1、 任意角的三角函數(shù)教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生切實掌握任意角三角函數(shù)的定義.2.使學(xué)生掌握三角函數(shù)的定義域及其確定方法.3.使學(xué)生掌握三角函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號.4.使學(xué)生掌握誘導(dǎo)公式一.教學(xué)重點與難點教學(xué)難點為：任意角三角函數(shù)的定義.教學(xué)重點為：三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)的定義域及其確定方法；三角函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號以及誘導(dǎo)公式一.教學(xué)過程設(shè)計師：我們學(xué)過銳角的正弦、余弦、正切、余切中，A是銳角，C是直角，那么(板書) 師：經(jīng)過最近幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道角的概念已經(jīng)被推廣了，我們現(xiàn)在所說的角可以任意大小的正角、負(fù)角和零角，那么任意的三角函數(shù)是怎么定義的呢?直角三角形顯然不能包含所有的角.生：借助平

2、面直角坐標(biāo)系來定義.師：好的.這位同學(xué)可能預(yù)習(xí)了.任意角三角函數(shù)就是在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義的.設(shè)角是一個任意大小的角，我們以它的頂點為原點，以它的始邊為x軸的正半軸Ox，建立直角坐標(biāo)系(圖2)，在角的終邊任取一點P，它的橫坐標(biāo)是x,縱坐標(biāo)是y,點P和原點O(0，0)的距離r= (r總是正的)，然后把角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分別規(guī)定為(板書) 師：以前我們就知道，圖1中的四個比值的大小僅與角A的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無關(guān)；同樣，在圖2中，六個比值的大小也僅與角的大小有關(guān)，而與點P在角的終邊上的位置無關(guān).師：下面咱們一起來看這六個三角函數(shù)，自變量是什么?是x?是y？是r?還是

3、角a?大家討論一下.生：師：通過大家的討論，咱們可以看出，只要角確定了，就能在它的終邊上取點，從而可確定x，y，計算出r的值，所以自變量應(yīng)是角.這些函數(shù)的函數(shù)值是什么呢?生：兩個量的比值.師：也就是說是個實數(shù).由于角的集合與實數(shù)之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，即 實數(shù) 角(其弧度數(shù)等于這個實數(shù)) 三角函數(shù)值(實數(shù))也就是說，三角函數(shù)是以角(實數(shù))為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).既然是研究函數(shù)，那么就要從函數(shù)最主要的內(nèi)容三要素入手，而其中又以定義域和對應(yīng)法則更重要，三角函數(shù)的對應(yīng)法則我們可以由解析式中直接看出.下面我們研究各個函數(shù)的定義域.(這幾函數(shù)的定義域并不

4、難求，只是務(wù)必使學(xué)生明確，函數(shù)的自變量是角.定義域由學(xué)生一一做答，教師最后在黑板上列表總結(jié).) 師：我們已經(jīng)知道了三角函數(shù)的定義，下面我們就該應(yīng)用定義解題了.請看例1.(板書)例1 已知角的終邊經(jīng)過點P(2，3)，求的六個三角函數(shù)值.師：要求六個三角函數(shù)值，我們需要知道哪些量?生：x,y,r.師：我們是必須知道這三個量，還是知道其中兩個量就行了?生：只需知道其中的兩個量.師：例1中是否有咱們所需要的兩個量?生：有.x=2,y=3.師：好的.這道題就由你來解，你說我往黑板上寫.(板書)解 師：由三角函數(shù)的定義，我們知道，已知角終邊上一點的坐標(biāo)就可以求六個三角函數(shù)值，若已知條件是某角的度數(shù)或弧度數(shù)

