1、第二章 插值法與數(shù)值微分,2.1 線性插值和拋物插值 2.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式 2.3 插值多項(xiàng)式的誤差 2.4 分段插值法 2.5 三次樣條插值 2.6 數(shù)值微分 附 牛頓型多項(xiàng)式插值,引 言,實(shí)際中，f(x)多樣，復(fù)雜，通常只能觀測(cè)到一些離散數(shù)據(jù)； 或者f(x)過于復(fù)雜而難以運(yùn)算。這時(shí)我們要用近似函數(shù)g(x)來逼近f(x)。這個(gè)過程就是曲線擬合。,插值法在工程及建筑設(shè)計(jì)中應(yīng)用十分廣泛。例如，已知一天24小時(shí)的逐時(shí)室外氣溫、綜合溫度、冷熱負(fù)荷等值，需要知道其他任意時(shí)刻的值，即可應(yīng)用插值計(jì)算求得；又如，我國(guó)工業(yè)企業(yè)采取通風(fēng)和空氣調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)規(guī)范中，僅給出了有限個(gè)地區(qū)相應(yīng)有限個(gè)方位的夏季太陽輻射熱

2、總強(qiáng)度值，以及透過窗玻璃的太陽總輻射強(qiáng)度值，至于其它任意方位（0-350）的中間值，也要用插值法求得。因此，插值法的研究很有必要。,常用曲線擬合方法：插值法、最小二乘法,自然地，希望g(x)通過所有的離散點(diǎn),本章學(xué)習(xí)插值法,基本概念：,1.設(shè)已知 在n+1個(gè)點(diǎn) 上的函數(shù)值分別為 ，求一個(gè)不超過n次的多項(xiàng)式 ，使 插值條件 稱為插值多項(xiàng)式 稱為插值節(jié)點(diǎn), 稱為插值區(qū)間。,3.插值多項(xiàng)式的存在唯一性： 定理：,2.幾何意義：n次代數(shù)曲線代替,2.1 線性插值和拋物插值,一、線性插值：,已知函數(shù) 在結(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)值 ，要求一個(gè)一次多項(xiàng)式 使之滿足 ， 其幾何意義就是通過A，B兩點(diǎn)作一條直線近似代替曲

3、線 。,圖23 線性插值幾何意義,優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單，以直線代替曲線。 缺點(diǎn)：精度低，誤差大。 改進(jìn)：多用一些點(diǎn)。,由解析幾何，我們立即可以得到的 表達(dá)式,這樣的 一般是 的一次多項(xiàng)式，即一次函數(shù)。這種插值稱為線性插值（或一次插值）。,例2.1已知某多葉調(diào)節(jié)風(fēng)閥。當(dāng)葉片數(shù)為n=3時(shí)，葉片與氣流方向呈各種角度時(shí)。某局部阻力系數(shù)值如下表表示：,求當(dāng)?shù)扔?0時(shí)，多葉調(diào)節(jié)風(fēng)閥的局部阻力系數(shù)的線形插值。,并將其代入線性插值公式，有,二、拋物插值（三點(diǎn)插值） 已知 ,求二次多項(xiàng)式 ,滿足插值 條件 。,幾何意義：通過三點(diǎn)A、B、C的拋物線代替曲線,這樣的 是 的二次函數(shù)，其形式為：,其中 為待定常數(shù)。,若將A

4、，B，C三點(diǎn)分別代入上式會(huì)得到一個(gè)有唯一解的三元一次方程，從而 即可確定，但求起來比較麻煩。,簡(jiǎn)便算法：,拋物插值公式：（二次插值公式）,稍加整理即得拋物插值公式。,例 2.2 分別計(jì)算下列各題：1）利用100和121求平方根115；2）利用100，121和144求平方根115。,解:用線形插值求解問題1）,與所求平方根的實(shí)際值10.72387比較，得到了具有三位有效數(shù)字的結(jié)果10.71428 。,用拋物插值求解問題2）,與平方根實(shí)際值10.7238比較，10.72275551具有四位有效數(shù)字，顯然比線形插值的結(jié)果好。一般地說，拋物插值比線形插值近似程度要好些。,2.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式,對(duì)

