1、A,B,D,E,F,M,N,專題講解,三角形輔助線的方法,連線法,第一關(guān),如圖,AB=AD,BC=DC,求證:B=D.,連接AC,構(gòu)造全等三角形,連線 構(gòu)造全等,連線 構(gòu)造全等,如圖,AB與CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的長(zhǎng).,連接BD,構(gòu)造全等三角形,A,C,B,D,O,第二關(guān),中線倍長(zhǎng)法,如何利用三角形的中線來構(gòu)造全等三角形？,可以利用倍長(zhǎng)中線法，即把中線延長(zhǎng)一倍，來構(gòu)造全等三角形。,如圖，若AD為ABC的中線，,必有結(jié)論：,A,B,C,D,E,1,2,延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連結(jié)BE（也可連結(jié)CE）。,ABDECD，,1=E，,B=2，,EC=AB，CE

2、AB。,已知，如圖AD是ABC的中線，,延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD， 連結(jié)CE.,思考：若AB=3,AC=5 求AD的取值范圍？,倍長(zhǎng)中線,第三關(guān),截長(zhǎng)補(bǔ)短法,已知在ABC中，C=2B, 1=2 求證:AB=AC+CD,A,D,B,C,1,2,在AB上取點(diǎn)E使得AE=AC，連接DE,截長(zhǎng),F,在AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F使得CF=CD，連接DF,補(bǔ)短,如圖所示，已知ADBC，1=2， 3=4，直線DC經(jīng)過點(diǎn)E交AD于點(diǎn)D， 交BC于點(diǎn)C。求證：AD+BC=AB,E,F,在AB上取點(diǎn)F使得AF=AD,連接EF,截長(zhǎng)補(bǔ)短,證明：,例1,已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是ABC的角平分線，AD=CD

3、，求證：A+C=180,D,A,B,C,E,在BC上截取BE，使BE=AB，連結(jié)DE。, BD是ABC的角平分線（已知） 1=2（角平分線定義） 在ABD和EBD中 AB=EB（已知） 1=2（已證） BD=BD（公共邊） ABDEBD（S.A.S）,1,2,4,3, 3+ 4180 （平角定義）， A3（已證） A+ C180 （等量代換）,3,2,1,*, A3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）, AD=CD（已知），AD=DE（已證） DE=DC（等量代換）,4=C（等邊對(duì)等角）,AD=DE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）,證明:,例1,已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是ABC的角平分線，AD=C

4、D，求證：A+C=180,D,A,B,C,F,延長(zhǎng)BA到F，使BF=BC，連結(jié)DF。, BD是ABC的角平分線（已知） 1=2（角平分線定義） 在BFD和BCD中 BF=BC（已知） 1=2（已證） BD=BD（公共邊） BFDBCD（S.A.S）,1,2,4,3, FC（已證）4=C（等量代換）,3,2,1,*, FC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）, AD=CD（已知），DF=DC（已證） DF=AD（等量代換）,4=F（等邊對(duì)等角）, 3+ 4180 （平角定義） A+ C180 （等量代換）,DF=DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）,練習(xí)1,如圖，已知ABC中，AD是BAC的角平分線，AB=AC

5、+CD，求證：C=2B,A,B,C,D,E,1,2,2,1,證明:,在AB上截取AE，使AE=AC，連結(jié)DE。, AD是BAC的角平分線（已知） 1=2（角平分線定義） 在AED和ACD中 AE=AC（已知） 1=2（已證） AD=AD（公共邊） AEDACD（S.A.S）,3,B=4（等邊對(duì)等角）,4,*, C3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等),又 AB=AC+CD=AE+EB（已知） EB=DC=ED（等量代換）, 3= B+4= 2B（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和） C=2B（等量代換）,ED=CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）,練習(xí)1,如圖，已知ABC中，AD是BAC的角平分線，A

6、B=AC+CD，求證：C=2B,A,B,C,D,F,1,2,證明:,延長(zhǎng)AC到F，使CF=CD，連結(jié)DF。, AD是BAC的角平分線（已知） 1=2（角平分線定義） AB=AC+CD，CF=CD（已知） AB=AC+CF=AF（等量代換）, ACB= 2F（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和） ACB=2B（等量代換）,3,2,1,*,在ABD和AFD中 AB=AF（已證） 1=2（已證） AD=AD（公共邊） ABDAFD（S.A.S）, FB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）, CF=CD（已知） B=3（等邊對(duì)等角）,如圖，已知直線MNPQ，且AE平分BAN、BE平分QBA，DC是過E的

7、任意線段，交MN于點(diǎn)D，交PQ于點(diǎn)C。求證：AD+AB=BC。,證明:,延長(zhǎng)AE，交直線PQ于點(diǎn)F。,*,3,0,*,22,21,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,F,5,第四關(guān),周長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化,1.如圖,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分ACB, DEAB.若AB=6cm,則DBE的周長(zhǎng)是多少?,.“周長(zhǎng)問題”的轉(zhuǎn)化 借助“角平分線性質(zhì)”,B,A,C,D,E,BE+BD+DE,BE+BD+CD,BE+BC,BE+AC,BE+AE,AB,2.如圖,ABC中, D在AB的垂直平分線上, E在AC的垂直平分線上.若BC=6cm,求ADE的周長(zhǎng).,.“周長(zhǎng)問題”的轉(zhuǎn)化 借助“

8、垂直平分線性質(zhì)”,B,A,C,D,E,AD+AE+DE,BD+CE+DE,BC,5.如圖, ABC中，BP、CP是ABC的角平分線，MN/BC. 若BC=6cm, AMN周長(zhǎng)為13cm，求ABC的周長(zhǎng).,.“周長(zhǎng)問題”的轉(zhuǎn)化 借助“等腰三角形性質(zhì)”,B,A,C,P,AB+AC+BC,AM+ BM+AN+NC+6,N,AM+ MP+AN+NP+6,13+6,M,AM+AN+MN+6,第五關(guān),中垂線法,ABC中,ABAC ，A的平分線與BC的垂直平分線DM相交于D，過D作DE AB于E，作DFAC于F。 求證：BE=CF,連接DB,DC,垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段,如圖，已知三角形ABC中,BC邊

9、上的垂直平分線DE與角BAC的平分線交于點(diǎn)E，EF垂直AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EG垂直AC交AC于點(diǎn)G。求證：(1)BF=CG (2)判定AB+AC與AF的關(guān)系,第六關(guān),角平分線性質(zhì),如圖,ABC中, C =90o,BC=10,BD=6, AD平分BAC,求點(diǎn)D到AB的距離.,過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E,E,角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線段,證明:,例1,已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是ABC的角平分線，AD=CD，求證：A+C=180,D,A,B,C,M,作DMBC于M，DNBA交BA的延長(zhǎng)線于N。, BD是ABC的角平分線（已知） 1=2（角平分線定義） DNBA，DMBC（已知） N=DMB=90（垂直的定義） 在NBD和MBD中 N=DMB （已證） 1=2（已證） BD=BD（公共邊） NBDMBD（A.A.S）,1,2, 4=C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）,N,4,3,3,2,1,*, ND=MD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）, DNBA，DMBC（已知） NAD和MCD是Rt 在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已證） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L）, 3+ 4180（平角定義）， A3（已證） A+ C180（等量代換）,PD=PE.,PD=PE,如圖,OC 平分AOB,角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段,過點(diǎn)P作PFOA