1、第五章 圓 5.1圓的性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系,中考數(shù)學(xué) (湖南專(zhuān)用),A組20142018年湖南中考題組,五年中考,考點(diǎn)一圓的有關(guān)概念與性質(zhì),1.(2018湖南邵陽(yáng),6,3分)如圖所示,四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形,BCD=120,則BOD的大小是() A.80B.120C.100D.90,解題關(guān)鍵本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理,掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.,思路分析根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出A,再根據(jù)圓周角定理解答.,答案B四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形, BAD=180-BCD=60, 由圓周角定理得,BOD=2A=120,故選B.,2.(2018湖南張家界,6

2、,3分)如圖,AB是O的直徑,弦CDAB于點(diǎn)E,OC=5 cm,CD=8 cm,則AE=() A.8 cmB.5 cmC.3 cmD.2 cm,答案A因?yàn)锳B是O的直徑,弦CDAB于點(diǎn)E,所以根據(jù)垂徑定理可得EC=ED=CD=4 cm,所以在RtOEC中,根據(jù)勾股定理可得OE=3 cm,所以AE=AO+OE=8 cm.,3.(2017湖南張家界,3,3分)如圖,在O中,AB是直徑,AC是弦,連接OC,若ACO=30,則BOC的度數(shù)是() A.30B.45C.55D.60,答案DOA=OC,A=ACO=30, BOC=2A=230=60.,思路分析先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出A的度數(shù),再根據(jù)圓周角

3、定理求出BOC的度數(shù).,4.(2016湖南張家界,6,3分)如圖,AB是O的直徑,BC是O的弦,若OBC=60,則BAC的度數(shù)是() A.75B.60C.45D.30,答案DAB是O的直徑, ACB=90, 又OBC=60, BAC=180-ACB-ABC=180-90-60=30.故選D.,思路分析根據(jù)AB是O的直徑可得出ACB=90,再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180以及OBC=60,即可求出BAC的度數(shù).,解題關(guān)鍵本題考查了圓周角定理以及角的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是得出ACB=90,即直徑所對(duì)的圓周角為90.,5.(2015湖南株洲,6,3分)如圖,圓O是ABC的外接圓,A=68,則OBC的大小是()

4、 A.22B.26 C.32D.68,答案A由題可知BOC=2A=136, BO=OC, OBC=OCB=22,故選A.,思路分析先根據(jù)圓周角定理即同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半求出BOC的度數(shù),再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出OBC的度數(shù).,審題技巧在圓中,可通過(guò)圓心角的度數(shù)求同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù),也可通過(guò)圓周角的度數(shù)求同弧所對(duì)的圓心角的度數(shù).,6.(2015湖南湘潭,7,3分)如圖,四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形,若DAB=60,則BCD的度數(shù)是() A.60B.90C.100D.120,答案D四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形, DAB+BCD=180, DAB=60, BCD=180

5、-60=120.故選D.,思路分析根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求出答案.,解題關(guān)鍵本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.,7.(2015湖南永州,6,3分)如圖,P是O外一點(diǎn),PA、PB分別交O于C、D兩點(diǎn),已知和所 對(duì)的圓心角分別為90和50,則P=() A.45B.40C.25D.20,答案D和所對(duì)的圓心角分別為90和50, A=25,ADB=45,P+A=ADB, P=ADB-A=45-25=20.故選D.,思路分析根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半可得ADB和CAD的度數(shù),再由三角形外角的性質(zhì)求解.,易錯(cuò)警示不會(huì)合理運(yùn)用圓周角定理;不理解三角形外角的性質(zhì)

6、.,8.(2017湖南長(zhǎng)沙,15,3分)如圖,AB為O的直徑,弦CDAB于點(diǎn)E,已知CD=6,EB=1,則O的半徑為.,答案5,解析連接OC,設(shè)圓O的半徑為r,則OE=r-1,根據(jù)垂徑定理可得CE=3,在RtOCE中,由勾股定理可得,CE2+OE2=OC2,即32+(r-1)2=r2,解得r=5.故O的半徑為5.,方法總結(jié)在已知直徑與弦垂直的問(wèn)題中,通常連接半徑構(gòu)造直角三角形,其中斜邊為圓的半徑,兩直角邊是弦長(zhǎng)的一半和圓心到弦的距離,從而運(yùn)用勾股定理來(lái)計(jì)算.,9.(2017湖南湘潭,13,3分)如圖,在O中,已知AOB=120,則ACB=.,答案60,解析AOB=120,點(diǎn)C在O上, ACB=

7、AOB=60.,10.(2016湖南株洲,25,10分)已知AB是半徑為1的圓O直徑,C是圓上一點(diǎn),D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D的直線交AC于E點(diǎn),且AEF為等邊三角形. (1)求證:DFB是等腰三角形; (2)若DA=AF,求證:CFAB.,證明(1)AB是O的直徑,ACB=90, AEF為等邊三角形, CAB=EFA=60,B=30, EFA=B+FDB,B=FDB=30, DFB是等腰三角形. (2)過(guò)點(diǎn)A作AMDF于點(diǎn)M,設(shè)AF=2a(a0),AEF是等邊三角形,FM=EM=a,AM=a,在Rt DAM中,AD=AF=2a,AM=a,DM=5a,DF=BF=6a,AB=AF+BF=8a

8、,在RtABC 中,B=30,ACB=90,AC=4a,AE=EF=AF=CE=2a,ECF=EFC,AEF=ECF+EFC=60,CFE=30,AFC=AFE+EFC=60+30=90,CFAB.,思路分析(1)由AB是O的直徑,得到ACB=90,由AEF為等邊三角形,得到CAB=E-FA=60,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論; (2)過(guò)點(diǎn)A作AMDF于點(diǎn)M,設(shè)AF=2a(a0),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到FM=EM=a,AM=a,再 根據(jù)已知條件得到AB=AF+BF=8a,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=EF=AF=CE=2a,推出ECF=EFC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.,11.

