1、.,動力學普遍方程 和拉格朗日方程,., 經典動力學的兩個發(fā)展方面, 拓寬研究領域,矢量動力學又稱為牛頓歐拉動力學,牛頓運動定律由單個自由質點 受約束質點和質點系(以達朗貝爾原理為基礎),歐拉將牛頓運動定律 剛體和理想流體, 尋求新的表達形式,將虛位移原理和達朗貝爾原理綜合應用于動力學 建立分析力學的新體系,拉格朗日力學,.,考察由N個質點的、具有理想約束的系統。根據 達朗貝爾原理，有,令系統有任意一組虛位移,系統的總虛功為,動力學普遍方程,.,系統的總虛功為,利用理想約束條件,得到, 動力學普遍方程,任意瞬時作用于具有理想、雙面約束的系統上的 主動力與慣性力在系統的任意虛位移上的元功之和 等

2、于零。,.,動力學普遍方程的直角坐標形式,動力學普遍方程 適用于具有理想約束或雙面約束的系統。,動力學普遍方程 既適用于具有定常約束的系統，也適用于具有非定常約束的系統。,動力學普遍方程 既適用于具有完整約束的系統，也適用于具有非完整約束的系統。,動力學普遍方程 既適用于具有有勢力的系統，也適用于具有無勢力的系統。,.,動力學普遍方程 主要應用于求解動力學第二類問 題，即：已知主動力求系統的運動規(guī)律。, 應用 動力學普遍方程 求解系統運動規(guī)律時，重要的是正確分析運動，并在系統上施加慣性力。, 由于 動力學普遍方程 中不包含約束力，因此，不需要解除約束，也不需要將系統拆開。, 應用 動力學普遍方

3、程 ，需要正確分析主動力和慣性力作用點的虛位移，并正確計算相應的虛功。,動力學普遍方程的應用,.,解：1、分析運動，施加慣性力,2、本系統有一個自由度， 令其有一虛位移 x。,3、應用動力學普遍方程,其中：,.,例 題 2,離心調速器,已知：,m1球A、B 的質量； m2重錘C 的質量； l桿件的長度； O1 y1軸的旋轉角速度。,求：, 的關系。,解： 不考慮摩擦力，這一系統 的約束為理想約束；系統具有一 個自由度。取廣義坐標 q = ,1、分析運動、確定慣性力,球A、B繞 y軸等速轉動；重錘靜止不動。,球A、B的慣性力為,.,2、令系統有一虛位移。A、B、C 三處的虛位移分別為rA、rB、

4、 rC 。,3、應用動力學普遍方程,根據幾何關系，有,.,3、應用動力學普遍方程,.,求：1、三棱柱后退的加速度a1； 2、圓輪質心C2相對于三棱 柱加速度ar。,解：1、分析運動,三棱柱作平動，加速度為 a1。,圓輪作平面運動，質心的牽連 加速度為ae= a1 ；質心的相對加 速度為ar；圓輪的角加速度為2。,.,解：2、施加慣性力,解：3、確定虛位移,考察三棱柱和圓盤組成的 系統，系統具有兩個自由度。,第一組,第二組,二自由度系統具有兩組虛 位移：,.,解：4、應用動力學普遍方程,令：,.,解：4、應用動力學普遍方程,令：,.,解：5、求解聯立方程,.,拉格朗日(Lagrange)方程,主

5、 動 力,虛 位 移,廣義坐標,第i個質 點的位矢,由動力學普遍方程，得,廣義力,.,.,第一個Lagrange經典關系(消點),.,對任意一個廣義坐標 qj 求偏導數,如果將位矢對任意一個廣義坐標 qj 求偏導數，再對時間求 導數，則得到,第二個拉格朗日關系式,.,.,此即拉格朗日方程，或稱為第二類拉格朗日方程。,如果作用在系統上的主動力都是有勢力，根據有勢力的廣義主動力,.,引入拉格朗日函數,LTV,得到主動力為有勢力的拉格朗日方程,.,對于只具有完整約束、自由度為 N 的系統，可以得到 由 N 個拉格朗日方程組成的方程組。,應用拉格朗日方程，一般應遵循以下步驟：, 首先，要判斷約束性質是

