1、第23講正弦定理與余弦定理本專題涉及到的知識點(diǎn)是正、余弦定理及三角形中的邊角關(guān)系三角形中邊角關(guān)系處理的基本方法是化角為邊或化邊為角，以及向量方法的運(yùn)用A類例題例在中，分別是角的對邊，設(shè)求的值（年全國高考卷）分析化角為邊轉(zhuǎn)化為三角關(guān)系處理解由正弦定理及角變換求解由，得再由三角形內(nèi)角和定理及得，所以，又，代入到中得，由得，從而，所以例已知的三個內(nèi)角滿足：，求的值（年全國高考卷）分析通過角換元，利用兩角和差公式得方程求值解 由題設(shè)知，設(shè)，則，可得代入條件中得展開得，化簡得，即，從而求出即例 在中，已知，邊上的中線，求的值（湖北高考卷）分析用坐標(biāo)和向量方法求解解以為原點(diǎn)，為軸正向建立直角坐標(biāo)系，且不妨

2、設(shè)點(diǎn)在第一象限由，得設(shè)，則，由求出（另一負(fù)值舍去）于是由數(shù)量積得，所以情景再現(xiàn)在中，內(nèi)角的對邊分別是，已知成等比數(shù)列，且（） 求的值；（） 設(shè)，求的值（年全國高考卷）已知在中，求角的大小B類例題例內(nèi)接于單位圓，三個內(nèi)角的平分線延長后分別交此圓于點(diǎn)，求的值（年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）分析用正弦定理化邊為角轉(zhuǎn)化為三角式處理解 如圖連接，則，故，同理，代入原式得例在中，記，若，求的值（年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）分析綜合運(yùn)用正余弦定理，邊角關(guān)系相互轉(zhuǎn)化求解解 由已知得，又由余弦定理，得，所以，所以，故情景再現(xiàn)在中，求證：C類例題例設(shè)非直角的重心為，內(nèi)心為，垂心為，內(nèi)角所對的邊分別是求證（）；（）；（）分析利用三角

3、形中三角函數(shù)關(guān)系和平面向量的基本定理求證證明（）由定比分點(diǎn)的向量形式得，由共線得，即，又，所以圖即，由正弦定理可得（）由，得，由定比分點(diǎn)公式的向量形式有又下面求，所以由得所以代入即得證（）由（）知，所以，由是三角形的重心有得代入并利用：整理即得例在非直角中，邊長滿足（） 證明：；（） 是否存在函數(shù)，使得對于一切滿足條件的，代數(shù)式恒為定值？若存在，請給出一個滿足條件的，并證明之；若不存在，請給出一個理由（年河南省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽）分析（）化邊為角進(jìn)行三角式的變形；（）運(yùn)用結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)證明（）由得，和差化積得因?yàn)?，所以有，展開整理得，故（）從要為定值的三角式的結(jié)構(gòu)特征分析，尋求與之間的關(guān)系由及

4、半角公式得，對其展開整理得即，即，即與原三角式作比較可知存在且例 在非鈍角中，分別是的外心和內(nèi)心，且，求分析化邊為角，利用三角形中的幾何關(guān)系求值解由已知條件及歐拉公式得，其中分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，再由三角形中的幾何關(guān)系得結(jié)合正弦定理消去邊和得，又，代入并分解因式得即或，即或，經(jīng)驗(yàn)證這兩個值都滿足條件情景再現(xiàn)在中，求證習(xí)題在中，且有，求及的面積在中，求角已知圓內(nèi)接四邊形的邊長分為，求四邊形的面積（年全國高考卷）在中，若等于邊上的高，求的值已知銳角三角形ABC中， （）求證：； （）設(shè)AB=3，求AB邊上的高.在中，求內(nèi)切圓的半徑在ABC中，a，b，c分別是角A、B、C所對的邊，且（）求角C

5、的大??；（）若，試求sin（A-B）的值在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若（）求角A的大??；（）若，求b和c的值已知向量=（2，2），向量與向量的夾角為，且=2， （1）求向量； （2）若，其中A、C是ABC的內(nèi)角，若三角形的三內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，試求|+|的取值范圍.如圖在等邊三角形中，為中心，過的直線交于交于，求的最大值和最小值在中，已知，求的三個內(nèi)角的大小中是鈍角，三邊長均為整數(shù)，求周長的最小值本節(jié) “情景再現(xiàn)”解答：解化弦變形和余弦定理求角（）由得，由得，于是（）由得，又所以，即由余弦定理，即，所以，即解消元化簡由消去角得，即，即，從而有，即所以，再消去角得，

6、即，最后角證明由正弦定理化邊為角，同理，上面三式相加即得證證明由正弦定理得即，將式左邊分子分母同乘以得,即，同理可得，三式相加即得證“習(xí)題”解答：解由得，又，從而所以，由正弦定理，得，從而面積是解化邊為角為，即，所以，即，即，由得，由三角形內(nèi)角的范圍可知只能有，所以，從而解利用余弦定理構(gòu)造等量關(guān)系求角的三角函數(shù)值如圖，連接，則有四邊形的面積由，得，從而四邊形的面積由余弦定理，在中，同樣在中，所以，及，求得，所以解邊上的高，故，化邊為角即，整理得，即，從而解（）證明：所以（）， 即 ，將代入上式并整理得 解得，舍去負(fù)值得， 設(shè)AB邊上的高為CD.則AB=AD+DB=由AB=3，得CD=2+. 所以AB邊上的高等于2+.解由得，又由余弦定理得，即，從而是直角三角形又得，所以解（）由得，又由A+B+C=，將上式整理得 ，即(2cosC-1)(cosC+1)=0 或cosC=-1（舍去） 由0C，得（）設(shè)ABC外接圓半徑為R，由有，即又解（）在ABC中，由已知有： 即 ，（舍負(fù)） （）由得 即 又，代入上式得：由，得： 或解（1）設(shè)=（x,y），則且解得 （2）. =1+ 解設(shè)，在、中分別得，所以，由角的范圍可知，所以其最大值是，最小值為解構(gòu)造方程求解在中，有，因?yàn)閺亩蟮?，所以是方程即的三個根由得的值分別是，從而