1、輸入-輸出模型是系統(tǒng)的一種外部描述，凡是能從外部端口通過測量得到的描述就是一種外部描述。 （系統(tǒng)的微分算子方程和傳輸算子） 什么是內(nèi)部描述？內(nèi)部描述有能力提供在系統(tǒng)中全部可能出現(xiàn)的信號的完整信息，外部描述不能給出系統(tǒng)的完整信息。 （狀態(tài)空間方程）,1. 系統(tǒng)的內(nèi)部和外部描述系統(tǒng)模型,系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子,引入如下算子：,則：,對于微分方程,算子形式,微分算子方程：,微分方程的一種表示，含義是在等式兩邊分別對變量y(t)和f(t)進(jìn)行相應(yīng)的微分運(yùn)算。形式上是代數(shù)方程的表示方法?？捎脕碓跁r域中建立與變換域相一致的分析方法。,微分算子的運(yùn)算性質(zhì)：,性質(zhì)1 以p的正冪多項式出現(xiàn)的運(yùn)算式，在形式

2、上可以像代數(shù)多項式那樣進(jìn)行展開和因式分解。,性質(zhì)2 設(shè)A(p)和B(p)是p的正冪多項式，則,例：,函數(shù)乘、除算子p的順序不能隨意顛倒，對函數(shù)進(jìn)行“先除后乘”算子p的運(yùn)算時，分式的分子與分母中公共p算子(或p算式)才允許消去。,性質(zhì)4 設(shè)A(p)、B(p) 和D(p)都是p的正冪多項式,系統(tǒng)模型：輸入-輸出描述,依據(jù)輸入和輸出端測量值的系統(tǒng)描述稱為輸入-輸出描述。,分析任何系統(tǒng)的第一步是構(gòu)建一個系統(tǒng)模型，它應(yīng)該是能滿意地逼近這個系統(tǒng)動態(tài)行為的一種數(shù)學(xué)表達(dá)式。 本章只討論連續(xù)時間系統(tǒng)。,y(t) = H (x(t) ),電氣系統(tǒng),電路元件伏安關(guān)系(VAR)的微分算子形式稱為 算子模型，電壓、電流

3、比為算子感抗和算子容抗,電路元件的算子模型,例1：電路如圖(a)所示，激勵為f(t)，響應(yīng)為i2(t)。試列寫其微分算子方程。,畫出其算子模型電路如圖(b)所示。由回路法可列出方程為 ：,H(p)代表了系統(tǒng)將激勵轉(zhuǎn)變?yōu)轫憫?yīng)的作用，或系統(tǒng)對輸入的傳輸作用，故將H(p)稱為響應(yīng)y(t)對激勵f(t)的傳輸算子或系統(tǒng)的傳輸算子,練,習(xí)題冊2-1，2-3（3）,2. LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)特性,LTI系統(tǒng)全響應(yīng)可作如下分解：,1、y(t) = 自由響應(yīng) + 強(qiáng)制響應(yīng)；,2、y(t) = 瞬態(tài)響應(yīng) + 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；,3、y(t) = 零輸入響應(yīng)yx(t) + 零狀態(tài)響應(yīng)yf (t),輸入u(t)=0時的系統(tǒng)

4、響應(yīng)，是系統(tǒng)內(nèi)部條件（如能量存儲，初始條件）單獨作用的結(jié)果，與f(t)無關(guān)。,當(dāng)系統(tǒng)在零狀態(tài)（意味著系統(tǒng)內(nèi)部能量存儲不存在，所有初始條件都為0時系統(tǒng)對f(t)產(chǎn)生的響應(yīng)。,系統(tǒng)全響應(yīng)的求解方法：,求零輸入響應(yīng)yX (t),一、系統(tǒng)初始條件 LTI系統(tǒng)在激勵作用下，全響應(yīng)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0處可能發(fā)生跳變或出現(xiàn)沖激信號，因此需要考察初始觀測點前一瞬間t=0-和后一瞬間t=0+時情況,y(0-)= yx(0-)+yf(0-),y(0+)= yx(0+)+yf(0+),對于因果系統(tǒng)：,yf(0-)=0；,對于時不變系統(tǒng)：,yx(0+)= yx(0-)；,y(0-)= yx(0-)= yx(0

