1、分類號 UDC 單位代碼 10642 密 級 公 開 學(xué) 號 2002466029 重慶文理學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文論文題目：對單擺測重力加速度的探討論文作者：周 全指導(dǎo)教師：周亞非 講師專 業(yè)：物理學(xué)提交論文日期：2006年05月 26日論文答辯日期：2006年06月 03日學(xué)位授予單位：重慶文理學(xué)院中 國 重 慶2006年06月Graduate Thesis of Chongqing University of Arts and SciencesThe Exploration for Measuring the Acceleration of Gravity by Simple PendulumC

2、andidate: Zhou QuanSupervisor: ZhouYa-fei Major: PhysicsDepartment of Physics & Information EngineeringChongqing University of Arts and SciencesJune 20062002級物理學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文 目 錄目 錄摘 要IAbstractII1 緒論11.1問題的提出及研究意義11.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀11.3本文研究的目的和內(nèi)容12對單擺的周期公式進(jìn)行修正12.1傳統(tǒng)周期公式22.2對單擺的周期公式進(jìn)行修正22.21對擺角的修正22.22對懸線質(zhì)量的修正32.23

3、對擺球質(zhì)量分布的修正32.24對空氣浮力的修正32.25周期修正公式43 重力加速度的運(yùn)算43.1赫爾默正常重力加速度公式43.2 1930年國際正常重力加速度公式53.3 1980年正常重力加速度公式53.4重力加速度隨高度的變化53.5計算出實驗室的重力加速度值53.5.1本地的緯度和海拔高度53.5.2重力加速度計算值54測單擺的周期64.1實驗內(nèi)容64.2數(shù)據(jù)記錄64.2.1空氣密度64.2.2單擺自身的系數(shù)74.2.3擺球的密度74.2.4單擺的周期75比較和的精確度75.1計算出75.2計算出85.3比較它們的精確度96提出對實驗的改進(jìn)116.1減小單擺的擺角引起的誤差116.2減

4、小懸線質(zhì)量引起的誤差116.3減小擺球質(zhì)量分布引起的誤差126.4減小儀器自身引起的誤差127結(jié)論13致 謝142002級物理學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文 中文摘要對單擺測重力加速度的探討物理學(xué)專業(yè)2002級 周全 指導(dǎo)教師 周亞非摘 要單擺測重力加速度是一個傳統(tǒng)的經(jīng)典力學(xué)實驗。很多的物理學(xué)家都對此實驗進(jìn)行了深入的研究和探討。該實驗的誤差主要來自兩個方面：有實驗儀器引起的系統(tǒng)誤差和人為操作引起的隨機(jī)誤差。本文是從實驗系統(tǒng)誤差出發(fā)，對單擺的周期公式進(jìn)行修正，提出單擺周期的修正公式。再通過實驗測定單擺的周期。用傳統(tǒng)的周期公式和周期的修正公式分別計算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣群?，并在計算過程中對其隨機(jī)誤差進(jìn)行修正。然后引

5、入重力加速度的計算公式計算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋源俗鳛闃?biāo)準(zhǔn)計算并比較和的精確度。本文的重點是將理論修正與實驗相結(jié)合，從實驗儀器和操作入手提出對實驗的改進(jìn)意見。關(guān)鍵詞 重力加速度;單擺;周期;比較;改進(jìn) AbstractThe test of measuring the acceleration of gravity by simple pendulum is a traditional and mechanics experiment. Many physicists have delved further into it. The error of this experiment stems

6、 from two aspects: Systematic error causing by operation and the systematic error by experimental apparatus and stochastic error causing by artifical operation. Starting off the systematic error, the article revises the periodic formula of simple pendulum and proposes a revised formula for the perio

7、d of simple pendulum. Then it measure the period of through experiments and calculates relatively the gravity acceleration and, by means of traditional period formula and the revised formula for the period. In this process of calculation, the article also revises stochastic error. After that, it cal