5、，那么這個角的終邊位置也是唯一確定的，其三角函數(shù)值也應(yīng)是唯一的.這類題目應(yīng)怎樣求它的各個三角函數(shù)值呢?下面看例2.(板書)例2 求下例各角的六個三角函數(shù)值. 師：咱們先看角0的六個三角函數(shù)值怎么求.生：沒想好.師：你覺得為什么不好求呢?生：題目里沒給出x,y的值.師：x,y的值與所給出的角有什么關(guān)系?生：x,y是角的終邊上一點的坐標(biāo).師：角的終邊上的哪點?生：可以任意選取.師：那當(dāng)然要使所取點的坐越簡單越好了，你打算取哪點?生：取(1，0)點.師：現(xiàn)在這道題目你會做了嗎?生：會了.師：你說我來寫在黑板上.(板書)解 在角0的終邊上取一點(1，0)，所以x=1,y=0,r=x2+y2=1因此 師

6、：這道從題會做了，下面的兩道小題也就不成問題了.大家都在筆記本上準(zhǔn)備一下，一會兒，我叫幾個同學(xué)說一下你們的答案.(2)在角的終邊上任取一點(1，0)，x=1,y=0,r=1,sin =0,cos=-1,tan =0cot 不存在，sce =1 ,csc 不存在；(3)在角的終邊上任取一點(0，1)，x=0,y=1,r=1,sin =1,cos=0,tan不存在，cot=0,sec不存在，csc=1.師：下一個問題是確定一下各三角函數(shù)值在每個象限的符號.我們知道，當(dāng)角的概念被推廣后，我們常常把角放到平面直角坐標(biāo)系中討論，當(dāng)角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊落在x軸的正半軸上時，角的終邊落在第幾象限

7、，就說這個角是第幾象限角.現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)，若一類三角函數(shù)值在同一個象限的符號是一致的，那我們既可以根據(jù)角所在象限確定出相應(yīng)的三角函數(shù)的符號，又可以利用三角函數(shù)的符號確定出角所在的象限了.下面咱們先看正弦函數(shù)的函數(shù)值在各個限內(nèi)的符號.(請好學(xué)生回答)生：對于sin ，當(dāng)角在第一象限內(nèi)時，它的符號是正的，當(dāng)角在第二象限時，師：等等，你所說的第一條結(jié)論正確，你能不能把你的解題方法具體地告訴我們?(盡量突出這節(jié)課的主要內(nèi)容.)生：根據(jù)三角函數(shù)的定義，sin =，當(dāng)角a是第一象限角時，也就是說，角的終邊落在第一象限內(nèi)，而第一象限內(nèi)的點的坐標(biāo)都是正的，所以sin 0.師：解題思路非常清楚，就是

8、下結(jié)論前的敘述顯得有點匆忙，不夠確切.咱們看這樣說是不是更好些?前邊的就用他的說法，接著說，第一象限內(nèi)的點的縱坐標(biāo)都為正數(shù)，也就是y0,而r=，也一定大于零，所以得出結(jié)論，sin 0，符號為“+”.師：這個結(jié)論一經(jīng)推出，其余問題我們也就都會解決了.下面我們再把角落在第二、第三、四象限內(nèi)，將正弦函數(shù)的函數(shù)值的符號確定一下.生：正弦函數(shù)sin =yr，當(dāng)角a在第二象限時，sin 的符號為“+”；當(dāng)角在第三象限時，sin 的符號為“”；當(dāng)角在第四象時，sin 的符號也為“”.師：完全正確.由于r=0，所以我們可以看出，sin的符號與誰的符號一致?生：與y的符號一致.師：好的.現(xiàn)在正弦函數(shù)的問題咱們已

9、經(jīng)解決了，下面該確定余弦函數(shù)的函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號了.我想，得出正確結(jié)論已經(jīng)不是什么難事了.只是如果請你說，你能敘述得完整嗎?另外，你還有沒有別的辦法解決這個問題?生：余弦函數(shù)cos =xr,我們知道r=0，它的值永遠是正的，所以cos a的符號是由x確定的，而且與x的符號相同.x是角所在象限內(nèi)的點的橫坐標(biāo)，所以當(dāng)角a在第一象限內(nèi)時，cos 的符號為“+”，當(dāng)角在第二或第三象限時，cos a的符號為“”，而當(dāng)角在第四象限時，cos 的符號為“+”.師：回答得很好.各個量之間的關(guān)系都說得非常清楚、準(zhǔn)確.生：還可以簡單地記為：余弦函數(shù)值的符號與x的符號一致.師：也對.只是這個結(jié)論前的一些推理咱

