1、,一、定積分的元素法,二、平面圖形的面積,第七節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用,三、旋轉(zhuǎn)體的體積,四、平行截面面積已知的 立體的體積,五、小結(jié),回顧,曲邊梯形求面積的問題,一、定積分的元素法,面積元素,這個方法通常叫做元素法,應(yīng)用方向：,平面圖形的面積，體積。,經(jīng)濟(jì)應(yīng)用。其他應(yīng)用。,二、平面圖形的面積,如何用元素法分析？,，,二、平面圖形的面積,如何用元素法分析？,二、平面圖形的面積,如何用元素法分析？,第二步：寫出面積 表達(dá)式。,二、平面圖形的面積,如何用元素法分析？,平面曲線的函數(shù)表達(dá)式：,(1)曲線可表示為函數(shù)：y=f(x),設(shè)曲線上任意一點為(x,y). 則曲線的函數(shù)表達(dá)式分為,x,y,x,y,(

2、2)曲線可表示為函數(shù)：x=f(y),x,y,y,x,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,則橢圓的面積為,解：設(shè)橢圓在第一象限的面積為S1。,例,平面圖形的面積,2,平面圖形的面積,2,平面圖形的面積,2,c,平面圖形的面積,2,c,解： 由對稱性，圖形面積是第一 象限部分的兩倍。,S =2 ,例,下頁,解： 由對稱性，圖形面積是第一 象限部分的兩倍。,S =2 ,=2 ,例,下頁,平面圖形的面積,3,平面圖形的面積,3,平面圖形的面積,平面圖形的面積,二、立體的體積,設(shè)一立體在x軸上的投影區(qū)間為a, b

3、 ，過x點垂直于x軸的截面面積S(x)是x的連續(xù)函數(shù)，求此立體的體積。,立體的體積元素為：,所求立體的體積為：,dV=S(x)dx。,下頁,1 . 已知平行截面面積求立體的體積,1 . 已知平行截面面積求立體的體積,二、立體的體積,設(shè)立體在y軸上的投影區(qū)間為c, d ，過y點垂直于y軸的截面面積S1(y)是y的連續(xù)函數(shù)，求此立體的體積。,立體的體積為：,下頁,設(shè)一立體在x軸上的投影區(qū)間為a, b ，過x點垂直于x軸的截面面積S(x)是x的連續(xù)函數(shù)，求此立體的體積。,討論:旋轉(zhuǎn)體的體積怎樣求？,答案：,下頁,2 . 旋轉(zhuǎn)體的體積,x,區(qū)間a, b上截面積為S(x)的立體體積：,(1) 由連續(xù)曲線

4、 yf (x)、直線 xa 、xb 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。,討論:旋轉(zhuǎn)體的體積怎樣求？,答案：,下頁,2 . 旋轉(zhuǎn)體的體積,y,區(qū)間c, d上截面積為S1(y)的立體體積：,(2)由連續(xù)曲線 xj (y)、直線 yc 、yd 及 y 軸所圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。,xj(y),曲線y=f(x)繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積：,解：橢圓繞 x 軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生 的旋轉(zhuǎn)體的體積：,下頁,曲線x=j(y)繞 y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積：,解：橢圓繞 y 軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生 的旋轉(zhuǎn)體的體積：,下頁,曲線y=f(x)繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積：,曲線x=j(y)繞 y軸旋

5、轉(zhuǎn)而成的立體體積：,例2 連接坐標(biāo)原點O及點P(h，r)的直線、直線xh 及x 軸圍成一個直角三角形將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、高為h的圓錐體。計算這圓錐體的體積。,所求圓錐體的體積為,解：,首頁,曲線y=f(x)繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積：,曲線x=j(y)繞 y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積：,解,兩曲線的交點,面積元素,選 為積分變量,解,兩曲線的交點,選 為積分變量,于是所求面積,說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式,問題：,積分變量只能選 嗎？,觀察下列圖形，選擇合適的積分變量求其面積：,考慮選擇x為積分變量，如何分析面積表達(dá)式？,觀察下列圖形，選擇合適的積分變量：,考慮選擇y為積分變

6、量，如何分析面積表達(dá)式？,解,兩曲線的交點,選 為積分變量,解,橢圓的參數(shù)方程,由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積,旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸,圓柱,三、旋轉(zhuǎn)體的體積(volume of body),（1）,圓錐,圓臺,三、旋轉(zhuǎn)體的體積(volume of body),（3）,（2）,旋轉(zhuǎn)體的體積為,解,直線 方程為,解,解,0,1,x,y,補(bǔ)充,利用這個公式，可知上例中,解,體積元素為,如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.,立體體積,四、平行截面面積已知的立體的體積,解,取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,解,取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,五、小結(jié),定積分的元素法,平面圖形的面積,旋轉(zhuǎn)體的體積,平行截面面積已知的立體的體積,思考題1,思考題1解答,兩邊同時對 求導(dǎo),積分得,所以所求曲線為,曲線 y = f (x) 及直線 y = kx + b ,所圍成的曲邊梯形, 求D繞直,線y = kx + b旋轉(zhuǎn)所成立體的體積.,上有連續(xù)導(dǎo)數(shù), D為,思考題2,如右圖示,曲線在M點處的切線MT為：,思考題2解答,應(yīng)用定積分的元素法，考慮子區(qū)間x, x+dx. 設(shè)相,應(yīng)于x, x+dx的曲線弧段在直線L上的投影長為dl,則當(dāng)子區(qū)間的長充分