1、3.1.1 函數(shù)與方程課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、函數(shù)的零點(diǎn)概念及求法【例1】 求函數(shù)y=-x2-2x+3的零點(diǎn)，并指出y0，y0時(shí)，x的取值范圍.解析：解二次方程-x2-2x+3=0得， x1=-3,x2=1， 函數(shù)y=-x2-2x+3的零點(diǎn)為-3，1. y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，畫出這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖，從圖象上可以看出當(dāng)-3x1時(shí)，y0.當(dāng)x-3或x1時(shí)，y0. 函數(shù)y=-x2-2x+3的零點(diǎn)是-3，1. y0時(shí)，x的取值范圍是（-3，1）；y0時(shí),x的取值范圍是（-，-3）(1,+).溫馨提示 函數(shù)的零點(diǎn)即對(duì)應(yīng)方程的根.本題借助零點(diǎn)和二次函數(shù)的圖象得出不等式ax2+bx+c0(0)的

2、解集.二、函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用【例2】 已知函數(shù)f(x)=x3-8x+1在區(qū)間2,3內(nèi)的一部分函數(shù)值如下表所示.根據(jù)此表及圖象,你能探究出方程x3-8x+1=0的一個(gè)實(shí)根所在的區(qū)間嗎?(精確到0.1)x22.12.22.32.42.5f(x)-7-6.539-5.952-5.233-4.376-3.375x2.62.72.82.93f(x)-2.224-0.9170.5522.1894解析:觀察表格并利用描點(diǎn)法作出f(x)的大體圖象,發(fā)現(xiàn)當(dāng)自變量x由2變到3時(shí),其函數(shù)值由-7逐漸接近于0,再變?yōu)檎?在此變化過(guò)程中,由于y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,所以必存在一點(diǎn)x0使得f(x)=0,即x

3、03-8x0+1=0,此x0所在的區(qū)間為2.7,2.8.溫馨提示 判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間方法有兩個(gè)： 1.f(a)f(b)0，且圖象在a,b上連續(xù)不斷. 2.利用函數(shù)圖象，直接觀察判斷，該方法關(guān)鍵是準(zhǔn)確作圖，簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象可以由“列表描點(diǎn)連線”而完成，復(fù)雜函數(shù)的圖象可以借助計(jì)算機(jī)等輔助數(shù)學(xué)工具，例如幾何畫板工具軟件，TI圖形計(jì)算器等.這里對(duì)函數(shù)單調(diào)性的分析可以幫助確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).【例3】 已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線,判斷下列結(jié)論,正確的是_.若f(a)f(b)0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) 若f(a)f(b)0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)f(x)無(wú)零點(diǎn) 若

4、f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),必有f(a)f(b)0若f(a)f(b)0,則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn) 若f(a)f(b)0,則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)解析:本題設(shè)計(jì)的目的是為了加深對(duì)零點(diǎn)存在性定理的正確理解.有條件f(a)f(b)0成立,則在(a,b)內(nèi)可能不止一個(gè)零點(diǎn);是在f(a)f(b)0的情況下,未必?zé)o零點(diǎn);在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),也未必有f(a)f(b)0成立;注意端點(diǎn)問(wèn)題,可能a、b恰好使得f(x)=0.本題從多側(cè)面、多角度考查對(duì)定理的理解,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性很有幫助.答案:溫馨提示 對(duì)于一個(gè)定理和結(jié)論的理解,要做到逐字逐句地去琢磨、分析.條件具備,則結(jié)論正確;條件

5、不具備,則結(jié)論未必不成立;結(jié)論成立,而條件未必成立.注意思維的嚴(yán)密性.各個(gè)擊破類題演練1求y=x2+2x+1的零點(diǎn)，并指出y0的取值范圍.解析：令x2+2x+1=0，x=-1. y=x2+2x+1的零點(diǎn)為-1. y0的取值范圍為x-1.變式提升1（1）若函數(shù)f(x)=x2+ax+b的零點(diǎn)是2和-4,求a、b的值.解析：由條件得 （2）求函數(shù)y=x3-7x+6的零點(diǎn).解析：x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6) =x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)， 解x3-7x+6=0， 即(x-1)(x-2)(x

6、+3)=0，x1=-3,x2=1,x3=2. 函數(shù)y=x3-7x+6的零點(diǎn)為-3，1，2.類題演練2函數(shù)f(x)=x2+ax+b的零點(diǎn)是-1和2，判斷函數(shù)g(x)=ax3+bx+4的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.思路分析：函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的根，即x2+ax+b=0的根，由根與系數(shù)的關(guān)系可求得a、b的值,從而可求解.解:-1和2是函數(shù)f(x)=x2+ax+b的零點(diǎn),-1+2=-a,-12=b,即a=-1,b=-2. g(x)=-x3-2x+4. g(1)=1,g(2)=-8,g(1)5g(2)0,g(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn). 又g(x)在R上是單增函數(shù)，g(x)只有一個(gè)零點(diǎn).變式提升2利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間：（1）f(x)=-x