1、第 二 章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型,簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型是指無約束條件的極值問題，可歸結(jié)為微積分中的函數(shù)極值問題，直接用微分法求解。,1 最優(yōu)價(jià)格 2 森林救火,一 最優(yōu)價(jià)格,問題,根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大,假設(shè),1）產(chǎn)量等于銷量，記作 x,2）收入與銷量 x 成正比，系數(shù) p 即價(jià)格,3）支出與產(chǎn)量 x 成正比，系數(shù) q 即成本,4）銷量 x 依賴于價(jià)格 p, x(p)是減函數(shù),建模與求解,收入,支出,利潤(rùn),進(jìn)一步設(shè),求p使U(p)最大,使利潤(rùn) U(p)最大的最優(yōu)價(jià)格 p*滿足,最大利潤(rùn)在邊際收入等于邊際支出時(shí)達(dá)到,建模與求解,結(jié)果解釋,q / 2 成本的一半,b

2、價(jià)格上升1單位時(shí)銷量的下降 幅度（需求對(duì)價(jià)格的敏感度）,a 絕對(duì)需求( p很小時(shí)的需求),b p*,a p* ,思考：如何得到參數(shù)a, b?,二 森林救火,森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。 隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大； 隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。 綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。,問題分析,問題,記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻t2, 時(shí)刻t森林燒毀面積B(t).,損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù), 由燒毀面積B(t2)決定.,救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.,存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x), f2(x)之和最小,關(guān)鍵是對(duì)B

3、(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).,問題分析,失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻t2, 畫出時(shí)刻 t 森林燒毀面積B(t)的大致圖形,分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.,模型假設(shè),3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)),1）0tt1, dB/dt 與 t成正比，系數(shù) (火勢(shì)蔓延速度）,2）t1tt2, 降為 - x (為隊(duì)員的平均滅火速度）,4）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用c3,假設(shè)1）的解釋,火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑 r與 t 成正比,模型建立,目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用,模型建立,目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用,模型求解,求 x使 C(x)最小,結(jié)果解釋, / 是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù),其中 c1,c2,c3, t1, ,為已知參數(shù),模型應(yīng)用,c1,c2,c3已知, t1可估計(jì),c2 x,c1, t1, x,c3 , x ,結(jié)果解釋,c1燒毀單位面積損失費(fèi), c2每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi), c3每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用, t1