5、數(shù)據(jù)進(jìn)行插值的方法有好幾種，如拉格朗日插值法、牛頓插值法、hermite插值法，我們主要介紹的是拉格朗日插值法。 一、拉格朗日插值公式： 1.問題提出：這節(jié)就具有一般形式的代數(shù)插值問題（即已知函數(shù) 在n+1個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值 ,求一個(gè)n次多項(xiàng)式 ，并滿足條件 ）來討論如何構(gòu)造其插值多項(xiàng)式 。,2.插值基函數(shù)：我們只會(huì)求有2個(gè)3個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式，有更多的節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式是怎樣的呢，如何求得呢，今天我們就來研究給出n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式的形式。我們先觀察線性插值多項(xiàng)式和拋物插值多項(xiàng)式。得出結(jié)論：,3.拉格朗日插值公式：,這就是所要求的插值多項(xiàng)式，稱為拉格朗日（Lagrange） 插值多項(xiàng)式。,當(dāng)n

6、=1時(shí)，就得出線形插值多項(xiàng)式， n=2時(shí)，就得出拋物插值多項(xiàng)式。,4.算法設(shè)計(jì)與流程圖：,（1）流程圖：,（2）算法功能：用Lagrange插值公式，對(duì)給定的n組 數(shù)據(jù)進(jìn)行插值計(jì)算。,（3）算法簡(jiǎn)介：,（4）程序：,/* rtn=lagrange(x0,y0,n,x,float p; *y=0; if(n1) for(i=0;in;i+) p=1; for(j=0;jn;j+) if(i!=j) p=p*(x-x0j)/(x0i-x0j); *y=*y+p*y0i; return(0); else return(-1); ,main() float x04=0.46,0.47,0.48,0.4

7、9; float y04=0.484655,0.493745,0.502750,0.511668; float x,y; int n,rtn; n=4; x=0.472; rtn=lagrange(x0,y0,n,x, ,1 參數(shù)說明： 輸入?yún)?shù)：X0 y0 ,（5）程序使用說明：,n整型量，給定插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。,X實(shí)型量，插值點(diǎn)。,輸出參數(shù)： y,實(shí)型指針，接受調(diào)用程序傳送的一 個(gè)實(shí)型量的地址，在程序結(jié)束時(shí)， 該實(shí)型量返回計(jì)算結(jié)果。,注：該實(shí)型量中原有內(nèi)容將被破壞。,2 調(diào)用說明： 格式：rtn=lagrange(x0,y0,n,x,&y)。rtn是一整型量。 本子函數(shù)是一個(gè)整型函數(shù)，因此返

8、回主函數(shù)一個(gè)整代碼于變量rtn中。代碼的意義如下： 0程序正常結(jié)束，在y中有計(jì)算結(jié)果。 -1程序異常返回，在y中沒有結(jié)果。異常的原因是n不大于1，使運(yùn)算無法繼續(xù)進(jìn)行。,（6）Mathematica程序：,插值多項(xiàng)式函數(shù)的一般形式： InterpolatingPolynomialdata,var 構(gòu)造以data為插值點(diǎn)數(shù)據(jù)，以var為變量名的插值多項(xiàng)式.,2.3 插值多項(xiàng)式的誤差,1.插值余項(xiàng)：,2.誤差估計(jì)：,定理：,證明：,當(dāng) 為節(jié)點(diǎn)時(shí)，兩邊皆為0，顯然成立。 下設(shè) 不為節(jié)點(diǎn)。作輔助函數(shù),即 問題得證。,這個(gè)定理所講的余項(xiàng)用起來有一定的困難 ，因?yàn)閷?shí)際計(jì)算時(shí)，只是給出 的一張數(shù)據(jù)表，并未給出

9、具體的解析式子，故 并不知道，所以 也就無法得到。,3.事后估計(jì)：,利用余項(xiàng)公式知,稍加整理得,這種用計(jì)算的結(jié)果來估計(jì)誤差的辦法，通常稱為事后 估計(jì)，在計(jì)算中是常用的，這種估計(jì)誤差的方法，將 貫穿我們計(jì)算方法這門課程的始終。,4.拉格朗日插值多項(xiàng)式的優(yōu)缺點(diǎn)：,優(yōu)點(diǎn)：拉格朗日插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對(duì)稱，使用方便 缺點(diǎn)： a.不具備遞推性，當(dāng)需要增加節(jié)點(diǎn)時(shí)需要重新計(jì)算； b.龍格（Runge）現(xiàn)象:高次拉格朗日插值多項(xiàng)式穩(wěn)定性差，對(duì)于計(jì)算過程的舍入誤差十分敏感，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增多時(shí)，不能保證非節(jié)點(diǎn)處的插值精度得到改善，有時(shí)反而誤差更大。龍格就給出了一個(gè)例子：設(shè)被插值函數(shù),取等矩節(jié)點(diǎn) ，作拉格朗日插值多項(xiàng)式 。

