1、第一章“算法初步” 簡介 算法是高中數(shù)學課程中的新增內容，其思想是非常重要的，但并不神秘。例如，運用消元法解二元一次方程組、求最大公因數(shù)等的過程就是算法。一般地，機械式地按照某種確定的步驟行事，通過一系列小的簡單計算操作完成復雜計算的過程，被人們稱為“算法”過程。例如，人們很容易完成的基本計算是一位數(shù)的加、減、乘和進位借位等，復雜計算過程實際上都是通過這些操作，按照一定的工作次序與步驟，組合完成的。一、內容與課程學習目標算法是數(shù)學及其應用的重要組成部分，是計算科學的重要基礎。隨著現(xiàn)代信息技術的飛速發(fā)展，算法在科學技術、社會發(fā)展中發(fā)揮著越來越大的作用，并日益融入社會生活的許多方面，算法思想已經成

2、為現(xiàn)代人應具備的一種數(shù)學素養(yǎng)。需要特別指出的是，中國古代數(shù)學中蘊涵了豐富的算法思想。在本章中，學生將在義務教育階段初步感受算法思想的基礎上，結合對具體數(shù)學實例的分析，體驗程序框圖在解決問題中的作用；通過模仿、操作、探索，學習設計程序框圖表達解決問題的過程；體會算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，發(fā)展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力。具體來說，通過本章的學習，應當使學生達到以下目標：1算法的含義、程序框圖（1）通過對解決具體問題過程與步驟的分析（如：二元一次方程組求解等問題），體會算法的思想，了解算法的含義。（2）通過模仿、操作、探索，經歷設計程序框圖表達解決問題的過程。在具體問題

3、的解決過程中（如：三元一次方程組求解等問題），理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序、條件分支、循環(huán)。2基本算法語句經歷將具體問題的程序框圖轉化為程序語句的過程，理解幾種基本算法語句輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句，體會算法的基本思想。3通過閱讀中國古代數(shù)學中的算法案例，體會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻，增強民族自豪感。二、內容安排本章包括3節(jié)，約需12課時，具體內容和課時分配（僅供參考）如下：1.1 算法與程序框圖 約2課時1.2 基本算法語句 約3課時1.3 算法案例 約6課時閱讀與思考 割圓術小 結 約1課時本章知識結構如下：1中學數(shù)學中的算法內容和其它內容是密切聯(lián)系在

4、一起的，比如線性方程組的求解、數(shù)列的求和等。具體來說，需要通過模仿、操作、探索，學習設計程序框圖表達解決問題的過程，體會算法的基本思想和含義，理解算法的基本結構和基本算法語句，并了解中國古代數(shù)學中的算法。2本章集中解決算法的一些基本問題，比如通過實例讓學生體會和理解算法的含義，通過模仿、操作、探索，經歷通過設計程序框圖表達解決問題的過程，了解算法語言的基本構成，理解幾種基本算法語句輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句，并通過閱讀中國古代數(shù)學中的算法案例，體會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻。3一般算法由順序、條件和循環(huán)三種基本結構組成。順序結構是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，這

5、是任何一個算法都離不開的基本主體結構。例如，下面的算法就是典型的順序結構。一個三角形的三邊邊長分別為2、3、4，設計一個算法，求出它的面積。算法分析：第一步：輸入3個數(shù)2、3、4。第二步：計算。第三步：計算三角形的面積。第四步：輸出s的值。條件結構是以條件的判斷為起始點，根據(jù)條件是否成立而決定執(zhí)行哪一個處理步驟。例如，下面的例題就要求我們做出判斷。任意給定3個正實數(shù)，設計一個算法求分別以這3個數(shù)為三邊邊長的三角形的面積。算法分析：第一步：輸入3個數(shù)a、b、c。第二步：判斷a、b、c是否能構成三角形。第三步：如果能構成三角形，計算和三角形的面積。第四步：輸出的值或者“無法構成三角形”的信息。循環(huán)

6、結構是指在算法設計中，從某處開始有規(guī)律地反復執(zhí)行某一處理步驟，這個處理步驟稱為循環(huán)體。循環(huán)體的執(zhí)行次數(shù)由一個控制循環(huán)條件決定。滿足條件反復做，不滿足則停止。循環(huán)結構分為兩種當型（while型）和直到型（until型）。當型循環(huán)在執(zhí)行循環(huán)體前對控制循環(huán)條件進行判斷，當條件滿足時反復做，不滿足停止；直到型循環(huán)在執(zhí)行了一次循環(huán)體之后，對控制循環(huán)條件進行判斷，當條件不滿足時反復做，滿足則停止。 下面的例子分別用當型和直到型算法解決同一個問題。例如，畫出求1 + 2 + + 100的程序框圖。程序框圖： “WHILE型循環(huán)” “UNTIL型循環(huán)”4“算法是計算機科學的基礎”，計算機完成任何一項任務都需要

7、算法。但是，用自然語言或程序框圖描述的算法計算機是無法“理解”的，我們還需要將算法用計算機能夠理解的語言表達出來，通常這稱為程序設計，所用的語言稱為程序設計語言（programming language）。程序設計語言由一些有特定含義的程序語句構成，與算法程序框圖的三種基本結構相對應，任何程序設計語言都包含輸入輸出語句 、賦值語句、條件語句和循環(huán)語句。不同的程序設計語言有不同的語句形式和語法規(guī)則，但基本結構是相同的。正是由于這樣的原因，在研究算法的時候，有時并不很關心算法語句是否用得是某種精確的程序語言，而采用基本結構相同的更為簡便易懂的語言形式，有人稱之為偽代碼。5中國古代數(shù)學中算法的內容是