8、culates the local gravity acceleration by introducing the formula of the acceleration of gravity , regarding it as criterion, the article calculates and compares the definition of and. The emphasis of this article is combination of the revision of theory and experiments, and puts forward improving i

9、deas for the experiment from experimental apparatus and operation.Keywords: the acceleration of gravity; Simple pendulum; period; compare; improveI2002級物理學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文1 緒論1.1問題的提出及研究意義重力加速度是一個重要的地球物理常數(shù)，精確的測得重力加速度在力學(xué)、熱工、電學(xué)、工程技術(shù)以及地質(zhì)和天文學(xué)等方面都有廣泛應(yīng)用。單擺測重力加速度又是一個傳統(tǒng)的經(jīng)典力學(xué)實驗。很多的物理學(xué)家都對此實驗進(jìn)行了深入的研究和探討。本文從實驗系統(tǒng)誤差出發(fā)，通過提出

10、經(jīng)驗公式、實驗驗證和比較，從而提出對實驗的改進(jìn)。此實驗在培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，嚴(yán)格的實驗操作技能，準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)處理等方面也有重要的意義。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀單擺測重力加速度是一個傳統(tǒng)的經(jīng)典力學(xué)實驗。對該實驗的理論論證和修正也成為了一個經(jīng)典的命題，已經(jīng)有不少文獻(xiàn)分別從不同的角度對此問題進(jìn)行了討論，劉子臣教授在其所編的 一書中，就對此實驗作了詳細(xì)的介紹，并對該實驗的系統(tǒng)誤差進(jìn)行了討論，推導(dǎo)出了關(guān)于復(fù)擺、擺角、空氣浮力三項因素的修正公式，最終得出重力加速度的理論修正公式：1 (1)貴州師范大學(xué)的孫衛(wèi)真教授在一文中對該實驗的隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差都作了深入的研究和分析.在充分考慮了擺角、懸線質(zhì)量、擺球質(zhì)量

11、分布、空氣浮力、空氣阻力、儀器自身誤差等幾組因素的影響后，對重力加速度公式作了如下修正： 2 (2)其中： (3)日本廣島大學(xué)的Shibata、Tetsutaro對單擺的周期運(yùn)動也作了深入的研究。這類研究還有很多，但大多是作手于理論研究，在將理論與實驗相結(jié)合，探討各種因素的主次作用，用理論來指導(dǎo)實驗改進(jìn)方面做得還不夠。1.3本文研究的目的和內(nèi)容單擺測重力加速度是一個傳統(tǒng)的經(jīng)典力學(xué)實驗，傳統(tǒng)意義上的單擺是一個理想模型，即不考慮振動幅度、空氣浮力、擺球質(zhì)量、空氣阻力分布等因素3。實際單擺都應(yīng)該考慮這些因素，考慮了這些因素之后測得的重力加速度更精確。在實際實驗中,我們又將怎樣減小這些因素引起的誤差呢

12、,這就是本文所要達(dá)到的目的。本選題研究的主要內(nèi)容是從實驗的系統(tǒng)誤差出發(fā)，對單擺的周期公式進(jìn)行修正，提出單擺周期的修正公式。再通過實驗測定單擺的周期，用傳統(tǒng)的周期公式和周期的修正公式分別計算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣群腿缓笈c重力加速度的計算值作比較，得出它們的精確度。重點是將理論與實驗儀器、實驗操作以及實驗數(shù)據(jù)的處理相結(jié)合提出對實驗的改進(jìn)。2對單擺的周期公式進(jìn)行修正實驗數(shù)據(jù)的測量是要根據(jù)實驗原理來的，單擺測重力加速度實驗并非直接測量重力加速度，而是通過測單擺的周期，再由周期公式計算出重力加速度，所以我們首先來看單擺的周期公式。2.1傳統(tǒng)周期公式單擺測重力加速度是一個傳統(tǒng)的經(jīng)典力學(xué)實驗。用一不可伸長的輕線