9、(2015湖南衡陽(yáng),26,8分)如圖,AB是O的直徑,點(diǎn)C、D為半圓O的三等分點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CEAD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. (1)求證:CE為O的切線; (2)判斷四邊形AOCD是否為菱形,并說(shuō)明理由.,解析(1)證明:連接OD,點(diǎn)C、D為半圓O的三等分點(diǎn), BOC=BOD, 又BAD=BOD, BOC=BAD,AEOC, ADEC,OCEC, OC為O的半徑, CE為O的切線. (2)四邊形AOCD是菱形.理由如下: 點(diǎn)C、D為半圓O的三等分點(diǎn),AOD=COD=60, OA=OD=OC,AOD和COD都是等邊三角形, OA=AD=DC=OC=OD, 四邊形AOCD是菱形.,考點(diǎn)二與圓有關(guān)的位

10、置關(guān)系,1.(2016湖南邵陽(yáng),9,3分)如圖所示,AB是O的直徑,點(diǎn)C為O外一點(diǎn),CA,CD是O的切線,A,D為切點(diǎn),連接BD,AD.若ACD=30,則DBA的大小是() A.15B.30C.60D.75,答案DCA,CD是O的切線,A,D為切點(diǎn), CAB=90,CA=CD, 故CAD是等腰三角形. C=30,CAD=CDA=75,BAD=15, AB是O的直徑,BDA=90.DBA=75,故選D.,2.(2016湖南湘西,18,4分)在RtABC中,C=90,BC=3 cm,AC=4 cm,以點(diǎn)C為圓心,2.5 cm長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,則C與直線AB的位置關(guān)系是() A.相交B.相切C.相離D.

11、不能確定,答案A過(guò)C作CDAB于D,如圖所示. 在RtABC中,C=90,AC=4 cm,BC=3 cm, AB=5 cm. ABC的面積=ACBC=ABCD, 34=5CD,CD=2.4 cm2.5 cm, C與直線AB的位置關(guān)系是相交.故選A.,思路分析要判斷直線與圓的位置關(guān)系,應(yīng)求出點(diǎn)C到直線AB的距離,于是過(guò)C作CDAB于D,根據(jù)勾股定理求出AB,再根據(jù)三角形的面積公式求出CD,比較CD長(zhǎng)和半徑的大小,根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.,解題關(guān)鍵本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系,解答本題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)C到AB的距離.,3.(2018湖南湘潭,13,3分)如圖,AB是O的切線,點(diǎn)B為切點(diǎn)

12、,若A=30,則AOB=.,答案60,解析AB是O的切線, OBA=90, AOB=90-A=60, 故答案為60.,思路分析根據(jù)切線的性質(zhì)得到OBA=90,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.,解題關(guān)鍵本題考查的是切線的性質(zhì),掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.,4.(2018湖南長(zhǎng)沙,18,3分)如圖,點(diǎn)A,B,D在O上,A=20,BC是O的切線,B為切點(diǎn),OD的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)C,則OCB=度.,答案50,解析由題意知BOC=2A=40, 直線BC與O相切,OBC=90, 在OBC中,OCB=180-90-40=50.,5.(2017湖南岳陽(yáng),16,4分)如圖,O為等腰ABC的外接圓

13、,直徑AB=12,P為上任意一點(diǎn)(不 與B,C重合),直線CP交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,O在點(diǎn)P處的切線PD交BQ于點(diǎn)D,下列結(jié)論正確的是.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)) 若PAB=30,則的長(zhǎng)為;若PDBC,則AP平分CAB;若PB=BD,則PD=6;無(wú) 論點(diǎn)P在上的位置如何變化,CPCQ恒為定值.,答案,解析如圖,連接OP,PB. AO=OP,PAB=30, POB=60, AB=12, OB=6, 的長(zhǎng)為=2,故錯(cuò)誤; PD是O的切線, OPPD,PDBC, OPBC, =, PAC=PAB, AP平分CAB,故正確; PB=BD,BPD=BDP, OPPD, BPD+BPO=BDP+BOP, B

14、OP=BPO, BP=BO=PO=6,即BOP是等邊三角形, PD=OP=6,故正確; AC=BC, BAC=ABC,又ACP=QCA, ACPQCA, =,即CPCQ=CA2(定值),故正確.,解題關(guān)鍵本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),垂徑定理,切線的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式等,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造三角形,解題時(shí)注意:垂直弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的弧.,又ABC=APC, APC=BAC,6.(2018湖南邵陽(yáng),21,8分)如圖所示,AB是O的直徑,點(diǎn)C為O上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作BDCD,垂足為點(diǎn)D,連接BC.BC平分ABD. 求證:CD為O的切線.,證明BC平分ABD, OBC=D

15、BC, OB=OC, OBC=OCB, OCB=DBC, OCBD, BDCD, OCCD, CD為O的切線.,思路分析先利用BC平分ABD得到OBC=DBC,再證明OCBD,從而得到OCCD,然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論.,評(píng)析本題考查了切線的判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.,7.(2018湖南永州,24,10分)如圖,線段AB為O的直徑,點(diǎn)C,E在O上,=,CDAB,垂足為 點(diǎn)D,連接BE,弦BE與線段CD相交于點(diǎn)F. (1)求證:CF=BF; (2)若cosABE=,在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M,使BM=4,O的半徑為6.求證:直線CM是O的 切線.,證明(1)延

