1、1,第一次課、常用非初等函數(shù),內(nèi)容: 一課程簡介 二標準形式的一維非初等函數(shù) 三一維非初等函數(shù)的一般形式 四常用二維非初等函數(shù),2,光學(xué),一課程簡介,應(yīng)用光學(xué),幾何光學(xué),物理光學(xué),量子光學(xué),也稱為波動光學(xué),光的電磁理論,光的疊加和分解,光的干涉,光的衍射,光的偏振及光在各向異性的媒質(zhì)中傳播時所表現(xiàn)出的現(xiàn)象,光的散射、色散和吸收,光的產(chǎn)生,光的接收,3,本課程為物理光學(xué),教材：謝敬輝、趙達尊、閻吉祥，物理光學(xué)教程；北京理工大學(xué)出版社，2005年1月,參考書： 1、梁銓廷物理光學(xué)，電子工業(yè)出版社，2008.5第3版版； 2、劉晨主編物理光學(xué)，合肥工業(yè)大學(xué)出版社 2007.5； 3、趙凱華、鐘錫華光

2、學(xué)，北京大學(xué)出版社 2001.6； 4、潘篤武、賈玉潤、陳善華光學(xué)，復(fù)旦大學(xué)出版社1997.12； 5、Hecht Zajac Optics Addison-Wesley Publishing Copmpany 1974.2,4,主要講述的內(nèi)容： 1光的電磁波性質(zhì) 2光的疊加和分解 3光的干涉特性 4光的衍射特性 5光的偏振特性(貫穿在課程當中) 6傅立葉光學(xué)的一點點基礎(chǔ)知識(貫穿在課程當中),5,二標準形式的一維非初等函數(shù),1矩形函數(shù) 又稱門函數(shù)，記為rect(x)或(x),其定義如下：,在光學(xué)上，常用矩形函數(shù)表示狹縫形孔徑和矩形光源等。,由圖形可以看出，矩形函數(shù)曲線下面積為1，即：,6,2

3、三角形函數(shù),三角形函數(shù)記為tri(x)或(x)。,或者是：,其定義為：,7,三角形函數(shù)也具有曲線下的面積等于1的性質(zhì)，即滿足：,8,3符號函數(shù),符號函數(shù)又稱為正負號函數(shù)，記為sgn(x)。,其定義為：,9,4階躍函數(shù),階躍函數(shù)又稱為海維塞德(Heaviside)函數(shù)，記為step(x)或H(x)。,其定義為：,在光學(xué)上，常用階躍函數(shù)表示刀口或直邊衍射物體； 在電子學(xué)中，則經(jīng)常用來表示一個開關(guān)信號。,10,5sinc函數(shù),sinc函數(shù)記為sinc(x),其定義為：,如果將自變量換乘角度，則可以寫成：,這種形式比較常用。,11,sinc函數(shù)的圖形由寬度為2的中央主瓣和一系列寬度為1的旁瓣組成。,圖

4、5 sinc函數(shù),sinc函數(shù)也具有曲線下面積為1的性質(zhì)，即滿足：,12,6sinc2函數(shù),sinc2函數(shù)的定義直接由sinc函數(shù)的定義給出，對于常用的sinc函數(shù)定義，有：,13,圖6 sinc2函數(shù),在光學(xué)上，sinc2函數(shù)表示單縫夫瑯和費衍射的強度分布。,14,7高斯函數(shù),高斯函數(shù)記為Gaus(x)，其定義為：,圖7 高斯函數(shù)Gaus(x),15,高斯函數(shù)在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中表示正態(tài)分布事件的分布函數(shù)。在線性系統(tǒng)分析中，高斯函數(shù)是很有用的數(shù)學(xué)工具，它具有一些特殊的性質(zhì)：,*其次，高斯函數(shù)是一個自傅立葉變換函數(shù)，即它的傅立葉變換仍然是個高斯函數(shù)。,*首先，它的各階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的，因此是一個

