1、第 10 課時：3.4.1 基本不等式的證明（1）【三維目標】：一、知識與技能1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；2.會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題；3.學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；4.理解兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的證明以及它的幾何解釋；二、過程與方法1.通過實例探究抽象基本不等式； 2.本節(jié)學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點。變式練習的設計可加深學生對定理的理解，并為以后實際問

2、題的研究奠定基礎。兩個定理的證明要注重嚴密性，老師要幫助學生分析每一步的理論依據，培養(yǎng)學生良好的數學品質三、情感、態(tài)度與價值觀1.通過本節(jié)的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣2.培養(yǎng)學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生數形結合的想象力【教學重點與難點】：重點：應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；難點：理解基本不等式等號成立條件及 “當且僅當時取等號”的數學內涵【學法與教學用具】：1.學法：先讓學生觀察常見的圖形，通過面積的直觀比較抽象出基本不等式。從生活中實際問題還原出數學本質，可積極調動地學生的學習熱情。定理的證明要留給學生充分的

3、思考空間，讓他們自主探究，通過類比得到答案2.教學用具：直角板、圓規(guī)、投影儀（多媒體教室）【授課類型】：新授課【課時安排】：1課時【教學思路】： 一、創(chuàng)設情景，揭示課題1. 提問：與哪個大？2.基本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？（教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系）。 二、研探新知重要不等式 ：一般地，對于任意實數 、，我們有，當且僅當時，等號成立。證明: 所以 注意強調 當且僅當時, 注意：（1）等號成立

4、的條件，“當且僅當”指充要條件；（2） 公式中的字母和既可以是具體的數字，也可以是比較復雜的變量式，因此應用范圍比較廣泛。基本不等式：對任意正數、，有當且僅當時等號成立。證法1：可以將基本不等式2看作是基本不等式1的推論。 由基本不等式1，得 當且僅當時等號成立。即當且僅當時等號成立。證法2：當且僅當即時，取“”。證法3：要證，只要證，只要證，只要證因為最后一個不等式成立，所以成立，當且僅當即時，取“”。證法4：對于正數有，說明： 把和分別叫做正數的算術平均數和幾何平均數，上述不等式可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。 上述結論可推廣至3個正數。（1）基本不等式成立的條件是：

5、（2）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、分析法（證法2）、綜合法（證法3）（圖1）（3）的幾何解釋：（如圖1）以為直徑作圓，在直徑上取一點， 過作弦，則，從而，而半徑基本不等式幾何意義是：“半徑不小于半弦”（4）當且僅當時，取“”的含義：一方面是當時取等號，即；另一方面是僅當時取等號，即。（5）如果，那么（當且僅當時取“”）（6）如果把看作是正數、的等差中項，看作是正數、的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項.2.在數學中，我們稱為、的算術平均數，稱為、的幾何平均數.本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.三、質疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1 （教材例1）設為正數，證明下列不等式成立：（1）；（2）證明：（1）為正數，也為正數，由基本不等式得原不等式成立。（2）均為正數，由基本不等式得，原不等式成立。例2 已知為兩兩不相等的實數，求證：證明：為兩兩不相等的實數，以上三式相加：，所以，例3 已知都是正數，求證證明：由都是正數，得： ， ，即 例4 已知函數，求的范圍例5求證： 證明：， 又， ，即四、鞏固深化，反饋矯正 1.已知都是正數，求證： 2.已知都是正數，求證：；3. 思考題：若，求的最大值五、歸納整理，整體認識1