1、,約束、自由度與廣義坐標(biāo),一、問(wèn)題的提出,物體系統(tǒng)根據(jù)其與外界環(huán)境之間的關(guān)系，可分成自由系統(tǒng)與非自由系統(tǒng)。,研究約束質(zhì)點(diǎn)系的力學(xué)問(wèn)題，必須闡明約束，自由度與 廣義坐標(biāo)的概念。,二、約束,1.約束概念,約束就是限制物體任意運(yùn)動(dòng)的條件。,剛體靜力學(xué)研究約束, 是探究約束的原因-約束力,運(yùn)動(dòng)學(xué)研究約束,是探究約束的結(jié)果-運(yùn)動(dòng)的限制,2.約束方程,(1) 坐標(biāo) 確定一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置需要三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，這些參數(shù)或代表長(zhǎng)度或代表角度，統(tǒng)稱坐標(biāo)。 (2)位形 對(duì)于由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的自由質(zhì)點(diǎn)系，則需要3n個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，這3n個(gè)的坐標(biāo)集合稱為質(zhì)點(diǎn)系的位形。 (3)約束方程 約束可以通過(guò)聯(lián)系坐標(biāo)、坐標(biāo)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)

2、以及時(shí)間t之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)方程組加以描述，這些數(shù)學(xué)方程組稱之為約束方程。,3. 約束分類(lèi)與約束方程一般形式,n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，約束方程的一般形式為：,(r=1,s),約束方程的個(gè)數(shù)為：s,約束方程中不含: 時(shí)為幾何約束(完整約束) , 反之為非完整約束。,約束方程的特例:,約束方程中不含: 時(shí)間顯含t時(shí)為定常約束, 反之為非定常約束。,約束方程中以等號(hào)表示時(shí):為雙面（固執(zhí)）約束, 反之為單面（非固執(zhí)）約束。,幾何約束,曲面上的質(zhì)點(diǎn)：,單擺:,運(yùn)動(dòng)約束,幾何約束,運(yùn)動(dòng)約束,純滾動(dòng)的圓輪：,定常幾何約束,單擺:,非定常幾何約束,單擺,OA為剛性桿：,OA為柔繩：,雙面約束：在約束方程中用嚴(yán)格的

3、 等號(hào)表示的約束。,單面約束：在約束方程含有不等號(hào) 表示的約束。,1.位移約束-全部幾何約束,2.運(yùn)動(dòng)約束可積分-純滾動(dòng)的圓輪;,運(yùn)動(dòng)約束不可積分-如碰撞系統(tǒng), 摩擦系統(tǒng)等.,靜力學(xué)問(wèn)題中的約束都是定常幾何約束。,本教材動(dòng)力學(xué)研究：定常、雙面、完整約束。,三、廣義坐標(biāo)、自由度,自由度：唯一確定質(zhì)點(diǎn)系空間位置的獨(dú)立參變量個(gè)數(shù),平面質(zhì)點(diǎn):,空間質(zhì)點(diǎn):,i=1,2, n,1.基本概念,自由度數(shù)定義為質(zhì)點(diǎn)系解除約束時(shí)的坐標(biāo)數(shù)減去約束方程數(shù),與自由度相對(duì)應(yīng)的獨(dú)立坐標(biāo)就是廣義坐標(biāo),2.自由剛體的自由度,最簡(jiǎn)單的剛體由4個(gè)質(zhì)點(diǎn)用6根剛桿組成幾何不變體(形如四面體)，則自由剛體的自由度為：,此后每增加一個(gè)質(zhì)點(diǎn)

4、就增加3根剛桿。,連接質(zhì)點(diǎn)的剛桿數(shù)為：,每一根剛桿相當(dāng)于一個(gè)約束，所以約束數(shù)為：,自由度數(shù)為： , n4,3.自由剛體的廣義坐標(biāo),基點(diǎn)的直角坐標(biāo),和歐拉角,或卡爾丹角,自由剛體的廣義坐標(biāo)。,組成的6個(gè)獨(dú)立參變量就是,它們被用于描述剛體的位形。,4.受約束剛體的自由度,設(shè)剛體數(shù)為n，則 k = 6n -S,4、約束剛體的自由度與廣義坐標(biāo),約 束剛體的自由度與廣義坐標(biāo)根據(jù)其運(yùn)動(dòng)形式不同有所減小，下表給出剛體在不同的運(yùn)動(dòng)形式時(shí)的廣義坐標(biāo)數(shù)。,四 實(shí)例:機(jī)構(gòu)如圖,輪C作純滾動(dòng),3.約束方程(在點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)),1.剛體數(shù)目 3;,2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體 OA ;平面運(yùn)動(dòng)剛體 AB及輪C ;,結(jié)論:8個(gè)約束方程,4.廣義坐標(biāo),5.自由度計(jì)算,廣義坐標(biāo)數(shù)為 :3n-s=1, 即:,自由度,約束方程數(shù),或,剛體數(shù)n=3,6.選廣義坐標(biāo)為:,自由度恒等于廣義坐標(biāo)數(shù),廣義坐標(biāo),自由度,本例為質(zhì)點(diǎn)與剛體,五 總 結(jié),(1)檢查剛體(質(zhì)點(diǎn))數(shù)目 n。 (2)檢查各剛體的運(yùn)動(dòng)形式。 (3)列寫(xiě)出約束方程。 (4)計(jì)