1、32.2直線的兩點式方程學習目標1.掌握直線方程的兩點式的形式、特點及適用范圍；2.了解直線方程截距式的形式、特點及適用范圍；3.會用中點坐標公式求兩點的中點坐標知識點一直線方程的兩點式思考1已知兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2，求通過這兩點的直線方程答案yy1(xx1)，即.思考2過點(1,3)和(1,5)的直線能用兩點式表示嗎？為什么？過點(2,3)，(5,3)的直線呢？答案不能，因為110，而0不能做分母過點(2,3)，(5,3)的直線也不能用兩點式表示.名稱已知條件示意圖方程使用范圍兩點式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2斜

2、率存在且不為0知識點二直線方程的截距式思考1過點(5,0)和(0,7)的直線能用1表示嗎？答案能由直線方程的兩點式得，即1.思考2已知兩點P1(a,0)，P2(0，b)，其中a0，b0，求通過這兩點的直線方程答案由直線方程的兩點式得得1.名稱已知條件示意圖方程使用范圍截距式在x，y軸上的截距分別為a，b且a0，b01斜率存在且不為0，不過原點知識點三線段的中點坐標公式若點P1，P2的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，設(shè)P(x，y)是線段P1P2的中點，則類型一直線的兩點式方程例1(1)若點P(3，m)在過點A(2，1)，B(3,4)的直線上，則m_.答案2解析由直線方程的兩點式得，即.

3、直線AB的方程為y1x2，點P(3，m)在直線AB上，則m132，得m2.(2)ABC的三個頂點為A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：AC所在直線的方程BC邊的垂直平分線的方程解由直線方程的兩點式得，所以AC所在直線的方程是3xy90.因為B(2,1)，C(2,3)，所以kBC，線段BC的中點坐標是，即(0,2)，所以BC邊的垂直平分線方程是y22(x0)，整理得2xy20.反思與感悟(1)當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件：兩點的連線不平行于坐標軸，若滿足，則考慮用兩點式求方程(2)由于減法的順序性，一般用兩點式求直線方程時常會將字母或數(shù)

4、字的順序錯位而導致錯誤在記憶和使用兩點式方程時，必須注意坐標的對應關(guān)系跟蹤訓練1已知ABC的頂點是A(1，1)，B(3,1)，C(1,6)求與CB平行的中位線的直線方程解方法一由A(1，1)，C(1,6)，則AC的中點為M.又因為A(1，1)，B(3,1)，則AB的中點為N(1,0)故過MN的直線為(兩點式)，即平行于CB的中位線方程為5x2y50.方法二由B(3,1)，C(1,6)得kBC，故中位線的斜率為k.又因為中位線過AC的中點M，故中位線方程為yx(斜截式)，即5x2y50.類型二直線的截距式方程例2求過定點P(2,3)且在兩坐標軸上的截距相等的直線l的方程解設(shè)直線的兩截距都是a，則

5、有當a0時，直線設(shè)為ykx，將P(2,3)代入得k，直線l的方程為3x2y0；當a0時，直線設(shè)為1，即xya，把P(2,3)代入得a5，直線l的方程為xy5.直線l的方程為3x2y0或xy50.反思與感悟如果直線與兩坐標軸都相交，則可考慮選用截距式方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可選用截距式方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直跟蹤訓練2(1)直線l過定點A(2,3)，且與兩坐標軸圍成的三角形面積為4，則直線l的方程為_(2)直線l過點P(，2)，且與兩坐標軸圍成的三角形周長為12，則直線l的方程為_答案(1)x2y40或9x2y120；(2)3x4y120或15x8y360.

6、解析(1)由題意可知直線l的方程為1(ab0)，則有解得或直線l的方程為1或1，即x2y40或9x2y120.(2)設(shè)直線l的方程為1(a0，b0)，由題意知，ab12.又因為直線l過點P(，2)，所以1，即5a232a480，解得所以直線l的方程為3x4y120或15x8y360.類型三直線方程的綜合應用例3已知三角形的三個頂點A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，求BC邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程解如圖，過B(3，3)，C(0,2)的兩點式方程為，整理得5x3y60.這就是BC邊所在直線的方程BC邊上的中線是頂點A與BC邊中點M所連線段，由中點坐標公式可得點M的坐標為

7、(，)，即(，)過A(5,0)，M(，)的直線的方程為，即x13y50.這就是BC邊上中線所在直線的方程反思與感悟直線方程的選擇技巧(1)已知一點的坐標，求過該點的直線方程，一般選取點斜式方程，再由其他條件確定直線的斜率(2)若已知直線的斜率，一般選用直線的斜截式，再由其他條件確定直線的一個點或者截距(3)若已知兩點坐標，一般選用直線的兩點式方程，若兩點是與坐標軸的交點，就用截距式方程(4)不論選用怎樣的直線方程，都要注意各自方程的限制條件，對特殊情況下的直線要單獨討論解決跟蹤訓練3如圖，已知正方形ABCD的邊長是4，它的中心在原點，對角線在坐標軸上，則正方形邊AB，BC所在的直線方程分別為_

8、對稱軸所在直線的方程為_答案xy20，xy20yx，x0，y0解析AB4，在RtOAB中，|OA|2|OB|2|AB|2，|OA|OB|2，由直線的截距式方程可得AB的直線方程為1，即xy20.由上面可得：B(0,2)，C(2，0)，BC的直線方程為1，即xy20，易得對稱軸所在直線的方程為yx，x0，y0.1過兩點(2,1)和(1,4)的直線方程為()Ayx3 Byx1Cyx2 Dyx2答案A解析代入兩點式得直線方程，整理得yx3.2經(jīng)過P(4,0)，Q(0，3)兩點的直線方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析由點坐標知直線在x軸，y軸上的截距分別為4，3，所以直線方程為1，即1.

