=sC,兩直角邊的平方和 等于斜邊的平方,探究與猜想,A,B,C,27,a,c,b,Sa+Sb=Sc,猜想:兩直角邊a、b與斜邊c 之間的關(guān)系？,a2+b2=c2,兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積,28,a2+b2=c2,a,c,b,如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別是a、b，斜邊長(zhǎng)是c，那么a2+b2=c2。,勾,股,弦,命題1：,是不是所有的直角三角形都具有這樣的特點(diǎn)呢？這就需要我們對(duì)一般的直角

12、三角形進(jìn)行證明到目前為止，對(duì)這個(gè)命題的證明方法已有幾百種之多下面我們就來看一看我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽是怎樣證明這個(gè)命題的,滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.為學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間，發(fā)揮學(xué)生的主體作用；培養(yǎng)學(xué)生的類比遷移能力及探索問題的能力，使學(xué)生在相互欣賞、爭(zhēng)辯、互助中得到提高。,29,c,b a,依據(jù)科學(xué)理論的證實(shí)：,直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.,a,b,趙爽弦圖,我國(guó)漢代的數(shù)學(xué)家趙爽指出：四個(gè)全等的直角三角形如下拼成一個(gè)中空的正方形，由大正方形的面積等于小正方形的面積與4個(gè)直角三角形的面積和得：,30,用趙爽弦圖證明勾股定理,證法一：,a2+b2=c2,通過這些實(shí)際操作，學(xué)生進(jìn)

13、行一步加深對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解，拼圖也會(huì)產(chǎn)生感性認(rèn)識(shí)，也為論證勾股定理做好準(zhǔn)備。 利用分組討論，加強(qiáng)合作意識(shí)。 1、經(jīng)歷所拼圖形與多媒體展示圖形的聯(lián)系與區(qū)別。 2、加強(qiáng)數(shù)學(xué)嚴(yán)密教育。從而更好地理解代數(shù)與圖形相結(jié)合 。,31,趙爽弦圖的證法,化簡(jiǎn)得：,c2,c,c,c,S大正方形 S小正方形 4S直角三角形,c2(ba)24 ab,=b2-2ab+a2 + 2ab,a2+b2=c2,32,定理：經(jīng)過證明被確認(rèn)為正確的命題叫做定理。,勾股定理： 如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為 、，斜邊為，那么2+b2=c2。,如圖，在RtABC中，C= 90，則 2+b2=c2,A,B,C,股b,勾 a,弦c,33

14、,讀一讀 “趙爽弦圖表現(xiàn)了我國(guó)古代人隊(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，因此，這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽。,圖1-1,圖1-2,34,目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其它星球的“人”,為此向宇宙發(fā)出了許多信號(hào),如地球上人類的語(yǔ)言,音樂,各種圖形等.我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚建議,發(fā)射一種反映勾股定理的圖形,如果宇宙人是“文明人”,那么他們一定會(huì)識(shí)別這種語(yǔ)言的.,35, a2 + b2 = c2,a2,b2,a2,c2,畢達(dá)哥拉斯證法,證 法 4：,36, (a+b)2 =,a2+2ab+b2 = c2 +2ab,a2+b2=c2,大正方形的面積可以表示為 ；

15、 也可以表示為,(a+b)2,37,美國(guó)總統(tǒng)的證明,伽菲爾德經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法1876年4月1日，伽菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)后，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就稱這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。,38,茄菲爾德的證法,S三角形1 S三角形2 S三角形3,S梯形,化簡(jiǎn)得:,c2=a2+ b2,39,欣賞美麗的勾股樹,使學(xué)生進(jìn)一步確信勾股定理的正確性，并通過欣賞勾股樹開闊他們的視野，并達(dá)到美的享受，進(jìn)一步提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力和興趣。,40,a,b,c,結(jié)論變

16、形,c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2,c=,a=,b=,41,練習(xí)： 1、求下列圖中字母所表示的正方形的面積,=625,=144,42,范例.求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度,5,x,13,學(xué)以致用，做一做,解：（1）在RtABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2,X2 =36+64,x2 =100,x2=62+82, x=10,x0,x2+52=132,x2=132-52,x2=144, x=12,（2）在RtABC中,由勾股定理:AB2+AC2=BC2,x0,A,C,B,A,C,B,43,2.求下列圖中表示邊的未知數(shù)x、y、z的值.,81,144,x,y,z,做一

17、做,44,比一比看看誰(shuí)算得快！,課本P24 練習(xí)1. 求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng):,可用勾股定理建立方程.,方法小結(jié):,a=6,b,c=10,b=15,a,b=12,a=5,c,做一做,c=25,45,(1)如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的邊長(zhǎng)為7cm，求正方形A，B，C，D的面積的和。,S1,S2,解： SE= 49,S1=SA+SB,S2=SC+SD, SA+SB+SC+SD = S1+S2 = SE = 49,46,（2）如圖，分別以Rt ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之間有的關(guān)系

18、式為 ,47,Sa+Sb=Sc,（3）變式：你還能求出Sa、Sb、Sc之間的關(guān)系式嗎？,讓學(xué)生有機(jī)地把握所學(xué)的知識(shí)技能，用來解決實(shí)際問題，加強(qiáng)對(duì)定理的理解，從而突出重點(diǎn)。 突破重點(diǎn)和難點(diǎn)的方法，發(fā)揮學(xué)生主體作用，通過學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，讓學(xué)生在實(shí)踐中探索，在探索中領(lǐng)悟，在領(lǐng)悟中理解。,48,課堂小結(jié), 勾股定理是幾何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.,勾股定理的主要作用是 在直角三角形中,已知任意兩邊求第三邊的長(zhǎng)。,49,a,b,c,結(jié)論變形,c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2,c=,a=,b=,學(xué)生通過對(duì)學(xué)習(xí)過程的小結(jié)，領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法；通過梳理所學(xué)內(nèi)容，形成完整知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)歸納概括能力。,50,作業(yè),必做題：課本習(xí)題18.1 第1, 2,3,4,5題。 選做題：收集有關(guān)勾股定理的其它 證明方法，下節(jié)課展示、交流。,-,針對(duì)學(xué)生認(rèn)知的差異設(shè)計(jì)了有層次的作業(yè)題，既使學(xué)生鞏固知識(shí)，形成技能，又使學(xué)有余力的學(xué)生獲得最佳發(fā)展。,51,板書設(shè)計(jì),勾股定理： 直角三角形 兩直角邊a、b平方和， 等于斜邊c平方。,a2+b2 =c2,簡(jiǎn)潔明了，結(jié)構(gòu)合理， 突出主題。,52,四、教學(xué)設(shè)計(jì)說明 本課意