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文檔簡介

1、,第八章,第七節(jié),一、方向?qū)?shù),二、梯度,方向?qū)?shù)與梯度,討論函數(shù) 在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題,一、方向?qū)?shù)的定義,（如圖）,當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，,是否存在？,記為,反之，如果 沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在，,由定義，方向?qū)?shù)是函數(shù) 在某點(diǎn)處沿某一方向?qū)?距離的變化率，故當(dāng) 時(shí)，函數(shù)沿 方向是增加的；當(dāng) 時(shí)，函數(shù)沿 方向是減少的。,證明,由于函數(shù)可微，則增量可表示為,故有方向?qū)?shù),解,解,由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知,故,推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義,解,令,故,方向余弦為,故,實(shí)例：一塊長方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金

2、屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？,問題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行,二、梯度的概念,結(jié)論,在幾何上 表示一個(gè)曲面,曲面被平面 所截得,所得曲線在xoy面上投影如圖,等高線,等高線的畫法,播放,例如,梯度與等高線的關(guān)系：,類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.,梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),解,由梯度計(jì)算公式得,故,1、方向?qū)?shù)的概念,2、梯度的概念,3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系,（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）,（注意梯度是一個(gè)向量）,四、小結(jié),4 、方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)與函數(shù)可微的關(guān)系,方向?qū)?shù)存在,偏導(dǎo)數(shù)存在, 可微,思考題,思考題解答,練 習(xí) 題,3、已知場,方向?qū)?shù)是_.,場的梯度方向的,練習(xí)題答案,等高線的畫法,等高線的畫法,等高線的畫法,等高線的

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