1、,第十四章,積分學(xué) 定積分二重積分三重積分,積分域 區(qū) 間 平面域 空間域,曲線積分,曲線弧,曲面域,曲線積分,曲面積分,對弧長的曲線積分,對坐標(biāo)的曲線積分,對面積的曲面積分,對坐標(biāo)的曲面積分,曲面積分,曲線積分與曲面積分,第一節(jié),一、標(biāo)量函數(shù)的曲線積分 （對弧長的曲線積分或第一類曲線積分）,二、向量函數(shù)的曲線積分 （對坐標(biāo)的曲線積分或第二類曲線積分）,曲線積分,第十四章,第一部分,一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì),二、對弧長的曲線積分的計算法,對弧長的曲線積分,第十四章,一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì),其線密度為,“四步九字法：分割，代替，求和，取極限”,為計算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例: 曲

2、線形構(gòu)件的質(zhì)量M（以平面曲線為例）,采用,假設(shè)曲線形細(xì)長構(gòu)件L在 面所占,計算此構(gòu)件的質(zhì)量M.,分割（大化?。?求和（近似和）：,取極限：,近似值,精確值,代替(常代變）：,2.定義,設(shè) L 是 xOy 面上的一條光滑曲線弧,在 L 有界。,在 L 上任意插入一點(diǎn)列 把L分成 n個小段。,設(shè)第i個小段的長度為 。又 為第i個小段上任意取定,如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值 時，,的一點(diǎn)，作乘積 ，并作和,這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù),在曲線弧L上標(biāo)量函數(shù)的曲線積分,對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，,思考:,(1) 若在 L 上 f (x, y)1,(2) 定積分是否可看作對弧長曲線積分的

3、特例 ?,否!,對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中,dx 可能為負(fù).,即：,被積函數(shù),積分弧段,積分和式,記作,注意：,1、上述積分是定積分和重積分的推廣。,既有聯(lián)系又有區(qū)別,注意：只用了一個積分號！。,2、如果 L 是閉曲線 , 則記為,4、存在條件：,6、推廣,5、物理意義：曲線型構(gòu)件的質(zhì)量。,設(shè) 是空間中一條有限長的光滑曲線,義在 上的一個有界函數(shù),則,記作,3. 性質(zhì),（, 為常數(shù)),( L 由 組成),( l 為曲線弧 L 的長度),( 3)設(shè),（6）對稱性,平面曲線積分同二重積分，空間曲線積分通三重積分。,二、對弧長的曲線積分的計算法,基本思路:,計算定積分,定理:,且,

4、上的連續(xù)函數(shù),證:,是定義在光滑曲線弧,則曲線積分,求曲線積分,根據(jù)定義,點(diǎn),設(shè)各分點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)為,對應(yīng)參數(shù)為,則,因此,注意:,因此積分限必須滿足,(2) 注意到,因此上述計算公式相當(dāng)于“換元法”.,不是獨(dú)立，而是有關(guān)聯(lián)的！,如果曲線 L 的方程為,則有,推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為,則,特殊情形;,如果曲線 L 的方程為,則有,思考：,例1,例2. 計算,其中 L 是拋物線,與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 .,解:,上點(diǎn) O (0,0),O A x,計算曲線積分 ，L：x2+y2=a2直線y=x,及x軸 在第一象限內(nèi)所圍成的區(qū)域邊界,解：,例3,例4. 計算曲線積分,其中 為螺旋,的

5、一段弧.,解:,線,例5. 計算,其中 為球面,解:,化為參數(shù)方程,則,例6,內(nèi)容小結(jié),1. 定義,2. 性質(zhì),( l 曲線弧 的長度),3. 計算, 對光滑曲線弧, 對光滑曲線弧, 對光滑曲線弧,思考與練習(xí),1. 已知橢圓,周長為a , 求,提示:,原式 =,利用對稱性,分析:,2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為,(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量,(2) 求它的質(zhì)心 .,解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).,(2) L的質(zhì)量,而,(1),故重心坐標(biāo)為,第二節(jié),備用題,1. 設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲線,及,所圍區(qū)域的邊界, 求,提示: 分段積分,2. L為球面,標(biāo)面的交線 , 求其形心坐標(biāo).,在第一卦

