1、簡明通信原理Concise Principles of Communications,武漢理工大學計算機學院,第2章 信號和頻譜,學 習 目 標,信號的分類與特性。 傅里葉級數和傅里葉變換。 能量（或功率）譜與相關函數。 平穩(wěn)、高斯、窄帶隨機過程的統(tǒng)計特性。 高斯白噪聲和低通（或帶通）白噪聲。 帶寬的概念與定義。,2.1 信號分類,信號（signal）是指表示消息的某種電（物理）量，如電壓、電流或電磁波等。 為方便研究不同問題，可將信號進行如下分類： 模擬信號與數字信號（詳見第1章） 基帶信號與已調信號（詳見第1章） 確知信號和隨機信號 周期信號和非周期信號 能量信號和功率信號,2.1.1 確

2、知信號和隨機信號 確知信號是可以預先確知其變化規(guī)律的信號。例如， 。 隨機信號（不確知信號），其在定義域內的任意時刻都沒有確定的函數值。例如，通信系統(tǒng)中的接收信號、熱噪聲等。 2.1.2 周期信號和非周期信號 周期信號是定義在（ ）區(qū)間上，且每隔固定的時間按同樣規(guī)律重復變化的信號，即滿足： T0為信號的周期。 提問：沖激函數、正弦信號、Sa(x)函數、矩形脈沖序列、語音信號，哪些是周期信號？,2.1.3 能量信號和功率信號 電壓v(t)或電流i(t)在電阻R上所產生的瞬時功率為 或 “歸一化”瞬時功率（取R=1歐姆）： s(t)代表v(t)或i(t) s(t)的（歸一化）總能量為 （歸一化）平

3、均功率為： 若E有限 ，而P0，則稱為能量（有限）信號。如單個矩形脈沖。 若P有限，而E，則稱為功率（有限）信號。如周期信號和隨機信號。,確知信號的分析方法是信號分析的基礎。 信號的特性可從時域和頻域來描述。 時域特性反映信號隨時間變化的特性，可借助示波 器觀察信號的波形。 頻率特性反映信號各個頻率分量的分布情況，可借助頻譜儀觀察信號的頻譜。 在數學上，周期信號的頻譜可用傅里葉（Fourier）級數來分析；非周期信號的頻譜可用傅里葉變換來分析。,2.2 確 知 信 號,2.2.1 傅里葉級數 周期信號s(t)可展成（指數型）傅里葉級數： 其中，傅氏系數Cn為 式中，f0 =1/T0為信號的基頻

4、，nf0為 n次諧波頻率。 由于Cn反映了信號中各次諧波的幅度值和相位值，故稱Cn為信號的頻譜。可記為 幅度 隨頻率（nf0）變化的特性稱為信號的幅度譜， 相位 n 隨頻率（nf0）變化的特性稱為信號的相位譜。,【例2-1】 一個周期矩形脈沖信號的時域波形與幅度譜如圖2-2所示，簡述周期信號頻譜的特點，并確定該信號需要占用的頻帶寬度（即信號帶寬）。 解：周期信號的頻譜具有“離散性（譜線）、諧波性和收斂性”的特點。 幅度譜的主瓣寬度（指第一個零點頻率范圍）定義為信號帶寬(零點帶寬)： 可見，脈寬 越窄，B 越寬。,2.2.2 傅里葉變換 一個非周期確知信號s(t)的傅里葉（Fourier）變換：

5、 （2-2-5） 稱為該信號的頻譜密度，簡稱頻譜。 的傅里葉反變換就是原信號： （2-2-6） 這對傅里葉變換關系可簡記為 當引入沖激函數之后，傅里葉變換對周期信號和非周期信號都適用。,【例2-2】試求幅為A，寬為 的單個矩形脈沖（門函數）的頻譜。 解：對該信號進行傅里葉變換可得其頻譜為 式中， 稱為抽樣函數，且有 。譜的第1個零點頻率為 。 圖2-3 矩形脈沖信號及其頻譜函數,第一零點f=1/,評注： （1）非周期矩形脈沖信號的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀與圖2-2所示的周期矩形脈沖信號的離散頻譜的包絡線相似。 （2）信號帶寬與脈沖持續(xù)時間（脈寬 ）成反比，即 。這意味著，若要壓縮信號的持續(xù)時間則

6、以展寬頻帶為代價。 【例2-3】 已知 ，求 的頻譜（密度）。 解：利用歐拉公式可得 根據傅里葉變換的頻移特性可得 另一解法：利用傅里葉變換的頻域卷積性質求解。 評注：上式通常稱為調制定理，它在通信系統(tǒng)中的調制與解調過程中經常用到。,2.2.3 沖激函數和沖激序列 1、單位沖激函數(t) (t)是一個幅值無限大、寬度無窮小、面積為1的脈沖，可表示為 （1）篩選特性（采樣特性） 或 （2）搬移特性 （3）傅里葉變換和反變換 2、單位沖激序列,2.2.4 能量譜密度和功率譜密度 意義：。 1能量譜密度（ESD） ESD是指信號的能量在頻域上的分布情況。表示為 或 式中的S()為能量信號 s(t)

