1、物系相關(guān)速度,物系相關(guān)速度共性,研究對象,剛體,不發(fā)生形變的理想物體,實(shí)際物體在外力作用下發(fā)生的形變效應(yīng)不顯著可被忽略時(shí),即可將其視作剛體,基本特征,具有剛體的力學(xué)性質(zhì)，剛體上任意兩點(diǎn)之間的相對距離是恒定不變的;,剛體運(yùn)動的速度法則,角速度,剛體上每一點(diǎn)的速度都是與基點(diǎn)(可任意選擇)速度相同的平動速度和相對于該基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動速度的矢量和.,轉(zhuǎn)動速度,v=r，r是對基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動半徑，是剛體轉(zhuǎn)動角速度,任何剛體的任何一種復(fù)雜運(yùn)動都是由平動與轉(zhuǎn)動復(fù)合而成的.,剛體各質(zhì)點(diǎn)自身轉(zhuǎn)動角速度總相同且與基點(diǎn)的選擇無關(guān),v2,v2d,v1,v1d,O,在同一時(shí)刻必具有相同的沿桿、繩方向的分速度.,沿接觸面法向的分速度

2、必定相同，沿接觸面切向的分速度在無相對滑動時(shí)相同.,相交雙方沿對方切向運(yùn)動分速度的矢量和.,物系相關(guān)速度特征,桿或繩約束物系各點(diǎn)速度的相關(guān)特征是：,接觸物系接觸點(diǎn)速度的相關(guān)特征是：,線狀相交物系交叉點(diǎn)的速度是:,如圖所示，AB桿的A端以勻速v運(yùn)動，在運(yùn)動時(shí)桿恒與一 半圓周相切，半圓周的半徑為R，當(dāng)桿與水平線的交角為時(shí)，求桿的角速度及桿上與半圓相切點(diǎn)C的速度,專題5-例1,這是桿約束相關(guān)速度問題,考察桿切點(diǎn)C,由于半圓靜止,C點(diǎn)速度必沿桿!,v,C,v1,v2,vc,桿A點(diǎn)速度必沿水平!,以C為基點(diǎn)分解v:,由桿約束相關(guān)關(guān)系:,v2是A點(diǎn)對C點(diǎn)的轉(zhuǎn)動速度,故,如圖所示，合頁構(gòu)件由三個(gè)菱形組成，其

3、邊長之比為321，頂點(diǎn)A3以速度v沿水平方向向右運(yùn)動，求當(dāng)構(gòu)件所有角都為直角時(shí)，頂點(diǎn)2的速度vB2,專題5-例2,這是桿約束相關(guān)速度問題,A0,A1,A2,A3,B1,B2,B3,v,vA2,vA1,v2,v1,分析頂點(diǎn)A2、A1的速度：,頂點(diǎn)B2，既是A1B2桿上的點(diǎn)，又是A2B2桿上的點(diǎn)，分別以A1、A2為基點(diǎn)，分析B2點(diǎn)速度：,v1,v2,vB2,由圖示知,由幾何關(guān)系,D,C,vBA,這是繩約束相關(guān)速度問題,繩BD段上各點(diǎn)有與繩端D相同的沿繩BD段方向的分速度v；,設(shè)A右移速度為vx，即相對于A，繩上B點(diǎn)是以速度vx從動滑輪中抽出的，即,引入中介參照系-物A ，在沿繩BD方向上，繩上B點(diǎn)

4、速度v是其相對于參照系A(chǔ)的速度vx與參照系A(chǔ)對靜止參照系速度vxcos的合成， 即,由上,vxcos,如圖所示，物體A置于水平面上，物A前固定有動滑輪B，D為定滑輪，一根輕繩繞過D、B后固定在C點(diǎn)，BC段水平，當(dāng)以速度v拉繩頭時(shí)，物體A沿水平面運(yùn)動，若繩與水平面夾角為，物體A 運(yùn)動的速度是多大？,專題5-例3,如圖所示，半徑為R的半圓凸輪以等速v0沿水平面向右運(yùn)動，帶動從動桿AB沿豎直方向上升，O為凸輪圓心，P為其頂點(diǎn)求當(dāng)AOP=時(shí)，AB桿的速度,專題5-例4,這是接觸物系接觸點(diǎn)相關(guān)速度問題,P,A,O,B,v0,vA,v0,根據(jù)接觸物系觸點(diǎn)速度相關(guān)特征，兩者沿接觸面法向的分速度相同，即,如圖