5、良好的平滑函數(shù)；,16,七種非初等函數(shù)的定義； 嚴格來講其中的sinc函數(shù)和高斯函數(shù)并不屬于非初等函數(shù)，但是它們在描述光場及其變換的作用與其它非初等函數(shù)類似； 在某些非初等函數(shù)的定義式中，給出了間斷點處的函數(shù)值，規(guī)定它等于該間斷點處左、右極限的平均值，在實際運算中，可以不考慮間斷點處的函數(shù)值，即可以將這些點看作連續(xù)點。 如對rect(x)進行積分，其積分域可取為：,小結(jié)：,17,在描述復(fù)雜的物理過程時，常常需要將標準形式的非初等函數(shù)進行比例縮放、平移、反射或四則運算，構(gòu)成復(fù)雜的函數(shù)形式。,1比例縮放、平移和反射,a為縱向縮放因子，確定函數(shù)fold(x)的縱向縮放比例和反射(對于對稱函數(shù)而言，其

6、反射軸為fnew(x)=b)；,b為縱向平移因子；,x0表示橫向平移因子；,fnew(x)一般形式的非初等函數(shù),fold(x)表示標準形式的非初等函數(shù),三一維非初等函數(shù)的一般形式,18,19,例如，將標準形式的矩形函數(shù)進行比例縮放、平移和反射。 一般形式的矩形函數(shù)表示為：,20,例1、畫出函數(shù),的圖形。,解：為了說明各個參數(shù)的作用，作圖可分為幾步完成,圖9 具體階躍函數(shù)的作圖,21,某些復(fù)雜的物理過程可以通過非初等函數(shù)之間的四則運算和復(fù)合來描述。,例如矩形調(diào)制波可表示為：,2非初等函數(shù)的四則運算和復(fù)合,22,四常用二維非初等函數(shù),1、直角坐標系中的二維非初等函數(shù) 2、極坐標系中的二維非初等函數(shù)

7、 3、二維非初等函數(shù)的一般形式,如果二維函數(shù)f(x，y)可以表示為 f(x，y)=f1(x)f2(y)的形式，則稱f(x，y)為可分離變量函數(shù)。將二維可分離變量作為一維函數(shù)來處理，可以使運算過程簡化。,二維物理量可以在不同的坐標系中來描述，而選擇坐標系的原則是有利于簡化運算，即： 描寫二維某物理量的二維函數(shù)可分離變量函數(shù)， 非對稱性的物理量通常在直角坐標系中描述；而具有圓對稱分布的物理量則最好在極坐標系中描述。,例如，rect(x，y) rect (r，),23,(1)二維矩形函數(shù)，定義式為：,在光學(xué)問題中，常用來描述一個均勻照明方形小孔的振幅透射系數(shù)。,可分離變量函數(shù),1、直角坐標系中的二維

8、非初等函數(shù),24,(2)二維三角形函數(shù) 標準形式的二維三角形函數(shù)的定義為：,它的圖形在x=0或y=0的截面是一維的三角形函數(shù)，在x=y的截面則是一對拋物線，構(gòu)成一個曲線四棱錐圖形,25,(3)二維階躍函數(shù) 二維階躍函數(shù)又稱為直邊函數(shù)，它的定義式為： f(x，y)=step(x),在光學(xué)問題中，常用二維階躍函數(shù)表示無窮大半平面的振幅透射系數(shù)或刀口濾波器函數(shù)。,26,(1)二維高斯函數(shù)： 由于是圓對稱函數(shù)，因此可以用極坐標表示：,2、極坐標系中的二維非初等函數(shù),所以二維高斯函數(shù)分布與無關(guān)。,27,圓域函數(shù)又稱為圓柱函數(shù)，記為circ(r)或cycl(r)。 在極坐標系中，圓域函數(shù)的定義為：,圓域函數(shù)在直角坐標系中的定義為：,在光學(xué)中，圓域函數(shù)常常用來描述均勻照明圓形孔徑的透射系數(shù)。,(2)圓域函數(shù),28,3二維非初等函數(shù)的一般形式,*下面舉例說明。,*和一維非初等函數(shù)的標準形式類似，通過平移和比例縮放，上面幾種二維非初等函數(shù)的標準形式可以衍生出復(fù)雜的二維非初等函數(shù)，其規(guī)則和一維的情形相同。,*但是，二維非初等函數(shù)可以通過自變量的坐標線性變換，產(chǎn)生更復(fù)雜的函數(shù)。這在研究復(fù)雜的光學(xué)變換中是很有用處的。,29,g(x，y)=rect(x),令x=ax+by+c,(1)二維狹縫函數(shù)的坐標變換,g(x，y)=