13、懸掛一小球，小球質(zhì)量遠(yuǎn)大于懸線的質(zhì)量，小球質(zhì)心到擺的支點O的距離遠(yuǎn)大于小球的直徑，將懸掛的小球從平衡位置拉至一邊，然后釋放，小球即在平衡位置左右往返作周期性擺動4。如圖1：（單擺示意圖）擺長為的單擺作有限振動時，作用在小球上的切向力大小為，它總指向平衡點，由牛頓第二定律質(zhì)點的運(yùn)動方程為： (4)式中為重力加速度；為任意時刻的擺角，根據(jù)此方程可求出單擺的振動周期為：5 （5） 在要求精度不高的情況下，可以取它的一級近似，即為傳統(tǒng)的周期公式： （6）由此可見，單擺周期T只與擺長和重力加速度有關(guān)，若測得擺長和周期，即可求出的重力加速度： (7)2.2對單擺的周期公式進(jìn)行修正 從（6）式本身看不出該實

14、驗中的系統(tǒng)誤差所在，這是因為方法、理論誤差在公式中并沒有反映，對系統(tǒng)誤差往往需要從理論和測量實際進(jìn)行逐個分析，方可發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差所在，并以適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ枰孕拚?。公式?）實際上是一個近似公式，因為由于單擺的擺角、懸線質(zhì)量、擺球質(zhì)量分布、空氣浮力、空氣阻力等因素都會帶來系統(tǒng)誤差。下面我們就來一一分析：2.21對擺角的修正由（5）式可知單擺的周期與擺角是非線性函數(shù)關(guān)系，在擺角時考慮擺角對周期的影響，取其二級近似即可： (8)2.22對懸線質(zhì)量的修正理想單擺的懸線質(zhì)量是為0的，而實驗中的懸線具有一定質(zhì)量，應(yīng)考慮因其重力產(chǎn)生的轉(zhuǎn)距及其繞懸點的轉(zhuǎn)動慣量。它對單擺的周期有細(xì)微的影響，在考慮懸線質(zhì)量的情況下，單

15、擺的運(yùn)動方程為： (9)所以其周期公式修正為： (10)2.23對擺球質(zhì)量分布的修正理想單擺的擺球是一個質(zhì)點，而實驗中的擺球是有一定體積的，除了繞懸點的轉(zhuǎn)動慣量外，還應(yīng)考慮其擺動過程中繞其自身轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量；它對單擺的周期也有細(xì)微的影響，在考慮擺球質(zhì)量分布的情況下，單擺的運(yùn)動方程為： (11)所以其周期公式修正為： (12)2.24對空氣浮力的修正理想單擺作周期性擺動時不存在空氣浮力的影響，而實驗中空氣浮力會影響單擺的擺動使單擺的周期發(fā)生細(xì)微的改變，在考慮空氣浮力影響的情況下，單擺的運(yùn)動方程為： (13)所以其周期公式修正為： (14)此外，還存在空氣阻力和儀器自身誤差的影響?？諝庾枇Φ男拚?/p>

16、數(shù)為，只要測得空氣的阻尼系數(shù)，就可以算出這項修正系數(shù)?？諝獾淖枘嵯禂?shù)為：6 (15)若時，周期，則空氣阻力的修正為： (16)此項修正比要求精度小三個數(shù)量級，可略去不計。由于DSY5多功能數(shù)字測定儀及游標(biāo)卡尺的誤差小于要求精度，因此儀器自身誤差也可略去不計。2.25周期修正公式綜合以上各因素對周期公式的修正，可得出周期修正公式為： (17)方程兩邊平方略去高次項，就可得到重力加速度公式： (18)其中： （19）單擺的擺長單擺的擺角懸線的質(zhì)量擺球的質(zhì)量擺球的直徑空氣的密度擺球的密度在此式中各項分別表示擺角、懸線質(zhì)量、擺球質(zhì)量分布、空氣浮力、等帶來的系統(tǒng)誤差。3 重力加速度的運(yùn)算3.1赫爾默正常

