1、第三章,數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入,十六世紀(jì)，人們?cè)谟懻撘辉畏匠?、一元三次方程的根時(shí)，為了研究問題的需要引入了復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)首先引入，經(jīng)過達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受高斯把復(fù)數(shù)與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)使得復(fù)數(shù)與向量、解析幾何、三角函數(shù)等密切聯(lián)系起來復(fù)數(shù)有向量表示、三角表示，指數(shù)表示等，滿足四則運(yùn)算等性質(zhì)它是復(fù)變函數(shù)論、解析數(shù)論、傅里葉分析、分形、流體力學(xué)、相對(duì)論、量子力學(xué)等學(xué)科中最基礎(chǔ)的對(duì)象和工具隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論不但對(duì)于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的

2、威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論 學(xué)習(xí)本章要注意感受人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用,31數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念,31.1數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念,自主預(yù)習(xí)學(xué)案,1數(shù)系擴(kuò)充的脈絡(luò)、原則 脈絡(luò)：自然數(shù)系整數(shù)系有理數(shù)系實(shí)數(shù)系_ 原則：數(shù)系擴(kuò)充時(shí)，一般要遵循以下原則： (1)增添新元素，新舊元素在一起構(gòu)成新數(shù)集； (2)在新數(shù)集里，定義一些基本關(guān)系和運(yùn)算，使原有的一些主要性質(zhì)(如運(yùn)算定律) _適用； (3)舊元素作為新數(shù)集里的元素，原有的運(yùn)算關(guān)系_； (4)新的數(shù)集能夠解決舊的數(shù)集不能解決的矛盾,復(fù)數(shù)系,依然,保持不變,1,實(shí)部,虛部,復(fù)數(shù)集,ac且bd,a0且b0,必要不充分,b0,b0,(2

3、)集合表示：,C,2若復(fù)數(shù)za232ai的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_ 解析由條件知a232a0， a1或a3 3若復(fù)數(shù)z(m1)(m29)i0，則實(shí)數(shù)m的值等于_,1或3,3,4實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z(m25m6)(m22m15)i (1)是實(shí)數(shù)；(2)是虛數(shù)；(3)是純虛數(shù)；(4)是0,互動(dòng)探究學(xué)案,命題方向1復(fù)數(shù)的概念,典例 1,B,(3)判斷下列命題的真假 若x，yC，則xyi12i的充要條件是x1，y2； 若實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)； 實(shí)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集 解析(1)對(duì)于，當(dāng)zR時(shí)，z20成立，否則不成立，如zi，z210，所以為假命題； 對(duì)于，

4、2i112i，其虛部為2，不是2i，所以為假命題； 對(duì)于，2i02i，其實(shí)部是0，所以為真命題 (2)由題意得：a22，(2b)3，所以a，b5 (3)由于x，y都是復(fù)數(shù)，故xyi不一定是代數(shù)形式，因此不符合兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，故是假命題 當(dāng)a0時(shí)，ai0為實(shí)數(shù)，故為假命題 由復(fù)數(shù)集的分類知，正確，是真命題,規(guī)律總結(jié)判斷與復(fù)數(shù)有關(guān)的命題是否正確的方法 (1)舉反例：判斷一個(gè)命題為假命題，只要舉一個(gè)反例即可，所以解答這類型題時(shí)，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進(jìn)行解答 (2)化代數(shù)式：對(duì)于復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的確定，不但要把復(fù)數(shù)化為abi的形式，更要注意這里a，b均為實(shí)數(shù)時(shí)，才能確定

5、復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部 特別提醒：解答復(fù)數(shù)概念題，一定要緊扣復(fù)數(shù)的定義，牢記i的性質(zhì),跟蹤練習(xí)1 1i20； 若a，bR，且ab，則aibi； 若x2y20，則xy0； 兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小 其中，正確命題的個(gè)數(shù)是() A1B2 C3D4 解析選B對(duì)于，因?yàn)閕21，所以1i20，故正確 對(duì)于，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，故錯(cuò) 對(duì)于，當(dāng)x1，yi時(shí)x2y20成立，故錯(cuò)正確,B,命題方向2復(fù)數(shù)的分類,典例 2,規(guī)律總結(jié)1判斷一個(gè)含有參數(shù)的復(fù)數(shù)在什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，首先，參數(shù)的取值要保證復(fù)數(shù)有意義，然后按復(fù)數(shù)表示實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)等各類數(shù)的充要條件求解 2對(duì)于復(fù)數(shù)zabi(a、bR)，既要從整體的角度