16、長(zhǎng)CD交O于G,如圖, CDAB, =, =, =, CBE=GCB, CF=BF. (2)連接OC,交BE于點(diǎn)H,如圖, =,OCBE, 在RtOBH中,cosOBH=, BH=6=, OH=, =,=, =, 又HOB=COM, OHBOCM, OCM=OHB=90, OCCM, 直線CM是O的切線.,思路分析(1)延長(zhǎng)CD交O于G,利用垂徑定理得到=,則可證明=,然后根據(jù)圓周 角定理得CBE=GCB,從而得到CF=BF. (2)連接OC,交BE于H,先利用垂徑定理得到OCBE,再在RtOBH中利用解直角三角形得到BH=,OH=,接著證明OHBOCM,得到OCM=OHB=90,然后根據(jù)切線

17、的判定定 理得到結(jié)論.,8.(2017湖南懷化,23,8分)如圖,已知BC是O的直徑,點(diǎn)D為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),點(diǎn)A為圓上一點(diǎn),且AB=AD,AC=CD. (1)求證:ACDBAD; (2)求證:AD是O的切線.,證明(1)AB=AD, B=D, AC=CD, CAD=D, CAD=B, 又D=D, ACDBAD. (2)連接OA, OA=OB, B=OAB,由(1)知B=CAD, OAB=CAD, BC是O的直徑, BAC=90, OAD=90,OAAD,AD是O的切線.,9.(2016湖南常德,24,8分)如圖,已知O是ABC的外接圓,AD是O的直徑,且BD=BC,延長(zhǎng)AD到E,且有EBD

18、=CAB. (1)求證:BE是O的切線; (2)若BC=,AC=5,求O的直徑AD及切線BE的長(zhǎng).,解析(1)證明:如圖.連接OB, OA=OB,3=4, BD=BC,2=3, 又1=2,1=4,(2分) AD是O的直徑,4+OBD=90, 1+OBD=90, 即OBBE,且BE過(guò)半徑的外端點(diǎn), BE是O的切線.(4分) (2)連接CD,設(shè)OB與CD交于H,圓的半徑為r, 由(1)的證明過(guò)程知2=4,OBAC, O是AD的中點(diǎn), OH=AC=,且OHCD,(5分) OD2=OH2+HD2, r2=+HD2=+BD2-BH2=+()2-, r=3,直徑AD=6,(6分) AB=, O是四邊形AD

19、BC的外接圓,ACB+ADB=180, 而B(niǎo)DE+ADB=180, ACB=BDE,又1=2, DBECAB,(7分),=,即=, BE=.(8分),10.(2015湖南長(zhǎng)沙,24,9分)如圖,在直角坐標(biāo)系中,M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O(0,0),點(diǎn)A(,0)與點(diǎn)B(0,-), 點(diǎn)D在劣弧OA上,連接BD交x軸于點(diǎn)C,且COD=CBO. (1)求M的半徑; (2)求證:BD平分ABO; (3)在線段BD的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)E,使得直線AE恰好為M的切線,求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).,解析(1)因?yàn)锳OB為直角, 所以AB是M的直徑. 又因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,-), 所以O(shè)A=,OB=,在RtAOB中

20、,AB=2,所以M的半徑為. (2)證明:因?yàn)镃OD=CBO,而COD=ABD, 所以ABD=CBO,故BD平分ABO. (3)如圖,因?yàn)锳B為M的直徑,所以過(guò)點(diǎn)A作直線lAB,直線l與BD的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即是所求的點(diǎn)E,此時(shí)直線AE必為M的切線. 在RtAOB中,OB=,AB=2,所以O(shè)AB=30. 所以O(shè)BC=CAB=30, 所以O(shè)C=,ECA=EAC=60, 所以ECA為邊長(zhǎng)等于的正三角形. 設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(x,y), x=+=,y=, 所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為.,B組20142018年全國(guó)中考題組,考點(diǎn)一圓的有關(guān)概念與性質(zhì),1.(2017海南,12,3分)如圖,點(diǎn)A、B、C在O上,ACOB,BAO

21、=25,則BOC的度數(shù)為 () A.25B.50C.60D.80,答案BOA=OB,BAO=25,B=25.ACOB,B=CAB=25, BOC=2CAB=50.故選B.,思路分析先根據(jù)OA=OB,BAO=25得出B=25,再由平行線的性質(zhì)得出B=CAB=25,根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論.,解題關(guān)鍵本題考查的是圓周角定理,熟知在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.,2.(2017內(nèi)蒙古呼和浩特,7,3分)如圖,CD為O的直徑,弦ABCD,垂足為M.若AB=12,OMMD=58,則O的周長(zhǎng)為() A.26B.13C.D.,答案B連接OA,設(shè)O

22、M=5x(x0),則MD=8x,OA=OD=13x,又AB=12,ABCD,AM=6.在RtAOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=(舍負(fù)),半徑OA=,O的周長(zhǎng)為13.,方法規(guī)律如圖,設(shè)圓的半徑為r、弦長(zhǎng)為a、弦心距為d,弓形的高為h,則+d2=r2(h=r-d或h= r+d).已知其中任意兩個(gè)量即可求出其余兩個(gè)量.,3.(2017云南,14,4分)如圖,B、C是A上的兩點(diǎn),AB的垂直平分線與A交于E、F兩點(diǎn),與線段AC交于D點(diǎn).若BFC=20,則DBC=() A.30B.29C.28D.20,答案ABFC=20, BAC=2BFC=40, AB=AC, ABC=ACB=70. E

23、F是線段AB的垂直平分線, AD=BD, ABD=A=40, DBC=ABC-ABD=70-40=30. 故選A.,4.(2015吉林長(zhǎng)春,7,3分)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于O,若四邊形ABCO是平行四邊形,則ADC的大小為() A.45B.50C.60D.75,答案C設(shè)ADC=x,則AOC=2x.四邊形ABCO是平行四邊形,B=AOC.B+D=180,x+2x=180.x=60.ADC=60.故選C.,5.(2015甘肅蘭州,9,4分)如圖,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的P與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C是劣弧OB上一點(diǎn),則ACB=() A.80B.90C.100D.無(wú)法確定,答案B根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相