17、重力加速度公式地面上各點的重力加速度是該點位置（緯度、經(jīng)度和高度）的函數(shù)。早在1901年德國人赫爾默就根據(jù)當(dāng)時波斯坦系統(tǒng)的幾千個重力測量結(jié)果得出1901年的正常重力加速度計算式： （）7 (20)式中為計算點緯度。3.2 1930年國際正常重力加速度公式1909年美國人福特根據(jù)美國當(dāng)時大地測量結(jié)果給出一個參考橢球，它的赤道半徑a和偏率b分別為：a=6378388 芬蘭人海斯卡于1928年根據(jù)當(dāng)時的重力測量結(jié)果算出正常重力場地球模型赤道上的重力加速度值及有關(guān)常數(shù)。由此得到1930年的正常重力加速度計算公式： （） (21)3.3 1980年正常重力加速度公式隨著空間技術(shù)的發(fā)展，可以根據(jù)衛(wèi)星軌道根

18、數(shù)及其變化確定出地心引力常數(shù) 及地球的動力因子 因而近代正常場地球模型多用地心引力常數(shù) ，動力因子 。地球赤道半徑 和旋轉(zhuǎn)角速度 四個獨(dú)立參考數(shù)給出。由此得到1980年的正常重力加速度計算公式：（） (22)3.4重力加速度隨高度的變化以上各公式并未涉及到高度的變化，指的是海拔高度為零的情況。大地測量學(xué)家推導(dǎo)了與1980年正常重力加速度公式相對應(yīng)的重力加速度隨高度的變化的計算公式，通常不考慮重力加速度隨經(jīng)度的變化。 （） (23)即海拔高度每增加1m，重力加速度就減少（）.3.5計算出實驗室的重力加速度值本文所采用的重力加速度計算公式就是1980年正常重力加速度公式再用重力加速度隨高度的變化公

19、式對其由海拔高度引起的差值進(jìn)行修正。3.5.1本地的緯度和海拔高度緯 度： 北海拔高度：319 3.5.2重力加速度計算值 =9.780327(1+0.00132561-0.00000453024)=9.79324759204588152=9.79325 （） = =（） = 9.79325 = 9.79226 （）4測單擺的周期4.1實驗內(nèi)容圖2：單擺測重力加速度實驗儀器圖單擺測重力加速度實驗是一個非常經(jīng)典的物理實驗，該實驗從設(shè)計出來至今已有幾百年了，實驗器材也幾度更新、改進(jìn)，如計時器已由原來的秒表改為直接測周期的DSY5多功能數(shù)字測定儀。本論文所采用的實驗器材是非常普及的實驗儀器，所以該論

20、文的實驗數(shù)據(jù)和結(jié)論是具有普遍性的。其主要實驗儀器如圖2：有一不可伸長的輕線將小鐵球懸掛在支架上，支架下端放置有光電感應(yīng)器，恰好讓小球自然懸于光電感應(yīng)器的兩片感應(yīng)器中，光電感應(yīng)器于DSY-5多功能數(shù)字測定儀相連并接通電源，當(dāng)小球作周期擺動時單擺的周期可由DSY-5多功能數(shù)字測定儀直接測出。擺球和擺線的質(zhì)量和，可用分析天平測出，擺球質(zhì)心到擺的支點O的距離（擺長）可由米尺測出，擺球的直徑用游標(biāo)卡尺測量，擺球的密度用公式計算得出，空氣的密度可查表，單擺的擺角（）可直接測量也可計算得出。4.2數(shù)據(jù)記錄4.2.1空氣密度空氣密度：= 0.001293 （）4.2.2單擺自身的系數(shù)擺線長度（mm） ： 94