6、去認(rèn)識(shí)它，把復(fù)數(shù)z看成一個(gè)整體，又要從實(shí)部與虛部的角度分解成兩部分去認(rèn)識(shí)它 3形如bi的數(shù)不一定是純虛數(shù)，只有限定條件bR 且b0時(shí)，形如bi的數(shù)才是純虛數(shù),跟蹤練習(xí)2 實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z(k23k4)(k25k6)i是(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)零？,命題方向3復(fù)數(shù)相等的條件,已知x是實(shí)數(shù)，y是純虛數(shù)，且滿足(3x10)iy3i，求x與y 思路分析因?yàn)閥是純虛數(shù)，所以可設(shè)ybi(bR，b0)代入等式，把等式的左、右兩邊都整理成abi的形式后，可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件得到關(guān)于x與b的方程組，求解后得x與b的值,典例 3,規(guī)律總結(jié)一般利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，可由一個(gè)復(fù)數(shù)等式得到兩個(gè)實(shí)數(shù)等式

7、組成的方程組，從而可確定兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)復(fù)數(shù)相等是實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)向?qū)崝?shù)轉(zhuǎn)化的橋梁,跟蹤練習(xí)3 已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1，1,4i，若MPP，則實(shí)數(shù)m的值為_ 思路分析由MPP知，M是P的子集，從而可知(m22m)(m2m2)i1或4i，利用復(fù)數(shù)相等的條件可求得m的值,1或2,兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)必為實(shí)數(shù)，從而這兩個(gè)復(fù)數(shù)的虛部為0,根據(jù)復(fù)數(shù)的大小求參數(shù)的值,典例 4,規(guī)律總結(jié)已知兩個(gè)復(fù)數(shù)的大小求參數(shù)值時(shí)，一般先由復(fù)數(shù)的虛部為0求得參數(shù)的值，再進(jìn)一步檢驗(yàn)復(fù)數(shù)的大小關(guān)系即可,跟蹤練習(xí)4 (1)已知復(fù)數(shù)zk23k(k25k6)i(kR)，且zz2的m值的集合是什么？使z1z2的m值

8、的集合又是什么？ 解析(1)z0， zR故復(fù)數(shù)的虛部k25k60，即(k2)(k3)0， k2或k3 k3時(shí)，z0，不符合題意k2時(shí)，z20，符合題意,在下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是() 兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??； 若z1和z2都是虛數(shù)，且它們的虛部相等，則z1z2； 若a、b是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則(ab)(ab)i是純虛數(shù) A0B1 C2D3,要準(zhǔn)確掌握復(fù)數(shù)的概念,典例 5,錯(cuò)解兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，故正確； 設(shè)z1mi(mR)，z2ni(nR) z1與z2的虛部相等，mn，z1z2，故正確 若a、b是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則ab0， 所以(ab)(ab)i是純虛數(shù)，故正確 綜上可知：都正確，故選D 辨析兩個(gè)復(fù)數(shù)當(dāng)它們都是實(shí)數(shù)時(shí)，是可以比較大小的，錯(cuò)解中忽視了這一特殊情況導(dǎo)致錯(cuò)誤；而錯(cuò)解將虛數(shù)與純虛數(shù)概念混淆，事實(shí)上純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集，在代數(shù)形式上，純虛數(shù)為bi(bR且b0)虛數(shù)為abi(a，bR，且b0)中要保證ab0才可能是純虛數(shù),正解A兩個(gè)復(fù)數(shù)當(dāng)它們都是實(shí)數(shù)時(shí)，是可以比較大小的，故是不正確的； 設(shè)z1abi(a，bR，b0)，z2cdi(c，dR且d0)，bd，z2cbi 當(dāng)ac時(shí)，z1z2，當(dāng)