24、等,得到ACB=AOB=90,故選B.,6.(2015山東臨沂,8,3分)如圖,A,B,C是O上的三個(gè)點(diǎn),若AOC=100,則ABC等于() A.50B.80C.100D.130,答案D如圖,在優(yōu)弧AC上任取一點(diǎn)D,連接AD、CD. AOC=100,ADC=AOC=50. ADC+ABC=180, ABC=180-50=130. 故選D.,7.(2018湖北黃岡,11,3分)如圖,ABC內(nèi)接于O,AB為O的直徑,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD=6,則AC=.,答案2,解析連接BD,因?yàn)锳B為O的直徑,所以ADB=90,因?yàn)镃AB=60,弦AD平分CAB,所以BAD=30,因?yàn)?cos

25、30,所以AB=4.在RtABC中,AC=ABcos 60=4 =2.,考點(diǎn)二與圓有關(guān)的位置關(guān)系,1.(2017上海,17,4分)如圖,已知RtABC中,C=90,AC=3,BC=4.分別以點(diǎn)A、B為圓心畫(huà)圓,如果點(diǎn)C在A內(nèi),點(diǎn)B在A外,且B與A內(nèi)切,那么B的半徑長(zhǎng)r的取值范圍是.,答案8r10,解析C=90,AC=3,BC=4,AB=5. A與B內(nèi)切,且點(diǎn)B在A外, r-rA=AB,r=5+rA. 3rA5,8r10.,解題關(guān)鍵明確兩圓內(nèi)切時(shí),兩圓半徑與圓心距的關(guān)系.,2.(2015遼寧沈陽(yáng),11,4分)如圖,在ABC中,AB=AC,B=30,以點(diǎn)A為圓心,以3 cm為半徑作A,當(dāng)AB=cm

26、時(shí),BC與A相切.,答案6,解析作ADBC于點(diǎn)D.當(dāng)BC與A相切時(shí),AD=3 cm. 在RtABD中,AD=3 cm,B=30,AB=6 cm. 當(dāng)AB=6 cm時(shí),BC與A相切.,3.(2014山東青島,12,3分)如圖,AB是O的直徑,BD,CD分別是過(guò)O上點(diǎn)B,C的切線,且BDC=110.連接AC,則A的度數(shù)是.,答案35,解析連接BC,易知DB=DC,所以DBC=(180-BDC)=35,所以A=DBC=35.,4.(2017甘肅蘭州,27,10分)如圖,ABC內(nèi)接于O,BC是O的直徑,弦AF交BC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,連接OA,AD,使得FAC=AOD,D=BAF. (1)求證:A

27、D是O的切線; (2)若O的半徑為5,CE=2,求EF的長(zhǎng).,解析(1)證明:BC是O的直徑, BAC=90.(1分) BAF+FAC=90.(2分) FAC=AOD,D=BAF, D+AOD=90.(4分) OAAD. OA為O的半徑, AD是O的切線.(5分) (2)如圖,連接BF. BE=BC-CE=2OC-CE=10-2=8.,ACE=OCA,FAC=AOC, OACAEC.(6分) =,即=,AE=.(7分) AEC=BEF,ACB=BFE, AECBEF.(9分) =,即=,EF=.(10分),方法規(guī)律在有關(guān)圓的問(wèn)題中,有直徑通常作直徑所對(duì)的圓周角,構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題;有關(guān)切線

28、的證明,遵循“有切點(diǎn),連半徑,證垂直;無(wú)切點(diǎn),作垂直,證半徑”的原則.關(guān)于圓的一些定理或推論形成的基本圖形應(yīng)熟記于心,并能在組合圖形中識(shí)別、分解出來(lái).,5.(2017山西,21,7分)如圖,ABC內(nèi)接于O,且AB為O的直徑.ODAB,與AC交于點(diǎn)E,與過(guò)點(diǎn)C的O的切線交于點(diǎn)D. (1)若AC=4,BC=2,求OE的長(zhǎng); (2)試判斷A與CDE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.,解析(1)AB是O的直徑,ACB=90. 在RtABC中,由勾股定理得AB=2, AO=AB=2=.(1分) ODAB,AOE=ACB=90, 又A=A,AOEACB,(2分) =,OE=.(3分) (2)CDE=2A.(4分)

29、理由如下: 證法一:連接OC.OA=OC,1=A. CD是O的切線,OCCD, OCD=90,2+CDE=90.(5分) ODAB,2+3=90,3=CDE.(6分) 3=A+1=2A,CDE=2A.(7分),證法二:連接OC.CD是O的切線, OCCD,1+2=90. ODAB,AOE=90,A+3=90.(5分) OA=OC,1=A,2=3.(6分) 又3=4,2=4=3=90-A, CDE=180-(2+4)=180-2(90-A)=180-290+2A=2A.(7分),解后反思求線段長(zhǎng)度的方法,除了簡(jiǎn)單的直接加減之外,還可以把線段長(zhǎng)度放在方程中求解,建立方程的常見(jiàn)方法:通過(guò)相似得到比例