10、們必須清楚.正切函數(shù)tan =在各個象限內(nèi)的符號又是怎樣的?生：對于第一、三象限內(nèi)的角，正切值為正的，因為此時x,y同號；對于第二、四象限內(nèi)的角，正切值為負(fù)的，因為此時x,y異號.師：完全正確.我們研究清楚了正弦、余弦、正切函數(shù)的函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號，剩下的三個三角函數(shù)的函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號就好確定了.為什么?生：因為余切值()與正切值()互為倒數(shù)，所以它們的符號一致，同理，正割值()與余弦值()的符號一致，而余割值()與正弦值()的符號一致.師：很好.為了便于記憶，我們不妨把剛才的結(jié)論總結(jié)于坐標(biāo)系中，看看這種直觀、形象的方式是否適合于你?(板書)師：現(xiàn)在我們知道了三角函數(shù)的數(shù)值是由角

11、的終邊的位置決定的.顯然，當(dāng)兩個角相差360的整數(shù)倍時，它們倆的終邊相同，所以它們的同一個三角函數(shù)的值相等.由此得到一組公式(公式一).(板書) 師：這組公式使我們可以把任意角的三角函數(shù)值的問題，轉(zhuǎn)化為0360(或02)間的角的三角函數(shù)值的問題.(板書)例3 確定下列各三角函數(shù)值的符號. (1)cos 250； (2)sin()； (3)tan(67210)(教師邊分析邊板書)解 (1)因為250是第三象限的角，所以cos 2500.(2)(由學(xué)生口述完成)因為是第四象限角，所以sin （-）0.(3)(由學(xué)生解)因為tan(67210)=tan(2360+4750)=tan 4750，又因為

12、4750是第一象限角，所以tan (67210)0.師：下面咱們接著做例4.(板書)例4 根據(jù)條件sin0且tan0，確定是第幾象限角.(教師邊講邊寫)解 為sin0，所以在第三象限或第四象限，或的終邊落在y軸的負(fù)半軸上.因為tan0.所以在第一象限或第三象限.由于sin 0與tan0同時成立，所以在第三象限.師：下面咱們小結(jié)一下這節(jié)課，這節(jié)課的主要內(nèi)容是任意角三角函數(shù)的定義，通過對這一定義的學(xué)習(xí)，我們掌握六個三角函數(shù)的定義域，要會利用定義，求出各三角函數(shù)在每個象限的符號并且記住各結(jié)論.要知道公式一的理論依據(jù)就是任意角三角函數(shù)的定義，當(dāng)然還要掌握公式一.作業(yè)：課本P138練習(xí)一第1，2，3，4

13、，5，6題.其中第2，3題寫在書上，其余的寫在本上.課堂教學(xué)設(shè)計說明1.復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù).2.講解任意角三角函數(shù)的定義.3.用列表的形式總結(jié)出各個三角函數(shù)的定義域.4.例1是三角函數(shù)定義的最簡單、直接的應(yīng)用.例2是應(yīng)用任意角三角函數(shù)的定義解題.5.利用三角函數(shù)的定義和各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號，確定各三角函數(shù)值在每個象限的符號.6.誘導(dǎo)公式一 7.例3和例4.8.小結(jié)、作業(yè).為什么要采取以上步驟呢?因為本節(jié)課的重點和難點就是任意角三角函數(shù)的定義，而其余內(nèi)容均是關(guān)于任意角的函數(shù)的定義的應(yīng)用，所以對于這一定義，不僅安排了復(fù)習(xí)銳角的三角函數(shù)，而且還安排了兩道應(yīng)用定義的例題，即例1和例2.此外，三角函數(shù)與學(xué)生們以往所學(xué)過的函數(shù)從形式上看區(qū)別很大，有的學(xué)生可能一時找不對自變量，所以，在講課時注