6、否完整、主動力是否有勢， 決定采用哪一種形式的拉格朗日方程。, 其次，要確定系統的自由度，選擇合適的廣義坐標。, 按照所選擇的廣義坐標，寫出系統的動能、勢能或廣 義力。, 將動能或拉格朗日函數、廣義力代入拉格朗日方程。,拉格朗日方程的應用,.,解：1、系統具有一個自由度， 取 為其廣義坐標。,2、計算系統的動能：,其中：,.,3、計算廣義力：,4、應用拉格朗日方程,.,解：1、系統具有二個自由度， 取 x、 為其廣義坐標。,2、計算系統的動能：,其中：,3、計算廣義力：,(1)令：,(2)令：,.,4、應用拉格朗日方程,解得：,.,例 題 6,質量為m、長度為l 的均質桿AB 可以繞A端的鉸鏈

7、在平面內轉動。 A端的小圓輪與剛度系數為k 的彈 簧相連，并可在滑槽內上下滑動。 彈簧的原長為l0。,求：系統的運動微分方程,k,解：1、系統的約束為完整約束， 主動力為有勢力。,2、系統具有兩個自由度，廣義坐標選擇為q=(x, ), x 坐標的原點取在彈簧原長的下方。,.,解：3、計算系統的動能：不計彈 簧的質量，系統的動能即為AB桿的 動能,速度vC的確定,系統的勢能由彈簧勢能與重力勢能所組成，以O點為共同的勢能零點：,.,拉格朗日函數,4、應用拉格朗日方程建立系統的運動微分方程,.,.,.,解：1、系統的約束為完整約束， 主動力為有勢力。,2、系統具有兩個自由度，廣義坐標選擇為q=(x,

8、 ), x 坐標的原點取在彈簧原長處。,.,3、計算系統的動能：,速度vC的確定,系統的勢能由彈簧勢能與重力勢能所組成：,.,拉格朗日函數,4、應用拉格朗日方程建立系統的運動微分方程,.,.,.,解：1、系統的約束為完整約束， 主動力為有勢力。,2、系統具有兩個自由度，廣義坐標選擇為q=( , )。,.,3、計算系統的動能：,由運動學可知：,建立隨質心O1平動的坐標系O1 x1 y1,.,3、計算系統的動能：,系統的勢能：,.,拉格朗日函數,4、應用拉格朗日方程建立系統的運動微分方程,.,.,.,拉格朗日(Lagrange)方程的初積分,（1）循環(huán)積分（廣義動量守恒）,（2）能量積分（廣義能量

9、守恒）,當 L 函數不顯含某一廣義坐標 qj 時， qj _稱為循環(huán)坐標， 此時，有循環(huán)積分：,系統主動力有勢，L 函數不顯含時間t ，約束是定常的， 即有機構能守恒：,.,由能量積分得：,因 L 函數不顯含 ，故 為循環(huán)坐標，系統存在循環(huán)積分：,.,.,結論與討論, 達朗貝爾原理、虛位移原理與 拉格朗日方程,., 達朗貝爾原理在形式上將質點系動力學問題化為靜力學平衡問題。, 虛位移原理給出了質點系平衡的充分與必要條件。, 通過達朗貝爾原理可以將虛位移原理推廣 應用于質點系的動力學問題，得到達朗貝爾 拉格朗日方程，即第一類拉格朗日方程，又稱為動力學普遍方程，用于求解具有理想約束的非自由質點系的動力學第二類問題，即已知主動力求運動。,結論與討論,., 第一類拉格朗日方程，即達朗貝爾拉格朗日方程，又稱為動力學普遍方程。,達朗貝爾拉格朗日方程適用于具有理想約束或 雙面約束的系統。,達朗貝爾拉格朗日方程既適用于具有定常約束 的系統，也適用于具有非定常約束的系統。,達朗貝爾拉格朗日方程既適用于具有完整約束 的系統，也適用于具有非完整約束的系統。,達朗貝爾拉格朗日方程既適用于