30、建立方程;通過(guò)勾股定理建立方程;通過(guò)三角函數(shù)建立邊與邊之間的關(guān)系,等等.在這幾種方法的選擇上,要具體問(wèn)題具體分析,選擇一種最簡(jiǎn)單的方法.,C組教師專(zhuān)用題組,考點(diǎn)一圓的有關(guān)概念與性質(zhì),1.(2018陜西,9,3分)如圖,ABC是O的內(nèi)接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并與O相交于點(diǎn)D,連接BD,則DBC的大小為() A.15B.25C.35D.45,答案AAB=AC,BCA=65,BCA=ABC=65,BAC=50,CDAB,BAC=ACD=50,根據(jù)圓周角定理的推論得ABD=ACD=50,所以DBC=ABC-ABD=65-50=15,故選A.,2.(2017湖北宜昌,11,3分)

31、如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于O,AC平分BAD,則下列結(jié)論正確的是 () A.AB=ADB.BC=CD C.=D.BCA=DCA,答案B根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等,可知: A.ACB與ACD的大小關(guān)系不確定,AB與AD不一定相等,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; B.AC平分BAD,BAC=DAC,BC=CD,故本選項(xiàng)正確; C.ACB與ACD的大小關(guān)系不確定,與不一定相等,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; D.BCA與DCA的大小關(guān)系不確定,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B.,3.(2017江蘇南京,6,2分)過(guò)三點(diǎn)A(2,2),B(6,2),

32、C(4,5)的圓的圓心坐標(biāo)為() A.B.(4,3) C.D.(5,3),思路分析本題求過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo),先根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性確定圓心的橫坐標(biāo),再根據(jù)勾股定理求出半徑,進(jìn)而求出圓心的坐標(biāo).,4.(2017福建,8,4分)如圖,AB是O的直徑,C,D是O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn).下列四個(gè)角中,一定與ACD互余的角是() A.ADCB.ABDC.BACD.BAD,答案DAB是O的直徑, ADB=90,BAD+B=90, 易知ACD=B,BAD+ACD=90,故選D.,5.(2016安徽,10,4分)如圖,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足PAB=PBC.則線段

33、CP長(zhǎng)的最小值為() A. B.2 C.D.,答案BPAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.設(shè)AB的中點(diǎn)為O,則P在以AB為直徑的圓上.當(dāng)點(diǎn)O,P,C三點(diǎn)共線時(shí),線段CP最短,OB=AB=3,BC=4, OC=5,又OP=AB=3,線段CP長(zhǎng)的最小值為5-3=2,故選B.,6.(2014甘肅蘭州,13,4分)如圖,CD是O的直徑,弦ABCD于E,連接BC,BD.下列結(jié)論中不一定正確的是() A.AE=BEB.= C.OE=DED.DBC=90,答案CCD是O的直徑,且CDAB,AE=BE, =,CD是O的直徑,DBC=90,但不能得出OE=DE.故選C.,評(píng)析本題

34、考查了垂徑定理,屬容易題.,7.(2015上海,6,4分)如圖,已知在O中,AB是弦,半徑OCAB,垂足為點(diǎn)D,要使四邊形OACB為菱形,還需添加一個(gè)條件,這個(gè)條件可以是() A.AD=BD B.OD=CD C.CAD=CBDD.OCA=OCB,答案B根據(jù)垂徑定理知OD垂直平分AB,所以添加OD=CD,即可判定四邊形OACB是菱形,故選B.,8.(2017北京,14,3分)如圖,AB為O的直徑,C,D為O上的點(diǎn),=.若CAB=40,則CAD =.,答案25,解析連接BC,BD,AB為O的直徑,ACB=90, ABC=90-CAB=90-40=50. =, ABD=CBD=ABC=25, CAD

35、=CBD=25.,9.(2017湖北十堰,14,3分)如圖,ABC內(nèi)接于O,ACB=90,ACB的平分線交O于D.若AC=6,BD=5,則BC的長(zhǎng)為.,答案8,解析連接AD, ACB=90, AB是O的直徑. ACB的平分線交O于D, ACD=BCD=45, AD=BD=5. AB是O的直徑, ABD是等腰直角三角形, AB=10.,思路分析連接AD,根據(jù)CD是ACB的平分線可知ACD=BCD=45,故可得出AD=BD,再由AB是O的直徑可知ABD是等腰直角三角形,利用勾股定理求出AB的長(zhǎng),在RtABC中,利用勾股定理可得出BC的長(zhǎng).,AC=6, BC=8. 故答案為8.,解題關(guān)鍵本題考查的是

36、圓周角定理,熟知直徑所對(duì)的圓周角是直角是解答此題的關(guān)鍵.,10.(2017內(nèi)蒙古包頭,17,3分)如圖,點(diǎn)A、B、C為O上的三個(gè)點(diǎn),BOC=2AOB,BAC=40,則ACB=度.,答案20,解析BAC=40,BOC=80.BOC=2AOB,AOB=BOC=40,ACB= AOB=20.,11.(2017江蘇南京,15,2分)如圖,四邊形ABCD是菱形,O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C、D,與BC相交于點(diǎn)E,連接AC、AE.若D=78,則EAC=.,解析四邊形ABCD是菱形, ADBC,CA平分DCB. D=78,DCB=180-D=102, ACE=DCB=51. A、E、C、D四點(diǎn)共圓, D+AEC=180,

37、 AEC=102. 在AEC中,EAC=180-AEC-ACE=180-102-51=27.,答案27,解后反思本題綜合考查菱形的性質(zhì)、圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì),掌握這兩個(gè)性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.,12.(2017貴州貴陽(yáng),13,4分)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O,O的半徑為6,則這個(gè)正六邊形的邊心距OM的長(zhǎng)為.,答案3,解析連接OB、OC,可得OB=OC,BOC=60, 所以BOC為等邊三角形,所以BOM=30, 所以O(shè)M=OBcos 30=3.,13.(2015湖南婁底,17,3分)如圖,在O中,AB為直徑,CD為弦,已知ACD=40,則BAD=度.,答案50,解析由圓周角定理知B