7、的傅里葉變換。 信號能量為 上式稱為Parseval（帕塞瓦爾）能量守恒定理。,2功率譜密度（PSD） PSD是指信號的功率在頻域上的分布情況。設 是功率信號s(t)的截短信號， 是 的傅里葉變換，則s(t)的功率譜密度為 或 信號功率為 對于周期性功率信號來說，其平均功率由下式給出： 式中， =1/ f0為信號周期； |Cn|2是第n次諧波的功率。|Cn|2隨nf0分布的特性稱為周期信號的（離散）功率譜密度，可表示為 或,3.能量（功率）帶寬 對于能量信號，可利用能量譜E(f)，由下式求出帶寬B ： 式中，為百分比，可取90%、95%或99%等。 對于功率信號，則可利用功率譜P(f)，由下式

8、求出帶寬B ： 2.2.5 波形的互相關和自相關 相關函數用于研究信號波形之間的關聯(lián)程度或相似程度。,1相關函數 表2-3 不同類型信號相關函數的表達式 其中， 為時間差；T0為周期。,2互相關函數的性質 ，表示兩個信號互不相關; 越大，說明無時差時的兩個信號越相似; 3自相關函數的性質 能量信號的R(0)=E(能量)；功率信號的R(0)=P(功率)。,2.2.6 相關函數與譜密度 能量信號的自相關函數和其能量譜密度是一對傅里葉變換，即 功率信號的自相關函數和其功率譜密度是一對傅里葉變換，即 以上關系稱為維納-辛欽定理。該定理為譜密度的求解提供了另一條途徑，即通過自相關函數來求得信號的譜密度。

9、 【例2-5】 求余弦信號 的PSD和平均功率。 解：余弦（或正弦）信號都是周期性功率信號，它的自相關函數為,利用積化和差三角函數公式，可得 利用維納-辛欽定理 ，可得信號的PSD： 信號的平均功率為 或 正弦信號與余弦信號具有相同的PSD、自相關函數和平均功率。 習慣把 和 統(tǒng)稱為正弦信號。,2.3 隨 機 過 程,本節(jié)內容是本課程的數學基礎，因為通信中的信號與噪聲都具有一定的隨機性，需要用隨機過程的理論來描述。 隨機過程的基本概念和數字特征； 平穩(wěn)、高斯、窄帶過程的統(tǒng)計特性； 隨機過程通過線性系統(tǒng)； 高斯白噪聲的統(tǒng)計特性。,2.3.1 何謂隨機過程？ 隨機過程可定義為所有樣本函數的集合。其

10、在任意時刻上的取值是一個隨機變量，因此又可定義為在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。 圖2-4 隨機過程的樣本 2.3.2 數字特征 分布函數或概率密度函數可充分地描述隨機過程的統(tǒng)計特性。 數字特征可描述隨機過程的基本特性。常用的數字特征有均值、方差和相關函數。,1均值或數學期望 含義：均值 表示隨機過程n個樣本曲線的擺動中心（見圖2-4中虛線）。 2方差 含義：方差反映了隨機過程在任意時刻的取值偏離均值的程度。 3自相關函數 若 并令 ，則相關函數 可寫成 含義：描述隨機過程在不同時刻的取值之間的關聯(lián)程度。,2.4 平穩(wěn)隨機過程,2.4.1 平穩(wěn)性 嚴（狹義）平穩(wěn)：隨機過程的統(tǒng)計特性不

11、隨時間的推移而改變。 寬（廣義）平穩(wěn)：隨機過程的數字特性不隨時間的推移而改變： 均值與 t 無關 自相關函數僅與時間間隔有關 嚴平穩(wěn)必然寬平穩(wěn)，反之不一定（高斯過程例外）。 通信系統(tǒng)中的信號與噪聲大多可視為寬平穩(wěn)過程。,2.4.2 各態(tài)歷經性 如果平穩(wěn)過程 的統(tǒng)計平均等于它的任意一個樣本 的時間平均，即 則稱該平穩(wěn)隨機過程 具有各態(tài)歷經性。 各態(tài)歷經性的意義： 可用一個樣本的“時間平均”替代隨機過程的“統(tǒng)計平均（需要對隨機過程的所有樣本求平均）”，使得測量和計算的問題大大簡化。,2.4.3 自相關函數的性質 平穩(wěn)隨機過程 的自相關函數只是時間差 的函數，即 它具有如下性質： （1） 的平均功率