9、3經(jīng)過M(3,2)與N(6,2)兩點的直線方程為()Ax2 By2 Cx3 Dx6答案B解析由M，N兩點的坐標可知，直線MN與x軸平行，所以直線方程為y2，故選B.4過點M(3，4)，且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程是_答案4x3y0或xy10解析若直線過原點，則k，yx，即4x3y0.若直線不過原點，設(shè)1，即xya. a3(4)1，xy10.5已知ABC的三個頂點坐標為A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC邊所在直線的方程；(2)BC邊上的高AD所在直線的方程；(3)BC邊上的中線AE所在直線的方程解(1)直線BC的方程為，即x2y40.(2)由(1)知kBC，則kAD

10、2，又AD過A(3,0)，故直線AD的方程為y2(x3)，即2xy60.(3)BC邊中點為E(0,2)，故AE所在直線方程為1，即2x3y60.與直線方程的適用條件、截距、斜率有關(guān)問題的注意點：(1)明確直線方程各種形式的適用條件點斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點式方程不能表示垂直于x、y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標軸和過原點的直線(2)截距不是距離，距離是非負值，而截距可正可負，可為零，在與截距有關(guān)的問題中，要注意討論截距是否為零(3)求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應注意分類討論，即應對斜率是否存在加以討論一、選擇題1下列說法正確的是()A方程k表示過點

11、P1(x1，y1)且斜率為k的直線B直線ykxb與y軸的交點為B(0，b)，其中截距b|OB|C在x軸、y軸上的截距分別為a、b的直線方程為1D方程(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)表示過任意不同兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程答案D解析方程k表示過P1(x1，y1)且斜率為k的直線，但不包括點P1(x1，y1)，故A錯；對于B，截距可正、可負、可為零，從而錯誤；對于截距式方程1中要求ab0.2直線1在y軸上的截距是()A|b| Bb2 Cb2 Db答案B解析令x0得，yb2.3以A(1,3)，B(5,1)為端點的線段的垂直平分線方程是()A3xy80 B3xy4

12、0C3xy60 D3xy20答案B解析因為kAB，AB的中點坐標為(2,2)，所以所求直線方程為y23(x2)，化簡為3xy40.4若直線1過第一、二、三象限，則()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0答案C解析因為直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且經(jīng)過第一、二、三象限，故a0.5兩條直線l1：1和l2：1在同一直角坐標系中的圖象可以是()答案A解析兩條直線化為截距式分別為1，1.假定l1，判斷a，b，確定l2的位置，知A項符合6過點(4，3)，且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線共有()A1條 B2條 C3條 D4條答案C解析當a0且在兩坐標軸上截距相等時，設(shè)直線方程

13、為1，(4，3)在直線上，1得a1，直線方程為xy10；當a0，且截距互為相反數(shù)時，設(shè)直線方程1，(4，3)在直線上，即1，解得：a7，直線方程為xy70，當與兩坐標軸上截距都為零時，可設(shè)直線方程為ykx，由34k，得k，yx，所求直線方程為xy10或xy70或yx，故共3條二、填空題7過點P(1,3)的直線l分別與兩坐標軸交于A、B兩點，若P為AB的中點，則直線l的截距式方程是_答案1解析設(shè)A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中點可得m2，n6，即A、B的坐標分別為(2,0)、(0,6)則l的方程為1.8過點(2,3)且在兩坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為_答案3x2y0或x

14、y50解析該直線過原點時，設(shè)直線方程為ykx，將x2，y3代入得：k，直線方程為3x2y0.當與兩坐標軸截距不為零時，設(shè)直線方程為1，直線過點(2,3)，即1，得a5，直線方程為xy50，故所求直線方程為3x2y0或xy50.9過點(0,3)，且在兩坐標軸上截距之和等于5的直線方程是_答案3x2y60解析由題意知，直線在y軸上的截距為3，則在x軸上的截距為2，該直線截距式方程為1即3x2y60.三、解答題10求經(jīng)過點P(5，4)且與兩坐標軸圍成的面積為5的直線方程解設(shè)所求直線方程為1.直線過點P(5，4)，1，于是得4a5bab，又由已知，得|a|b|5，即|ab|10.由，得解得或故所求直線方程為1或1.即8x5y200或2x5y100.11在ABC中，已知A(5，2)，B(7,3)，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，求：(1)頂點C的坐標；(2)直線MN的方程解(1)設(shè)C(x0，y0)，則AC邊的中點為M，BC邊的中點為N，因為M在y軸上，所以0得x05.又因為N在x軸上，所以0，所以y03.即C(5，3)