10、 當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 及插值多項(xiàng)式 的圖形如下所 示。由圖可見，在區(qū)間-0.2，0.2上 比較接近 ,但在區(qū)間 -1，1兩端則誤差很大。當(dāng) 增大時(shí)，部分區(qū)間上插值多項(xiàng)式截?cái)?誤差偏大的現(xiàn)象更重。這種現(xiàn)象稱龍格現(xiàn)象。,-1,1,x,0.5,1.0,1.5,y,0,圖24 龍格現(xiàn)象,為避免龍格現(xiàn)象和不穩(wěn)定，通常限定 ，不采用高次插值多項(xiàng)式。,解決方法：分段插值,2.4 分段插值法,一 問題提出： 1. 適當(dāng)提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，可以提高計(jì)算的精確度，但次數(shù)太高又會(huì)產(chǎn)生不好的效果。因?yàn)榇螖?shù)越高，計(jì)算越繁，積累誤差就越大；曲線就會(huì)出現(xiàn)過多的扭擺。當(dāng)局部插值點(diǎn)有微小變動(dòng)時(shí)，就可能引起曲線大幅度的變化，使計(jì)算很

11、不穩(wěn)定。因此，插值多項(xiàng)式次數(shù)越高，其所求得的插值越顯得不可靠，從而也大大降低了它的工程應(yīng)用價(jià)值。這也就是很少采用拉格朗日插值公式的原因。因此，在工程應(yīng)用中，多采用分段插值法。即將插值區(qū)間分為若干個(gè)小段，在每一小段上使用低階插值如線形插值或拋物插值。,設(shè)已給出一系列離散結(jié)點(diǎn)：,應(yīng)用低階插值的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)靥暨x插值結(jié)點(diǎn)。余項(xiàng)公式 說明，選取的結(jié)點(diǎn) 離插值點(diǎn) 越近，誤差 就越小， 因而插值效果也就越好。因此，應(yīng)當(dāng)盡量在插值點(diǎn)的鄰 近選取插值結(jié)點(diǎn)。,2.分段插值：把整個(gè)插值區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，在每 個(gè)小區(qū)間上進(jìn)行低次插值。, 以三個(gè)節(jié)點(diǎn)為例，公式為：,2.選取節(jié)點(diǎn)：,設(shè),稱為分段線性插值,幾何意義：用

12、折線代替曲線,圖25 分段線性插值,稱為分段拋物插值，其節(jié)點(diǎn)的選取方法為：,附：Newton型多項(xiàng)式插值,且,同樣,承襲性：,為實(shí)數(shù),而且有：,這樣：,定義：差商,由歸納：,此處用到差商的一個(gè)性質(zhì)： （用歸納法易證） 對(duì)稱性：,定義關(guān)鍵：找不同的元素相減作分母,Newton插值構(gòu)造,1、先構(gòu)造差商表,例子,2點(diǎn)Newton型插值,2、利用差商表的最外一行，構(gòu)造插值多項(xiàng)式,一些性質(zhì),性質(zhì)2,誤差,性質(zhì)3,差商性質(zhì)總結(jié),什么是樣條:,是 指飛機(jī)或輪船等的制造過程中為描繪 出光滑的外形曲線(放樣)所用的工具,樣條本質(zhì)上是一段一段的三次多項(xiàng)式拼合而成的曲線,在拼接處,不僅函數(shù)是連續(xù)的,且一階和二階導(dǎo)數(shù)

13、也是連續(xù)的,1946年,Schoenberg將樣條引入數(shù)學(xué),即所謂的樣條函數(shù),一、三次樣條插值函數(shù),定義1.,2.5 三次樣條插值,-(1),二、三次樣條插值多項(xiàng)式,-(2),-(3),-(4),少兩個(gè)條件,并且我們不能只對(duì)插值函數(shù)在中間節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)進(jìn)行限制,也要對(duì)插值多項(xiàng)式在兩端點(diǎn)的狀態(tài)加以要求,也就是所謂的邊界條件:,第一類(一階)邊界條件:,第二類(二階)邊界條件,第三類(周期)邊界條件,-(5),-(6),-(7),加上任何一類邊界條件(至少兩個(gè))后,一般使用第一、二類邊界條件,即,-(8),或,常用第二類邊界條件,-(9),加以整理后可得,-(10),-(11),由條件,由于以上兩式相等,得,-(12),(12)式稱為基本方程組,如果問題要求滿足第一類(一階)邊界條件:,-(5),-(5),基本方程組(12)化為n-1階方程組,-(13),即,將(13)式化為矩陣形式,-(14),這是一個(gè)三對(duì)角方程組,如果問題要求滿足第二類(二階自然)邊界條件:,-(6),