12、 （2） 的直流功率 （3） （方差） 的交流功率 當均值為0時，有 （4） 的偶函數 （5） 時有最大值,2.4.4 功率譜密度 平穩(wěn)過程的功率譜密度與自相關函數是一對傅里葉變換關系，即 簡記為 稱為維納-辛欽定理。它建立了平穩(wěn)過程頻域和時域的聯(lián)系。 （1）當 時，有 即功率譜密度（PSD）的積分面積等于歸一化平均功率。 （2）功率譜密度（PSD）具有非負性和實偶性，即,2.5 高斯隨機過程,2.5.1 定義與特性 高斯過程的n維（n=1，2，）分布都服從正態(tài)分布。 高斯過程的統(tǒng)計特性完全由它的數字特征決定。 它的一維分布完全可由均值和方差來描述。 （1）若高斯過程是寬平穩(wěn)的，則也是嚴平穩(wěn)的

13、。 （2）若高斯過程在不同時刻的取值是不相關的， 則它們也是統(tǒng)計獨立的。 （3）高斯過程經過線性系統(tǒng)后的過程仍是高斯過程。 以上幾個性質在對高斯過程進行數學處理時十分有用。,2.5.2 一維高斯（或正態(tài)）分布 高斯過程在任意時刻上的取值都是一個高斯隨機變量，其一維概率密度函數為 具有如下特性： 曲線對稱于 這條直線。 的圖形將隨 的減小 而變得尖銳，說明隨機變量X 落在a點附近的概率越大。,在分析數字通信系統(tǒng)的抗噪聲性能時，往往需要計算高斯隨機變量X小于或等于某一取值 的概率 ，記為 式中， 稱為分布函數，是概率密度函數 的積分，即 （2-5-3） 為了便于計算上式積分的結果，常引用一些在數學

14、手冊上可查函數值的特殊函數來表示F(x)。例如，誤差函數和互補誤差函數，其公式與性質如表2-4所示。,表2-4誤差函數和互補誤差函數,若對式（2-5-3）的積分區(qū)間進行處理（如 ），然后進行變量代換，令 ，并與式（2-5-4）或式（2-5-5）聯(lián)系，則有 （2-5-8） 利用函數 或函數 表示F(x)的好處是，其簡明的特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能。,2.6 隨機過程通過線性系統(tǒng),對于線性時不變系統(tǒng)，其輸出過程 是輸入過程 與系統(tǒng)單位沖激響應 的卷積，即 根據上式，若給定 的統(tǒng)計特性，則可求得 的統(tǒng)計特性，結果如表2-5所示。 表2-5平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng) 表2-5中， 為線性系統(tǒng)

15、的頻率響應，且 ；H(0)是線性系統(tǒng)在 處的頻率響應，即直流增益； 是線性系統(tǒng)的功率增益。,2.7 窄帶隨機過程,窄帶隨機過程概念。例子：調頻（FM）信號、數字調相（2PSK）信號、白噪聲通過帶通濾波器后的噪聲等。 譜特征： 頻帶寬度 （中心頻率），且 0。 樣本波形：包絡 隨機緩變的正弦波。 表達式： 等價式： 式中， ， 分別稱為 的同相和正交分量。,兩個重要結論： 結論1：對于均值為零、方差為 的平穩(wěn)高斯窄帶過程 ，它的同相分量 和正交分量 同樣是平穩(wěn)高斯過程，且均值皆為零，方差都等于 （相當于平均功率相等）。 結論2：對于均值為0、方差為 的平穩(wěn)高斯窄帶過程 ，它的包絡 的一維分布是瑞

16、利分布，相位 的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言， 與 是統(tǒng)計獨立的。 以上兩個結論在帶通傳輸系統(tǒng)（如調制系統(tǒng)）的抗噪聲性能分析中將會用到。,2.8 通信系統(tǒng)中的噪聲,例子：電子設備中的電阻性器件所產生的熱噪聲，它是一種零均值的高斯白噪聲。常被用作信道中的噪聲模型。 2.8.1 白噪聲 白噪聲是一種帶寬無限的平穩(wěn)過程，它具有恒定的功率譜密度： 式中， 是一個常數，表示單邊功率譜密度，單位是瓦/赫。,白噪聲僅在 （同一時刻）時的取值才相關。 若白噪聲的取值服從高斯分布，則稱之為高斯白噪聲。,2.8.2 帶限白噪聲 這是白噪聲通過帶寬有限的信道或濾波器的情形。常見形式有： 設低通或帶通濾波器的頻率特性函數為 ，則白噪聲通過 的輸出噪聲的功率譜為 （2-8-3） 的積分面積等于輸出噪聲功率： （2-8-4）,為了便于計算 ，引入等效噪聲帶寬（或稱等效矩形帶寬）Bn，使得 式中，對于低通信號，f0=0；對于帶通信號，f0為中心頻率（通常是載頻fc）。而Bn正是濾波器的功率傳輸函數 的等效矩形寬度。 利用等效噪聲帶寬Bn的概念，實際濾波器的特性可以用矩形濾波器的特性（見圖中虛