1、2.3.2 向量數(shù)量積的運(yùn)算律課堂探究探究一 向量數(shù)量積的計(jì)算求平面向量的數(shù)量積時(shí)，常用到以下結(jié)論：(1)a2|a|2；(2)(xayb)(mcnd)xmacxnadymbcynbd，其中x，y，m，nR，類似于多項(xiàng)式的乘法法則；(3)(ab)2a22abb2；(4)(abc)2a2b2c22ab2bc2ac同時(shí)還要注意幾何性質(zhì)的應(yīng)用，將向量適當(dāng)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的目的是用上已知條件【例1】 已知兩個(gè)單位向量e1與e2的夾角為60，求：(1)e1e2；(2)(2e1e2)(3e12e2)；(3)(e1e2)2解：(1)e1e2|e1|e2|cos 60(2)由(1)可知e1e2，|e1|e2|1，所以

2、(2e1e2)(3e12e2)63e2e14e1e226|e1|2342|e2|262(3)(e1e2)2(e1e2)(e1e2)e1e2e2e12e1e21113誤區(qū)警示 利用(ab)2a22abb2時(shí)，不要將式中的ab寫成|a|b|探究二 求向量的模利用數(shù)量積求解長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法：(1)a2aa|a|2或|a|；(2)|ab|【例2】 已知向量a，b滿足|a|b|1，且|3a2b|3，求|3ab|的值分析：通過數(shù)量積ab來探求已知條件|3a2b|3與目標(biāo)式|3ab|之間的關(guān)系解：因?yàn)閨a|b|1，所以|a|2|b|21又因?yàn)閨3a2b|3，所以(3a2b

3、)29，所以9|a|212ab4|b|29，將|a|2|b|21，代入有ab，而(3ab)29|a|26ab|b|296112，所以|3ab|探究三 向量在幾何中的應(yīng)用向量作為一種工具在解決幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題是極其關(guān)鍵的一步，同時(shí)注意向量的數(shù)量積及向量的運(yùn)算律的運(yùn)用；在應(yīng)用時(shí)還要注意向量的相關(guān)概念與一些幾何概念的區(qū)別，如，向量的夾角與直線的夾角【例3】 在等腰直角三角形ABC中，C是直角，CACB，D是CB中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且AE2EB，求證：ADCE證明：如圖=(+)(+)=+=-|0，所以，即ADCE【例4】 ABC三邊長為a，b，c，以A為圓心，r為半

4、徑作圓，如圖所示，PQ為直徑，試判斷P，Q在什么位置時(shí)，有最大值？分析：由三角形法則構(gòu)造與的數(shù)量積，然后轉(zhuǎn)化為在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求最大值解：因?yàn)?，即，所?)()r2()r2|cosBACr2bccosBACr2當(dāng)與同向時(shí)，最大且最大值為|ra即當(dāng)與共線且同方向時(shí)，有最大值bccosBACarr2探究五 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：向量與實(shí)數(shù)的混用【例5】 已知a，b都是非零向量，且a3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直求a與b的夾角錯(cuò)解：由題意，得即得46ab23b2因?yàn)閎0，所以a，把它代入得a2b2，則|a|b|，設(shè)a與b的夾角為，則cos ，因?yàn)?180，所以60錯(cuò)因分析：在求出2abb2之前是正確的，此式子說明ab與是兩個(gè)相等的數(shù)，兩邊同時(shí)約去b，即兩邊同除以b是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄蛄繘]有除法，結(jié)果正確只是巧合正解：因?yàn)閍3b與7a5b垂直，所以(a3b)(7a5b)0，即7|a|216ab15|b|20同理由a4b與7a2b垂直可得7