38、=ACD=40,因?yàn)锳B為O的直徑,所以ADB=90,根據(jù)直角三角形兩銳角互余,求得BAD=90-40=50,故答案為50.,14.(2015湖南長(zhǎng)沙,18,3分)如圖,AB是O的直徑,點(diǎn)C是O上的一點(diǎn),若BC=6,AB=10,ODBC于點(diǎn)D,則OD的長(zhǎng)為.,解析AB是O的直徑,ACB=90. 在RtABC中,AC=8, 又ODBC,DOAC, OBDABC,=. AC=8,OD=4.,答案4,思路分析由AB是O的直徑,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角可得C=90,由勾股定理可求得AC的長(zhǎng),易證得OD是ABC的中位線,則可求得OD的長(zhǎng).,審題技巧在圓的求值證明中,常通過(guò)直徑所對(duì)的圓周角構(gòu)造直角三角形,利用

39、勾股定理來(lái)解決問(wèn)題.,15.(2014湖南湘西,6,3分)如圖,AB是O的直徑,弦CDAB于點(diǎn)E,OC=5 cm,CD=6 cm,則OE=cm.,答案4,解析CDAB,CD=6 cm, CE=CD=3 cm, 在RtOCE中,OE=4 cm.,16.(2016湖南益陽(yáng),13,5分)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于O,AB是直徑,過(guò)C點(diǎn)的切線與AB的延長(zhǎng)線交于P點(diǎn),若P=40,則D的度數(shù)為.,解析如圖,連接OC.由題意可得,OCP=90, P=40, COB=50. OC=OB, OCB=OBC=65. 四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形, D+ABC=180, D=115.,答案115,17.(2014江

40、西,12,3分)如圖,ABC內(nèi)接于O,AO=2,BC=2,則BAC的度數(shù)為.,答案60,解析連接OB、OC,作ODBC于點(diǎn)D, 由垂徑定理可得,BD=CD=,OD=1, sinOBD=,OBD=30,BOC=120, 則BAC=BOC=60.,評(píng)析本題考查垂徑定理和圓周角與圓心角之間的關(guān)系,屬容易題.,18.(2014陜西,16,3分)如圖,O的半徑是2.直線l與O相交于A、B兩點(diǎn),M、N是O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在直線l的異側(cè).若AMB=45,則四邊形MANB面積的最大值是.,答案4,解析連接OA,OB.四邊形MANB面積的最大值取決于三角形ABM和三角形ABN的面積的最大值.當(dāng)點(diǎn)M,N分別位于優(yōu)

41、弧AB和劣弧AB的中點(diǎn)時(shí),四邊形MANB面積取最大值.連接MN,此時(shí)MN為O的直徑,故MN=4, AMB=45,AOB=90,所以AB=OA=2. 故四邊形MANB面積的最大值為ABMN=24=4.,19.(2016甘肅定西,16,4分)如圖,在O中,弦AC=2,點(diǎn)B是圓上一點(diǎn),且ABC=45,則O的半 徑R=.,答案,解析ABC=45,AOC=90, OA=OC=R,AC=2,R2+R2=(2)2, 解得R=.,20.(2016江蘇南京,13,2分)如圖,扇形AOB的圓心角為122,C是上一點(diǎn),則ACB=.,答案119,解析如圖,在扇形AOB所在圓優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)D,連接DA,DB.AOB=

42、122,D=61,ACB+D=180,ACB=119.,21.(2018浙江杭州,14,4分)如圖,AB是O的直徑,點(diǎn)C是半徑OA的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作DEAB,交O于D,E兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作直徑DF,連接AF,則DFA=.,答案30,思路分析利用垂徑定理和三角函數(shù)得出CDO=30,進(jìn)而得出DOA=60,利用圓周角定理得出DFA=30.,解析點(diǎn)C是半徑OA的中點(diǎn), OC=OA=OD, 又DEAB, CDO=30, DOA=60, DFA=DOA=30.,解題關(guān)鍵此題考查了垂徑定理、三角函數(shù)以及圓周角定理,解題關(guān)鍵是利用垂徑定理和三角函數(shù)得出CDO=30.,22.(2018福建,24,12分)已知四邊形A

43、BCD是O的內(nèi)接四邊形,AC是O的直徑,DEAB,垂足為E. (1)延長(zhǎng)DE交O于點(diǎn)F,延長(zhǎng)DC,FB交于點(diǎn)P,如圖1.求證:PC=PB; (2)過(guò)點(diǎn)B作BGAD,垂足為G,BG交DE于點(diǎn)H,且點(diǎn)O和點(diǎn)A都在DE的左側(cè),如圖2.若AB=,DH =1,OHD=80,求BDE的大小. 圖1圖2,解析(1)證明:AC是O的直徑,ABC=90. 又DEAB,DEA=90. DEA=ABC,BCDF, F=PBC. 四邊形BCDF是圓內(nèi)接四邊形, F+DCB=180, 又PCB+DCB=180, F=PCB, PBC=PCB, PC=PB. (2)連接OD,AC是O的直徑,ADC=90,又BGAD,AG

44、B=90, ADC=AGB,BGDC. 又由(1)知BCDE, 四邊形DHBC為平行四邊形, BC=DH=1. 在RtABC中,AB=,tanACB=, ACB=60,CAB=30. 從而B(niǎo)C=AC=OD,DH=OD. 在等腰三角形DOH中,DOH=OHD=80, ODH=20. 設(shè)DE交AC于N. BCDE,ONH=ACB=60.NOH=180-(ONH+OHD)=40, DOC=DOH-NOH=40,CBD=OAD=20. BCDE,BDE=CBD=20.,一題多解(1)證明:易證DFBC,從而CD=BF,且=1,PB=PC. (2)連接OD,設(shè)BDE=x,則EBD=90-x, 易證四邊形