21、3.6 943.3 943.0 942.7 943.4 擺線質(zhì)量 ( g ) ： 0.1383 0.1384 0.1382 0.1385 0.1381擺球直徑（mm） ： 25.90 25.88 25.89 25.87 25.91擺球質(zhì)量 （g） ： 69.8776 69.8775 69.8774 69.8775 69.87754.2.3擺球的密度擺球的密度：= 13.6558 （）4.2.4單擺的周期擺角（）所測得周期（）1.9765 1.9768 1.9768 1.9769 1.9771 1.9770 1.9773 1.9776 1.9775 1.9778 1.9780 1.9779 1.

22、9781 1.9783 1.9786 1.9785 1.9788 1.9789 1.9788 1.97905比較和的精確度5.1計算出取=1.9778 0.9432+0.02589=0.96909 由公式: = =9.78044 （）考慮的隨機(jī)誤差: 8其中： () () ()則: ()故:所以的取值范圍在9.771789.789115.2計算出實驗中除了隨機(jī)誤差外，還存在系統(tǒng)誤差，對周期公式進(jìn)行修正后，可以使計算結(jié)果更接近真值。其中：擺角取取=0.1383 （g）取=69.8775 （g）取（mm）取0.9432+0.02589=0.96909 （）（）當(dāng)取最小值9.77178時，由公式（1

23、8）有： （）當(dāng)取一合適的值9.78790時，由公式（18）有： （）當(dāng)取最大值9.78911時，由公式（18）有： （）所以的取值范圍在9.776139.793415.3比較它們的精確度由于的取值范圍在9.771789.78911始終小于9.79226 （）故：所以的誤差范圍在。由于的取值范圍在9.776139.79341包含了9.79226 （）所以其誤差是隨取值的增大先減小且一直減小到0后再增大。即：取9.77613時：取9.79226時：取9.79341時：所以的誤差為 0 由此可見修正后的周期公式比傳統(tǒng)周期公式要精確得多。6提出對實驗的改進(jìn)本實驗的誤差主要來至兩個方面：由實驗儀器引起

24、的系統(tǒng)誤差和人為操作引起的隨機(jī)誤差。本文主要是探討如何減小實驗的系統(tǒng)誤差。實驗的系統(tǒng)誤差主要是由于單擺的擺角、懸線質(zhì)量、擺球質(zhì)量分布、空氣浮力、等因素帶來的。我們就結(jié)合的實驗儀器和實驗操作來探討如何改進(jìn)。6.1減小單擺的擺角引起的誤差由于單擺的擺角引起的誤差是，那么當(dāng)取不同值的時候，所引起的誤差列于表1：表1：擺角引起的誤差（度）12345678910g的相對千分誤差0.0380.1520.3420.6090.9501.3701.8612.4303.0713.781g的絕對千分誤差0.3721.4883.3485.9629.30013.4118.2223.7930.0637.01由上表可見擺角

25、越大它所引起的誤差就越大，所以為了減小其引起的系統(tǒng)誤差，我們將的取值規(guī)定為小于5度。6.2減小懸線質(zhì)量引起的誤差由于單擺的懸線具有一定質(zhì)量，應(yīng)考慮因其重力產(chǎn)生的轉(zhuǎn)距及其繞懸點的轉(zhuǎn)動慣量。它引起的誤差是。在我們的測量中，擺球質(zhì)量為69.8775（g），擺線的長度是943.2（mm）擺線質(zhì)量為0.1383（g），擺線的單位長度質(zhì)量為。則由懸線質(zhì)量引起的誤差列于表2：表2：懸線質(zhì)量引起的誤差0.80000.94321.00001.20000.11730.13830.14660.1759由上表可見擺線單位長度質(zhì)量越小、擺線越短由懸線質(zhì)量引起的誤差就越小。為減小誤差我們可采用質(zhì)量更小的細(xì)線，我校實驗室就