5、+)；,y(0+)= y(0-)+ yf(0+),y (j)(0-)= y(j)x(0-)= y(j)x(0+)；,y (j)(0+)= y (j)(0-)+ y (j) f(0+),二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應(yīng),零輸入下LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程為:,要使上式成立，需滿足D(p)=0（特征方程）,針對特征根兩種情況來求yx(t),1特征根為n個單根p1 , p2 , , pn (可為實根、虛根或復(fù)根),將yx(0-)、yx(0-)、yx(n-1)(0-)代入上式，確定積分常數(shù)A1、A2、An 。 (舉n=2為例),共軛復(fù)根或虛根時，可用歐拉公式化簡為三角實函數(shù)形式,2特征根含有重根

6、,設(shè)特征根p1為r重根，其余特征根為單根，,則yx(t)的通解表達(dá)式為: (舉r=2為例),將yx(0-)、yx(0-)、yx(n-1)(0-)代入上式，確定積分常數(shù)A1、A2、An 。,例2 電路如圖(a)所示，已知uC (0-) = 1V，iL(0-) = -1A，求t0時的零輸入響應(yīng)uCx(t)。,1H,1 2,F,解 (1)畫出算子模型電路,由節(jié)點電流法可列出方程為:,化簡可得 :,由D(p)=0，解得特征根: p1=-2，p2=-3,(2) 0- 瞬時的等效電路,代入初始條件,總結(jié)：求解零輸入響應(yīng)yx(t)的基本步驟：,(2)通過微分算子方程得D(p)求系統(tǒng)的特征根;,(3)寫出yx

7、(t)的通解表達(dá)式;,(4)由系統(tǒng)的0-狀態(tài)值與0-瞬時的零輸入系統(tǒng)求得初始條件yx(j )(0-), j=0, 1, 2, , n-1。,(5) 將0-初始條件代入yx(t)的通解表達(dá)式,求得積分常數(shù)A1, A2, , An 。,(6) 寫出所得的解yx(t)，畫出yx(t)的波形。,(1)建立系統(tǒng)微分算子方程,LTI連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),一、零狀態(tài)響應(yīng),零狀態(tài)LTI連續(xù)系統(tǒng)H(p),非齊次微分方程的解由通解和特解組成，f(t) 形式簡單特解還易確定，如形式復(fù)雜，則特解很難確定。一般情況下零狀態(tài)響應(yīng)可通過將f(t)分解為更為簡單的單元信號，將各單元激勵下的響應(yīng)進(jìn)行疊加來求解。 (舉例說明),

8、信號的時域分解：,將f(t)分解為無窮多個寬度為的矩形脈沖信號之和fa(t),任意信號可分解為無窮多個不同時刻出現(xiàn)的沖激強(qiáng)度為該時刻函數(shù)值的沖激信號之和,零狀態(tài)響應(yīng)的求解過程,由上述過程可看出求解零狀態(tài)響應(yīng)可通過下列兩步完成：,二、沖激響應(yīng)h(t),h(t)定義：,通過多項式的長除法，H(p)可以化為某個多項式與一個有理真分式之和。,例1：,依據(jù)D(p)根的不同，有理真分式H(p)可展開為不同的部分分式,1當(dāng)D(p) 有n個單特征根p1 , p2 , , pn (可為實根、虛根或復(fù)根),沖激響應(yīng)h(t)為,2當(dāng)D(p)特征根有重根時：,設(shè)p1為r重根，其余(n-r)個為單根pj(j=r+1,

9、r+2, , n)，則有理真分式H(p)可展開為：,與重根相關(guān)的部分分式項的沖激響應(yīng),3、H(p)為某個關(guān)于pj多項式時（長除法得到的部分）：,總結(jié)：求解單位沖激響應(yīng)的步驟：,（1）據(jù)算子微分方程求出傳輸算子H(p)；,（2）長除法化為多項式與嚴(yán)格有理真分式之和；,（3）嚴(yán)格有理真分式部分分式展開；,（4）根據(jù)D(p)特征根的不同情況，確定分式中的系數(shù)；,（5）對照不同情況寫出單位沖激響應(yīng)。,例2：求出下面系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)：,例3：求出下面系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)：,注：當(dāng)D(p)有共軛復(fù)數(shù)根時： 【P42：表2-2】,2. 階躍響應(yīng),階躍響應(yīng)g(t)的求解方法：對沖激響應(yīng) 進(jìn)行積分,根據(jù)LTI系