5、所示，纏在線軸上的繩子一頭搭在墻上的光滑釘子A上，以恒定的速度v拉繩，當(dāng)繩與豎直方向成角時(shí)，求線軸中心O的運(yùn)動速度v0線軸的外徑為R、內(nèi)徑為r，線軸沿水平面做無滑動的滾動,專題5-例5,R,r,O,v,A,考察繩、軸接觸的切點(diǎn)B速度,軸上B點(diǎn)具有與軸心相同的平動速度v0與對軸心的轉(zhuǎn)動速度r：,v0,r,繩上B點(diǎn)沿繩方向速度v和與軸B點(diǎn)相同的法向速度vn：,vn,由于繩、軸點(diǎn)點(diǎn)相切，有,線軸沿水平面做純滾動,v0,若線軸逆時(shí)針滾動，則,如圖所示，線軸沿水平面做無滑動的滾動，并且線端A點(diǎn)速度為v，方向水平以鉸鏈固定于B點(diǎn)的木板靠在線軸上，線軸的內(nèi)、外徑分別為r和R試確定木板的角速度與角的關(guān)系,專題

6、5-例6,考察板、軸接觸的切點(diǎn)C速度,板上C點(diǎn)與線軸上C 點(diǎn)有相同的法向速度vn,且板上vn正是C點(diǎn)關(guān)于B軸的轉(zhuǎn)動速度 ：,C,A,B,C,vn,vn,線軸上C點(diǎn)的速度：它應(yīng)是C點(diǎn)對軸心O的轉(zhuǎn)動速度vCn和與軸心相同的平動速度vO的矢量和，而vCn是沿C點(diǎn)切向的，則C點(diǎn)法向速度vn應(yīng)是 ：,v0,v,vCn,v0,線軸為剛體且做純滾動，故以線軸與水平面切點(diǎn)為基點(diǎn)，應(yīng)有,R,r,如圖所示，水平直桿AB在圓心為O、半徑為r的固定圓圈上以勻速u豎直下落，試求套在該直桿和圓圈的交點(diǎn)處一小滑環(huán)M的速度，設(shè)OM與豎直方向的夾角為,專題5-例7,這是線狀交叉物系交叉點(diǎn)相關(guān)速度問題,B,O,M,將桿的速度u沿

7、桿方向與圓圈切線方向分解:,滑環(huán)速度即交叉點(diǎn)速度,方向沿圓圈切向;,根據(jù)交叉點(diǎn)速度是相交雙方沿對方切向運(yùn)動分速度的矢量和，滑環(huán)速度即為桿沿圓圈切向分速度:,如圖所示，直角曲桿OBC繞O軸在圖示平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，使套在其上的光滑小環(huán)沿固定直桿OA滑動已知OB=10 cm，曲桿的角速度=0.5 rad/s，求=60時(shí)，小環(huán)M的速度,專題5-例8,這是線狀交叉物系交叉點(diǎn)相關(guān)速度問題,由于剛性曲桿OBC以O(shè)為軸轉(zhuǎn)動，故BC上與OA直桿交叉點(diǎn)M的速度方向垂直于轉(zhuǎn)動半徑OM、大小是:,根據(jù)交叉點(diǎn)速度相關(guān)特征，該速度沿OA方向的分量即為小環(huán)速度，故將vBCM沿MA、MB方向分解成兩個(gè)分速度:,vBCM,小環(huán)M的速

8、度即為vMA：,vMA,vMB,30,O,A,如圖所示，一個(gè)半徑為R的軸環(huán)O1立在水平面上，另一個(gè)同樣的軸環(huán)O2以速度v從這個(gè)軸環(huán)旁通過，試求兩軸環(huán)上部交叉點(diǎn)A的速度vA與兩環(huán)中心之距離d之間的關(guān)系軸環(huán)很薄且第二個(gè)軸環(huán)緊傍第一個(gè)軸環(huán),專題5-例9,d,O1,A,O2,本題求線狀交叉物系交叉點(diǎn)A速度,A,v1,v2,軸環(huán)O2速度為v，將此速度沿軸環(huán)O1、O2的交叉點(diǎn)A處的切線方向分解成v1、v2兩個(gè)分量:,O2,由線狀相交物系交叉點(diǎn)相關(guān)速度規(guī)律可知，交叉點(diǎn)A的速度即為沿對方速度分量v1!,由圖示幾何關(guān)系可得:,頂桿AB可在豎直滑槽K內(nèi)滑動，其下端由凸輪M推動凸輪繞O軸以勻角速轉(zhuǎn)動，在圖示時(shí)刻，O

9、Ar，凸輪輪緣與A接觸處法線n與OA之間的夾角為，試求頂桿的速度,小試身手題1,M,n,K,B,桿與凸輪接觸點(diǎn)有相同的法向速度!,v桿,r,r,根據(jù)接觸物系觸點(diǎn)速度相關(guān)特征，兩者沿接觸面法向的分速度相同，即,一人身高h(yuǎn) ，在燈下以勻速率vA沿水平直線行走如圖所示，設(shè)燈距地面高度為H，求人影的頂端點(diǎn)沿地面移動的速度 ,小試身手題2,H,借用繩桿約束模型,設(shè)人影端點(diǎn)M移動速度為v影 ,以光源為基點(diǎn),將vA和v影分解為沿光線方向“伸長速度”和對基點(diǎn)的“轉(zhuǎn)動速度”,由幾何關(guān)系,由一條光線上各點(diǎn)轉(zhuǎn)動角速度相同：,如圖所示,纏在線軸A上的線被繞過滑輪B以恒定速率v0拉出，這時(shí)線軸沿水平面無滑動地滾動求線軸