26、備有單位長度質(zhì)量為0.0531（g）的細(xì)線。若用此細(xì)線單擺的擺線，則可將誤差減小到 。6.3減小擺球質(zhì)量分布引起的誤差由于單擺的擺球是有一定體積的，除了繞懸點的轉(zhuǎn)動慣量外，還應(yīng)考慮其擺動過程中繞其自身轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。它引起的誤差是。在我們的測量中，擺球直徑為 25.89（mm），擺長為969.09（mm），則由擺球質(zhì)量分布引起的誤差列于表3：表3：擺球質(zhì)量分布引起的誤差0.80000.969091.00001.2000由此可見擺線越長、擺球直徑越大由擺球質(zhì)量分布引起的誤差就越小。6.4減小儀器自身引起的誤差圖3:單擺實圖雖然在理論修正中，儀器自身的誤差可以忽略，但那是在其誤差小于要求精度的前提

27、下而言的。在實際實驗中，實驗儀器常常會在很多細(xì)微的方面引入較大的誤差，這就需要實驗者細(xì)致觀察，仔細(xì)分析研究，找出誤差來源，盡量減小誤差，提高實驗的精確度。本實驗中單擺的懸點不固定就會引入較大誤差。如圖3：由于單擺的擺線是穿過一個小孔而固定的，而孔的直徑遠(yuǎn)大于擺線直徑，所以當(dāng)單擺作周期性擺動時，擺線也會在小孔中來回擺動，從而引入較大誤差。我們可以通過以下兩組數(shù)據(jù)來詳細(xì)分析：一組，將擺線直接穿過小孔測量單擺周期為：1.9861 1.9867 1.9866 1.9869 1.9870 1.9870 1.9871 1.9875 1.9877 1.9876 1.9880 1.9878 1.9880 1.

28、9882 1.9885 1.9884 1.9887 1.9888 1.9887 1.9889=1.9787 二組，將擺線穿過小孔，再插入小木棍將其固定后測量單擺周期為：1.9765 1.9768 1.9768 1.9769 1.9771 1.9770 1.9773 1.9776 1.9775 1.9778 1.9780 1.9779 1.9781 1.9783 1.9786 1.9785 1.9788 1.9789 1.9788 1.9790 =1.9778 所以由此引入的平均周期的誤差為：所以在做該實驗時應(yīng)注意單擺懸點的固定。7結(jié)論本文對單擺測重力加速度實驗的探討是從實驗系統(tǒng)誤差的理論修正入

29、手,對該實驗的系統(tǒng)誤差進(jìn)行了細(xì)致的分析，提出了周期的修正公式，并通實驗測量出單擺的周期，再用傳統(tǒng)的周期公式和周期的修正公式分別計算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣群腿缓笈c重力加速度的計算值作比較，得出修正后周期公式的計算結(jié)果精確度更高。由此切入本文重點：將理論與實驗儀器、實驗操作以及實驗數(shù)據(jù)的處理相結(jié)合提出了能有效改進(jìn)實驗的意見。總之,通過這次對單擺測重力加速度實驗的研究和探討， 得出了以下結(jié)論：1. 在理論上通過對實驗系統(tǒng)誤的探討,提出了周期的修正公式。2. 通過實驗驗證得出修正后周期公式比傳統(tǒng)的周期公式的計算結(jié)果精確度更高。3. 將理論與實驗儀器、實驗操作以及實驗數(shù)據(jù)的處理相結(jié)合提出了能有效改進(jìn)實驗的意見。參考文獻(xiàn)：1 劉子臣，大學(xué)基礎(chǔ)物理實驗(力學(xué)、熱學(xué)及分子物理分冊），南開大學(xué)出版社，2001年4月2 孫衛(wèi)真，單擺法測重力加速度實驗誤差分析，貴州大學(xué)學(xué)報,第20卷第3期，2003年8月3 張兆奎, 繆連元, 張 立. 大學(xué)物