10、統(tǒng)特性，對輸入信號積分后作為系統(tǒng)的新輸入，得到的新輸出為原輸出信號的積分,求解零狀態(tài)響應(yīng)通過下列兩步完成：,三 卷積積分,上述積分可看作f(t),h(t)經(jīng)過如下過程完成,(1)將f(t),h(t)的自變量t換為， f(),h()波形不變；,(2)將h()折疊，得到h(-)；,(3)將h(-)沿軸平移t， t為參變量，得到h-(-t) 即h(t-), t 0為右移， t 0為左移；,(4)將f() 與h(t-) 相乘得到相乘信號f() h(t-) ；,(5)將f() h(t-) 在區(qū)間（-，+）上積分得到零狀態(tài)響應(yīng)yf(*)。,定義:,卷積積分簡稱卷積,求解步驟如上.,卷積積分上下限的確定是關(guān)

11、鍵，討論如下：,(3)若f1(t) ,f2(t) 都為因果信號積分上下限為(0-, t),(2)若f1(t)為因果信號, f2(t) 為無時限信號,積分上下限為(0-,),(1)若f1(t) 為無時限信號,f2(t) 為因果信號,積分上下限為(-, t),(4)若f1(t) ,f2(t)都為時限信號則卷積后仍為時限信號，其左邊界為原兩左邊界之和，右邊界為原兩右邊界之和,例3：求圖示f1(t)， f2(t)的卷積（重點）,(1) t0時, f1() f2(t-)=0,(2) 0t1時,(3) 1t2時,(4) 2t3時,(5) t3時,練,習(xí)題冊2-10,卷積的運(yùn)算規(guī)律,據(jù)卷積的定義和積分的性質(zhì)

12、，可推知卷積有如下的運(yùn)算規(guī)律 :,1交換律:,2分配律:,3結(jié)合律,卷積的主要性質(zhì),1f(t)與奇異信號的卷積,(1) f(t)*(t)=f(t),即f(t)與(t)卷積等于f(t)本身,(2) f(t)*(t)=f(t) ,即f(t)與(t)卷積等于f(t)導(dǎo)數(shù)。,(3),2卷積的微分和積分：,(1) 積分 f1(t)*f2(t) -1 = f1-1(t)*f2(t)= f1(t)*f2-1(t),(2) 微分 f1(t)*f2(t) = f1(t)*f2(t)= f1(t)*f2(t),(3) 微分-積分:,f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2-1(t)=f1-1(t)*f2(t),3

13、卷積時移：,設(shè)f1(t)*f2(t)=y(t)，則：,f1(t)*f2(t-t0)=f1(t-t0)*f2(t)=y(t-t0),f1(t-t1)*f2(t-t2)=y(t-t1-t2);,推論：,f(t-t1)*(t-t2)=f(t-t1-t2),(t-t1)*(t-t2)=(t-t1-t2);,記住一些常用的卷積（P45:表2-3）就可利用卷積性質(zhì)求解較復(fù)雜的卷積。,若f1(t)，f2(t)左收斂，即,例:已知:,求卷積：,(卷積時的(t)的存在只是確定被積信號的起始位置，卷積結(jié)果要考慮起始位置,即加(上限-下限),所以有,結(jié)果與前面圖解法所得的分段表達(dá)式一致。,若f1(t)，f2(t)收斂，利用微分-積分性質(zhì)使被卷積的一個信號盡量化為沖激信號以及其延時，再利用任一信號與(t)卷積等于該信號本身及其時移性質(zhì)，可計算簡化。,上例中兩信號都有界，因此可利用微分-積分性質(zhì),結(jié)果與前面一致,例 試計算常數(shù)K與信號f(t)的卷積積分,解 直接按卷積定義，可得,如果用微分-積分性質(zhì)來求解將導(dǎo)致錯誤結(jié)果,常數(shù)K 不收斂且任意信號f(t)也并非一定收斂。,例 已知某系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=sint(t)，激勵f(t)的波形如圖所示，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。,可利用卷積的微分-積分性質(zhì)來求解,練,習(xí)題冊2-15,四、系統(tǒng)全響應(yīng)的求解方法：,（1）求單位沖激響應(yīng)h(t),（2）求卷