8、非常豐富的，比如，中國古代數(shù)學著作九章算術中介紹了下述“約分術”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之。”意思是說：若分子、分母全是偶數(shù)，則把分子、分母分別置于兩邊，然后由較大的數(shù)減去較小的數(shù)，并輾轉相減，直到兩邊所得的數(shù)相等，就用這個數(shù)（等數(shù)）來約分。這個數(shù)就是分子和分母的最大公約數(shù)?！凹s分術”實際上給出了求任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)的一種算法，被后人稱為“更相減損術”。這種方法與歐氏算法異曲同工，本質上是相同的。在中國古代數(shù)學中，中學生能夠很容易理解的內容還有熟知的割圓術、多項式求值的秦九韶算法等。算法內容反映了時代的特點，同時也是中國數(shù)學課程內容

9、的新特色。中國古代數(shù)學以算法為主要特征，取得了舉世公認的偉大成就?，F(xiàn)代信息技術的發(fā)展使算法重新煥發(fā)了前所未有的生機和活力，算法進入中學數(shù)學課程，既反映了時代的要求，也是中國古代數(shù)學思想在一個新的層次上的復興，也就成為了中國數(shù)學課程的一個新的特色。三、編寫中考慮的幾個問題強調通過案例引導學生認識算法的本質算法的概念并沒有一個統(tǒng)一的定義，教科書從豐富的實例出發(fā)，自始至終貫徹“通過對解決具體問題過程與步驟的分析（如二元一次方程組求解等問題），體會算法的思想，了解算法的含義”的要求，力求使學生能夠對算法本質有所認識。自然語言、程序框圖和算法語言是表達算法的三種形式，教科書通過簡單的實例來說明程序框圖和

10、算法語言的使用，抓住了算法表示的核心內容，不追求完整。算法案例的處理也遵循了這一原則，重在對案例的算法的分析，案例的選擇也主要從算法的典型性、與以往知識的連續(xù)性和可接受性的角度出發(fā)，使學生能夠通過案例的學習進一步理解算法的本質。突出與其他部分內容的聯(lián)系，體現(xiàn)算法的基本思想教科書中例題的選取注意體現(xiàn)與已經學過的內容的聯(lián)系，比如一元二次方程、二元二次方程的解法過程，用二分法求方程的近似解，遞推數(shù)列求和等等。力求通過這樣的聯(lián)系使學生認識到算法思想的重要性，并逐步能夠應用算法思想解決一些實際問題。3強調學生的實踐算法是實踐性很強的內容，只有通過學生自己的親身實踐，讓學生親自去解決幾個算法設計的問題，才

11、能使學生體會算法的基本思想，學會一些基本邏輯結構和語句。因此，在教科書編寫過程中，特別強調了通過實例讓學生體會和理解算法的含義，通過模仿、操作、探索，經歷通過設計程序框圖表達解決問題的過程，了解算法語言的基本構成，理解幾種基本算法語句。四、對教學的幾個建議準確把握算法內容的教學要求算法一方面具有具體化、程序化、機械化的特點，同時又有高度抽象性、概括性和精確性。對于一個具體算法而言，從算法分析到算法語言的實現(xiàn)，任何一個疏漏或錯誤都將導致算法的失敗。算法是思維的條理化、邏輯化。算法既重視“算則”，更重視“算理”。對于算法而言，一步一步的程序化步驟，即“算則”固然重要，但這些步驟的依據(jù)，即“算理”有

12、著更基本的作用，“算理”是“算則”的基礎，“算則”是“算理”的表現(xiàn)。算法思想可以貫穿于整個中學數(shù)學內容之中，有豐富的層次遞進的素材，而在算法的具體實現(xiàn)上又可以和信息技術相聯(lián)系，因而，算法有利于培養(yǎng)學生理性精神和實踐能力，是實施探究性學習的良好素材。根據(jù)對算法的上述理解，以及“標準”對算法的定位，教學中應當把體會算法的基本思想、提高學生邏輯思維能力作為重點，即教學過程中，應當以教科書中提供的案例為載體，引導學生在設計程序框圖、將程序框圖轉化為程序語句的實踐中，體會算法的含義，學會如何用程序框圖表達解決問題的思路，而不要將本章內容簡單處理成程序語言的學習和程序設計。2算法教學必須通過實例進行，應盡量使用信息技術前已指出，算法的操作性很強，因此算法教學應當強調學生的動手實踐。教學中應當充分應用教科書中提供的實例，使學生在解決具體問題的過程中學習一些基本邏輯結構和算法語句。算法內容是將數(shù)學中的算法與計算機技術建立聯(lián)系，形式化地表示算法。為了有條理地、清晰地表達算法，往往需要將解決問題的過程整理成程序框圖；為了能在計算機上實現(xiàn)，又要將自然語言或程序框圖翻譯成計算機語言。因此，如果能讓學生上機，算法設計的整個過程就可以得到完整的體現(xiàn)，學生可以及時看到自己設計的算法的可行性、有效性，這不但可以很好地激發(fā)學生的興趣，而且還能提高學習效果。因此