1、6.1數(shù)列的概念及其表示,高考理數(shù),1.數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子:an=f(n)來表示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式. 2.遞推公式 如果已知數(shù)列an的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始任何一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做數(shù)列an的遞推公式. 3.數(shù)列的前n項(xiàng)和及其與通項(xiàng)的關(guān)系 (1)Sn=a1+a2+an; (2)an= 注意:利用an與Sn的關(guān)系求an時,一定要驗(yàn)證“n=1”的情況.,知識清單,利用Sn求數(shù)列an的通項(xiàng)公式的注意事項(xiàng): (1)利用Sn求數(shù)列an的通項(xiàng)公式時,一

2、定要注意“n=1”的情況. (2)a1若不滿足an=Sn-Sn-1(n2),數(shù)列的通項(xiàng)公式就要以分段的形式寫出,即an= (3)求數(shù)列最大、最小項(xiàng)的方法: 轉(zhuǎn)折項(xiàng)法:數(shù)列an中,假設(shè)an最大,則由不等式組(nN*,n2)解出的n值就是取得最大 值的n值;假設(shè)an最小,則由不等式組(nN*,n2)解出的n值就是取得最小值的n值.,【知識拓展】,利用an=求通項(xiàng)時,要注意檢驗(yàn)“n=1”時的情況. 例1(2015四川自貢一診,16)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,). (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)當(dāng)bn=lo(4an+1)時,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.

3、解析(1)由已知得 an+1-an=(Sn-Sn-1)=an(n2), 即an+1=an(n2), n2,nN*時,數(shù)列an是以a2為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.,突破方法,方法1利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng),又a2=S1=a1=, an=(n2). an= (2)bn=lo(4an+1)=lo=n. =-. Tn=+=+=1-=. 1-1(2013廣東,19,14分)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=1,=an+1-n2-n-,nN*. (1)求a2的值; (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (3)證明:對一切正整數(shù)n,有+.,解析(1)依題意,2S1=a2-1-,又S1=a1=1,所以a2=4.

4、(2)2Sn=nan+1-n3-n2-n, 當(dāng)n2時,2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1), 兩式相減得 2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-, 整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),即-=1, 又-=1, 故數(shù)列是首項(xiàng)為=1,公差為1的等差數(shù)列, 所以=1+(n-1)1=n,所以an=n2. (3)證明:當(dāng)n=1時,=1; 當(dāng)n=2時,+=1+=;,當(dāng)n3時,=-, 此時+=1+1+ =1+-=-. 綜上,對一切正整數(shù)n,有+.,遞推數(shù)列求通項(xiàng)常用的方法: (1)形如an=an-1+f(n)(n2,nN*)時,用累加

5、法求解. (2)形如=f(n)(an-10,n2,nN*)時,用累乘法求解. (3)形如an=an-1+m(n2,nN*)時,構(gòu)造等差數(shù)列求解. (4)形如an=xan-1+y(n2,nN*)時,構(gòu)造等比數(shù)列求解. (5)形如an=(n2,nN*,m,k,b0)時,兩邊取倒數(shù)后構(gòu)造等差數(shù)列求解. 例2(2015湖北武漢4月模擬)根據(jù)下列條件,確定數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (1)an+1=an+3n+2,a1=2; (2)a1=1,an=an-1(n2); (3)a1=1,an+1=3an+2. 解析(1)因?yàn)閍n+1-an=3n+2, 所以an-an-1=3n-1(n2),方法2利用遞推關(guān)系求數(shù)列

6、的通項(xiàng),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=. 當(dāng)n=1時,a1=2=(31+1),符合上式, 所以an=n2+. (2)因?yàn)閍n=an-1(n2), 所以an-1=an-2,a2=a1. 由累乘法可得an=a1=(n2). 又a1=1符合上式,an=. (3)因?yàn)閍n+1=3an+2, 所以an+1+1=3(an+1), 所以=3, 所以數(shù)列an+1為等比數(shù)列,公比q=3.,又a1+1=2,所以an+1=23n-1, 所以an=23n-1-1. 2-1(2016寧夏銀川質(zhì)檢,9,5分)已知數(shù)列an滿足a1=33,an+1-an=2n,則的最小值為()

7、A.B.C.10D.21 答案B 解析由已知條件可知:an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=33+2+4+2(n-1)=n2-n+33.又n=1時,a1=33適合上式, an=n2-n+33.故=n+-1. 令f(x)=x+-1(xN*),則f(x)在1,5上為減函數(shù),在6,+)上為增函數(shù).又f(5)=, f(6)=,則f(5) f(6),故的最小值為,故選B.,(1)函數(shù)法:利用數(shù)列的增減性或圖象求最大(小)項(xiàng). (2)轉(zhuǎn)折項(xiàng)法:利用不等式組(n2,nN*)求最大(小)項(xiàng). 例3(2016山西太原一模,18,12分)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=(n+1),試問數(shù)列a

8、n中有沒 有最大項(xiàng)?若有,求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的序號;若沒有,請說明理由. 解題導(dǎo)引 導(dǎo)引一:作差an+1-an比較an+1, an的大小利用數(shù)列的增 減性求最大項(xiàng) 導(dǎo)引二:an大 于0an-1an(n2), anan+1建立關(guān)于n 的不等關(guān)系由nN*,方法3利用通項(xiàng)公式求數(shù)列最大(小)項(xiàng)的常用方法,確定最大項(xiàng) 解析解法一:an+1-an=(n+2)-(n+1)=,當(dāng)n0,即an+1an; 當(dāng)n=9時,an+1-an=0,即an+1=an; 當(dāng)n9時,an+1-an0,即an+1an. 該數(shù)列中有最大項(xiàng),為第9和第10項(xiàng),且a9=a10=10. 解法二:根據(jù)題意,令(n2,nN*), 即解得9n10. 又nN*,n=9或n=10,該數(shù)列中有最