10、中心O點(diǎn)的速度隨線與水平方向的夾角的變化關(guān)系線軸的內(nèi)、外半徑分別為R與r,小試身手題3,A,B,O,V,考察繩、軸接觸的切點(diǎn)A速度,軸上A點(diǎn)具有對軸心的轉(zhuǎn)動速度V=R和與軸心相同的平動速度V0：,繩上A點(diǎn)具有沿繩方向速度v0和與軸A點(diǎn)相同的法向速度vn：,vn,由于繩、軸點(diǎn)點(diǎn)相切，有,由于純滾動，有,圖中的AC、BD兩桿以勻角速度分別繞相距為l的A、兩固定軸在同一豎直面上轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動方向已在圖上示出小環(huán)M套在兩桿上，t=0時(shí)圖中=60，試求而后任意時(shí)刻t（M未落地）M運(yùn)動的速度大小,小試身手題4,A,B,因兩桿角速度相同，AMB=60不變,本題屬線狀交叉物系交叉點(diǎn)速度問題,套在兩桿交點(diǎn)的環(huán)M所在

11、圓周半徑為,l,R,桿D轉(zhuǎn)過圓周角，M點(diǎn)轉(zhuǎn)過同弧上2的圓心角,環(huán)M的角速度為2!,環(huán)M的線速度為,如圖,一個(gè)球以速度v沿直角斜槽ACB的棱角做無滑動的滾動AB等效于球的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸試問球上哪些點(diǎn)的速度最大？這最大速度為多少？,小試身手題5,本題屬剛體各點(diǎn)速度問題,A,C,B,球心速度為v， 則對瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸AB:,則球角速度,球表面與瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸距離最大的點(diǎn)有最大速度!,根據(jù)剛體運(yùn)動的速度法則:,如圖，由兩個(gè)圓環(huán)所組成的滾珠軸承，其內(nèi)環(huán)半徑為R2，外環(huán)半徑為R1，在二環(huán)之間分布的小圓球（滾珠）半徑為r，外環(huán)以線速度v1順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動，而內(nèi)環(huán)則以線速度v2順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動，試求小球中心圍繞圓環(huán)的中心順時(shí)針轉(zhuǎn)動

12、的線速度v和小球自轉(zhuǎn)的角速度，設(shè)小球與圓環(huán)之間無滑動發(fā)生,小試身手題6,R1,R2,v,已知滾珠球心速度為v，角速度為，,v1,v2,r,根據(jù)剛體運(yùn)動的速度法則:,滾珠與內(nèi)環(huán)接觸處A速度,滾珠與外環(huán)接觸處B速度,r,滾珠與兩環(huán)無滑動，兩環(huán)與珠接觸處A、B切向速度相同,本題屬剛體各點(diǎn)速度及接觸點(diǎn)速度問題,一片膠合板從空中下落，發(fā)現(xiàn)在某個(gè)時(shí)刻板上a 點(diǎn)速度和b點(diǎn)速度相同：va=vb=v，且方向均沿板面；同時(shí)還發(fā)現(xiàn)板上c點(diǎn)速度大小比速度v大一倍，c點(diǎn)到a、b兩點(diǎn)距離等于a、b兩點(diǎn)之間距離試問板上哪些點(diǎn)的速度等于3v？,小試身手題7,本題屬剛體各點(diǎn)速度問題,板上a、b兩點(diǎn)速度相同，故a、b連線即為板瞬

13、時(shí)轉(zhuǎn)動軸!,v,v,l,根據(jù)剛體運(yùn)動的速度法則,C點(diǎn)速度為:,vc=2v,v,vcn=l,矢量圖示,同理,速度為3v的點(diǎn)滿足,V=3v,vn=x,如圖,A、B、C三位芭蕾演員同時(shí)從邊長為l的三角形頂點(diǎn)A、B、C出發(fā)，以相同的速率v運(yùn)動，運(yùn)動中始終保持A朝著B，B朝著C，C朝著A試問經(jīng)多少時(shí)間三人相聚？每個(gè)演員跑了多少路程？,小試身手題8,由三位舞者運(yùn)動的對稱性可知，他們會合點(diǎn)在三角形ABC的中心O,vn,每人的運(yùn)動均可視做繞O轉(zhuǎn)動的同時(shí)向O運(yùn)動，,vt,考慮A處舞者沿AO方向分運(yùn)動考慮,到達(dá)O點(diǎn)歷時(shí),由于舞者勻速率運(yùn)動,則,如圖所示，一個(gè)圓臺，上底半徑為r，下底半徑為R，其母線AB長為L，放置