6、限與三個坐,解: 如圖所示 , 交線長度為,由對稱性 , 形心坐標(biāo)為,第二部分,一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì),二、 對坐標(biāo)的曲線積分的計算法,三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系,對坐標(biāo)的曲線積分,第十四章,預(yù)備知識：,有向曲線：指定了走向的曲線稱為有向曲線。,一、 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì),1. 引例: 變力沿曲線所作的功.,設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用,在 xoy 平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移動到點(diǎn) B,求移,“大化小”,“常代變”,“近似和”,“取極限”,常力沿直線所作的功,解決辦法:,動過程中變力所作的功W.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1) “大化小”.,2) “常代變”,

7、把L分成 n 個小弧段,有向小弧段,近似代替,則有,所做的功為,則,用有向線段,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3) “近似和”,4) “取極限”,(其中 為 n 個小弧段的 最大長度),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 定義.,設(shè) L 為xoy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑,弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),都存在,在有向曲線弧 L 上,或?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù),或第二類曲線積分.,其中,L 稱為積分弧段 或 積分曲線 .,稱為被積函數(shù) ,在L 上定義了一個向量函數(shù),極限,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,向量函數(shù)的積分，,若 為空間曲線弧 ,

8、記,稱為對 x 的曲線積分;,稱為對 y 的曲線積分.,若記, 對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作,類似地,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明：,3.物理意義：,變力做功,1.存在條件：,2.當(dāng)積分路徑L是封閉曲線時，第二類曲線積分可記為：,3. 性質(zhì),(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧,(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則,則,定積分是第二類曲線積分的特例.,說明:,對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算,基本思路:,計算定積分,求曲線積分,對坐標(biāo)的曲線積分的計算法:,定理:,在有向光滑弧 L 上有定義且,L 的參

9、數(shù)方程為,則曲線積分,連續(xù),存在, 且有,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意：,不一定小于,特殊情形,（1）若曲線方程是：,（2）若曲線方程是：,若空間曲線方程為一般方程：,則應(yīng)先把它化為參數(shù)方程后在轉(zhuǎn)化為定積分。,例1. 計算,其中L 為沿拋物線,解: 取 y 為參數(shù), 則,從點(diǎn),的一段.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 計算,其中 L 為,(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的,上半圓周, 方向為逆時針方向;,(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的參數(shù)方程為,(2) 取 L 的方程為,則,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返

10、回 結(jié)束,問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.,例3. 計算,其中L為,(1) 拋物線,(2) 拋物線,(3) 有向折線,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.,例4. 設(shè)在力場,作用下, 質(zhì)點(diǎn)由,沿移動到,解: (1),(2) 的參數(shù)方程為,試求力場對質(zhì)點(diǎn)所作的功.,其中為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 求,其中,從 z 軸正向向負(fù)向看為順時針方向.,解: 取 的參數(shù)方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系,兩類曲線

11、積分有如下聯(lián)系：,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,令,類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是,令,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6.,將積分,化為對弧長的積,分,解：,其中L 沿上半圓周,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1. 定義,2. 性質(zhì),(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧,(2) L 表示 L 的反向弧,對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!,內(nèi)容小結(jié),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 計算, 對有向光滑弧, 對有向光滑弧,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4. 兩類曲線積分的聯(lián)系, 對空間有向光滑弧 :,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,原點(diǎn) O 的距離成正比,思考與練習(xí),1. 設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)在,處受,恒指向原點(diǎn),沿橢圓,此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn),沿逆時針移動到,提示:,(解見 P139 例5),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 已知,為折線 ABCOA(如圖), 計算,提示:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題 1.,解