45、BCDH為平行四邊形, BC=DH=1,AB=, CAB=30,AC=2, ADB=ACB=60, OD=OA=1=DH, ODH=180-2OHD=180-280=20, OAD=ODA=ADB-(ODH+x) =60-(20+x)=40-x. 又AOD=2ABD, 180-2(40-x)=2(90-x),解得x=20,即BDE=20.,解后反思本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理能力、空間觀念與幾何直觀,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.,23.(2017浙江杭州,23,12分)如圖,已知ABC內(nèi)接于O,點(diǎn)C

46、在劣弧AB上(不與點(diǎn)A,B重合),點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn),DEBC,DE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,射線AO與射線EB交于點(diǎn)F,與O交于點(diǎn)G,設(shè)GAB=,ACB=,EAG+EBA=. (1)點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過(guò)畫(huà)圖和測(cè)量得到以下數(shù)據(jù):,猜想:關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并給出證明; (2)若=135,CD=3,ABE的面積為ABC的面積的4倍,求O的半徑.,解析(1)=+90;=180-. 證明:連接CG,因?yàn)锳G是直徑,所以ACG=90, 因?yàn)镈E垂直平分BC,所以EB=EC, 所以EBC=ECB,BED=CED. 因?yàn)锽AG=BCG, 所以=BCG+ACG=BAG+ACG=+90. 因?yàn)镋CG=9

47、0,CDDE, 所以BCG=CED, 所以BEC=2, 所以=EAG+EBA=BAG+EAB+EBA=BAG+(180-BEC)=+(180-2)=180-. (2)因?yàn)?135,所以=45,=135, 所以ECB=EBC=45. 所以ECB為等腰直角三角形, 又因?yàn)镃D=3,所以BC=6,所以CE=BE=3, 因?yàn)锳BE的面積為ABC的面積的4倍, 所以AEAC=41, 所以AE=4, 在RtABE中,AB=5, 連接BG,因?yàn)锳G是直徑,所以ABG=90, 在RtABG中,BAG=45, 所以BG=AB, 所以AG=10, 所以O(shè)的半徑為5.,24.(2017湖南株洲,25,10分)如圖,

48、AB為O的一條弦,點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn),E為優(yōu)弧AB上一點(diǎn),點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上,且BE=EF,線段CE交弦AB于點(diǎn)D. (1)求證:CEBF; (2)若BD=2,且EAEBEC=31,求BCD的面積(注:根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可知OCAB).,解析(1)證明:連接AC,作直線OC,記OC與AB交于點(diǎn)G,如圖所示. BE=EF, F=EBF. AEB=EBF+F, F=AEB, C是劣弧AB的中點(diǎn),=, AEC=BEC, AEB=AEC+BEC, AEC=AEB, AEC=F, CEBF.,(2)DAE=DCB,AED=CEB, ADECBE, =,即=, CBD=CEB,BCD=ECB, CBECD

49、B, =,即=,又BD=2,=, CB=2, AD=6,AB=8, 點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn), OCAB,AG=BG=AB=4, CG=2, BCD的面積=BDCG=22=2.,25.(2016江蘇蘇州,26,10分)如圖,AB是O的直徑,D、E為O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C,使得CD=BD,連接AC交O于點(diǎn)F,連接AE、DE、DF. (1)證明:E=C; (2)若E=55,求BDF的度數(shù); (3)設(shè)DE交AB于點(diǎn)G,若DF=4,cos B=,E是的中點(diǎn),求EGED的值.,解析(1)證明:連接AD. AB是O的直徑,ADB=90, 即ADBC, CD=BD, AD垂直平分BC, A

50、B=AC,B=C. 又B=E, E=C. (2)四邊形AEDF是O的內(nèi)接四邊形, E=180-AFD, 又CFD=180-AFD, CFD=E=55, 又E=C=55, BDF=C+CFD=110.,(3)連接OE. CFD=E=C, FD=CD=BD=4. 在RtABD中,cos B=,BD=4,AB=6. E是的中點(diǎn),AB是O的直徑, AOE=90. AO=OE=3,AE=3. E是的中點(diǎn), ADE=BAE,又AEG=DEA, AEGDEA. =,即EGED=AE2=18.,思路分析(1)直接利用圓周角定理得出ADBC,勁兒利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=AC,即可得出E=C; (2)利

51、用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出AFD=180-E,進(jìn)而得出BDF=C+CFD,即可得出答案; (3)根據(jù)cos B=,得出AB的長(zhǎng),再求出AE的長(zhǎng),進(jìn)而得出AEGDEA,求出答案即可.,26.(2017寧夏,23,10分)將一副三角板RtABD與RtACB(其中ABD=90,D=60,ACB=90,ABC=45)如圖擺放,RtABD中D所對(duì)直角邊與RtACB的斜邊恰好重合.以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且與AD交于點(diǎn)E,分別連接EB,EC. (1)求證:EC平分AEB; (2)求的值.,解析(1)證明:RtACB中,ACB=90,ABC=45, BAC=ABC=45, AEC=ABC,BEC=BAC,

52、AEC=BEC, 即EC平分AEB. (2)如圖,設(shè)AB與CE交于點(diǎn)M. EC平分AEB, =. 在RtABD中,ABD=90,D=60, BAD=30, 以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)E, AEB=90, tanBAE=, AE=BE,=. 作AFCE于F,BGCE于G. 在AFM與BGM中, AFM=BGM=90,AMF=BMG, AFMBGM, =, =.,思路分析(1)由RtACB中ABC=45,得出BAC=ABC=45,根據(jù)圓周角定理得出AEC=ABC,BEC=BAC,等量代換得出AEC=BEC,即EC平分AEB. (2)設(shè)AB與CE交于點(diǎn)M.根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出=.易知BAD=30,由直