14、在水平地面上，推動它以后，它自身以角速度旋轉(zhuǎn)，整體繞點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，若接觸部分不打滑，求旋轉(zhuǎn)半徑OA及旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間T,小試身手題9,A,B,L,O,r,R,設(shè)旋轉(zhuǎn)半徑為x，則由幾何關(guān)系:,接觸處不打滑，則A點(diǎn)（即接觸點(diǎn)）移動速度即為,vA,則,如圖所示，繩的一端固定，另一端纏在圓筒上，圓筒半徑為R，放在與水平面成角的光滑斜面上，當(dāng)繩變?yōu)樨Q直方向時(shí)，圓筒轉(zhuǎn)動角速度為(此時(shí)繩未松馳)，試求此刻圓筒與繩分離處A的速度以及圓筒與斜面切點(diǎn)C的速度,小試身手題10,O,繩豎直時(shí)設(shè)圓筒中心速度為v0,vO,以A為基點(diǎn),由剛體速度法則,O點(diǎn)速度是,vA,vn,圓筒與繩分離處A速度vA如圖:,vA,考察圓

15、筒與斜面切點(diǎn)C速度:,vO,vn,以O(shè)為基點(diǎn),由剛體速度法則,C點(diǎn)速度是,如圖所示，長度l10 cm的棒在光滑水平面上轉(zhuǎn)動，同時(shí)，以速度v10 cm/s滑動，離棒的中心距離L50 cm處有豎直的墻要使棒平著與墻相撞，試問棒的角速度應(yīng)為多少？,小試身手題11,L,v,棒要平著與豎墻相撞應(yīng)滿足,棒中心完成L位移時(shí)，棒與墻平行；,相撞時(shí)無沿棒法向向右的離開墻的速度（即棒上所有點(diǎn)速度方向均向墻）.,滿足應(yīng)有:,棒在向墻移動時(shí)每半周與墻平行一次,滿足應(yīng)有,一塊坯料夾在兩導(dǎo)板之間，導(dǎo)板水平運(yùn)動上板向右，速度為v1，下板向左，速度為v2，若v12v2 ，某時(shí)刻切點(diǎn)和在同一條豎直線上，如圖所示請作圖指出該時(shí)刻

16、坯料上速度大小分別為v1和 v2 的點(diǎn)的集合,1(A),2(B),小試身手題12,以12截分AB得瞬時(shí)轉(zhuǎn)動中心O,剛體上與瞬時(shí)轉(zhuǎn)動中心距離相同的點(diǎn)對中心的轉(zhuǎn)動速度相同,O,v1,V繩對環(huán)= v1,vO對v1+v2,V繩對環(huán),設(shè)環(huán)O的速度為v2,以O(shè)為參照繩抽出速度大小為v1,方向如示:,v2,則環(huán)O對環(huán)O的速度大小為v1+v2,方向如示:,這個(gè)速度是O對O沿繩“抽出”速度和對O轉(zhuǎn)動速度的合成,由繩約束特征:在同一時(shí)刻必具有相同的沿繩方向的分速度.,如圖所示，有兩條位于同一豎直平面內(nèi)的水平軌道，相距為h軌道上有兩個(gè)物體和，它們通過一根繞過定滑輪的不可伸長的輕繩相連接物體在下面的軌道上以勻速率v運(yùn)

17、動在軌道間的繩子與軌道成30角的瞬間，繩子BO段的中點(diǎn)處有一與繩相對靜止的小水滴與繩子分離，設(shè)繩長BO遠(yuǎn)大于滑輪直徑，求：小水滴恰脫離繩子落地時(shí)速度的大小,小試身手題14,O,A,B,P,v,h,30,小水滴P剛與繩分離時(shí)應(yīng)具有與OB繩中點(diǎn)相同的速度,這個(gè)速度是沿繩速度與繞O轉(zhuǎn)動速度的合成:,v,vPn,vB,vBn,小水滴沿繩方向速度即為v,整個(gè)OB段繩有相同繞O轉(zhuǎn)動角速度,故,則,以此速度斜拋落地,vP,如圖所示，AB桿以角速度繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動，并帶動套在水平桿OC上 的小環(huán)M運(yùn)動運(yùn)動開始時(shí)，AB桿在鉛垂位置，設(shè)OA=h，求：小環(huán)M沿OC桿滑動的速度；小環(huán)M相對于AB桿運(yùn)動的速度,小試身手題15,O,C,A,h,經(jīng)時(shí)間t，桿轉(zhuǎn)過角t