53、徑所對(duì)的圓 周角是直角得出AEB=90,解直角ABE得到AE=BE,那么=.作AFCE于F, BGCE于G.證明AFMBGM,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出=,進(jìn)而求 出=.,解題關(guān)鍵本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理,銳角三角函數(shù)定義,通過(guò)作輔助線得出=是解題的關(guān)鍵.,27.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,24,9分)如圖,已知AD是ABC的外角EAC的平分線,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,延長(zhǎng)DA交ABC的外接圓于點(diǎn)F,連接FB,FC. (1)求證:FBC=FCB; (2)已知FAFD=12,若AB是ABC外接圓的直徑,FA=2,求CD的長(zhǎng).,解析(1)證明:四邊形AFBC內(nèi)接于圓, FBC+

54、FAC=180, 又CAD+FAC=180, FBC=CAD,(1分) AD是ABC的外角EAC的平分線, EAD=CAD, 又EAD=FAB, FAB=CAD.(2分) 又FAB=FCB,FBC=FCB.(3分) (2)由(1)知FBC=FCB,FCB=FAB, FAB=FBC,(4分) 又BFA=BFD,AFBBFD.(5分) 于是有FBA=FDB,=, 即BF2=FAFD=12,BF=2.(6分),而FA=2,FD=6,AD=4, AB為圓的直徑,BFA=BCA=90,(7分) tanFBA=, FBA=30,(8分) 又FBA=FDB, FDB=30,CD=2.(9分),28.(201

55、5江蘇南京,26,8分)如圖,四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形,BC的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,且DC=DE. (1)求證A=AEB; (2)連接OE,交CD于點(diǎn)F,OECD.求證:ABE是等邊三角形.,證明(1)四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形, A+BCD=180. 又DCE+BCD=180, A=DCE. DC=DE,DCE=AEB. A=AEB.(4分) (2)A=AEB,ABE是等腰三角形. OECD,CF=DF. OE是CD的垂直平分線.ED=EC. 又DC=DE,DC=DE=EC. DCE是等邊三角形. AEB=60. ABE是等邊三角形.(8分),29.(2015貴州遵義,26

56、,12分)如圖,ABC中,AB=AC,以AB為直徑作O,交BC于點(diǎn)D,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AD、DE. (1)求證:D是BC的中點(diǎn); (2)若DE=3,BD-AD=2,求O的半徑; (3)在(2)的條件下,求弦AE的長(zhǎng).,解析(1)證明:AB為O的直徑, ADBC.(2分) 又AB=AC, D是BC的中點(diǎn).(4分) (2)AB=AC,B=C, 又B=E,C=E,DC=DE, BD=DE=3,(5分) 又BD-AD=2,AD=1.(6分) 在RtABD中,BD=3,AD=1, AB=,(7分) 則O的半徑為.(8分) (3)解法一:在CAB和CDE中, B=E,C=C(公共角), CABC

57、DE,(9分),=,(10分) CA=AB=,CE=,(11分) AE=CE-AC=-=.(12分),解法二:連接BE, AB是O的直徑, BEC=90.(9分) 在ADC和BEC中, ADC=BEC=90,C=C, ADCBEC,(10分) =, CE=,(11分),AE=CE-AC=.(12分) 此題第(3)問(wèn)的解法較多,請(qǐng)參照給分.,評(píng)析本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的性質(zhì)與判定.屬中檔題.,30.(2014湖北武漢,22,8分)如圖,AB是O的直徑,C,P是上兩點(diǎn),AB=13,AC=5. (1)如圖,若點(diǎn)P是的中點(diǎn),求PA的長(zhǎng); (2)如圖,若點(diǎn)P是的中

58、點(diǎn),求PA的長(zhǎng). 圖圖,解析(1)如圖,連接PB,BC. AB是O的直徑,P是的中點(diǎn), PA=PB,APB=90. AB=13,PA=AB=. (2)如圖,連接PB,BC.連接OP交BC于D點(diǎn). P是的中點(diǎn),OPBC于D,BD=CD. OA=OB,OD=AC=. OP=AB=, PD=OP-OD=-=4.,AB是O的直徑,ACB=90. AB=13,AC=5,BC=12, BD=BC=6. PB=2. AB是O的直徑, APB=90,PA=3.,31.(2014遼寧沈陽(yáng),22,10分)如圖,O是ABC的外接圓,AB為直徑,ODBC交O于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接AD,BD,CD. (1)求證:A

59、D=CD; (2)若AB=10,cosABC=,求tanDBC的值.,解析(1)證明:AB為O的直徑,ACB=90. 又ODBC,AEO=ACB=90. ODAC.=.AD=CD. (2)AB=10, OA=OD=AB=5. ODBC,AOE=ABC. 在RtAEO中, OE=OAcosAOE=OAcosABC=5=3. DE=OD-OE=5-3=2. 由勾股定理得,AE=4. 在RtAED中,tanDAE=. 又DBC=DAE,tanDBC=.,評(píng)析本題綜合考查了圓的知識(shí),解直角三角形,屬中等難度題.,32.(2014天津,21,10分)已知O的直徑為10,點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)C在O上,CAB的平分線交O于點(diǎn)D. (1)如圖,若BC為O的直徑,AB=6,求AC,BD,CD的長(zhǎng); (2)如圖,若CAB=60,求BD的長(zhǎng).,解析(1)由BC為O的直徑,得CAB=BDC=90. 在RtCAB中,BC=10,AB=6, AC=8. AD平分CAB,=.CD=BD. 在RtBDC中,BC=10,CD2+BD2=BC2, BD2=CD2=50.BD=CD=5. (2)如圖,連接OB,OD. AD平分CAB,且CAB=60, DAB=C