1、1. 符號表達(dá)式的建立 2. 符號表達(dá)式的代數(shù)運(yùn)算 3. 符號表達(dá)式的操作和轉(zhuǎn)換 4. 符號極限、微積分和級數(shù)求和 5. 符號積分變換 6. 符號方程的求解,MATLAB符號運(yùn)算,符號運(yùn)算是對未賦值的符號對象(可以是常數(shù)、變量、表達(dá)式)進(jìn)行運(yùn)算和處理。MATLAB具有符號數(shù)學(xué)工具箱(Symbolic Math Toolbox),一、符號表達(dá)式的建立,創(chuàng)建符號常量 符號常量是不含變量的符號表達(dá)式，用sym命令來創(chuàng)建符號常量。 語法：sym(常量) %創(chuàng)建符號常量 sym命令也可以把數(shù)值轉(zhuǎn)換成某種格式的符號常量。 語法：sym(常量,參數(shù)) %把常量按某種格式轉(zhuǎn)換為符號常量 說明：參數(shù)可以選擇為d

2、、f、e或r 四種格式，也可省略，其作用如表所示。,例1 創(chuàng)建數(shù)值常量和符號常量。 a1 = 2*sqrt(5)+pi %創(chuàng)建數(shù)值常量 a1 =7.6137 a2 = sym(2*sqrt(5)+pi) %創(chuàng)建符號表達(dá)式 a2 = 2*sqrt(5)+pi a3 = sym(2*sqrt(5)+pi,d) %按最接近的十進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)表示符號常量 a3 = 7.6137286085893727261009189533070,創(chuàng)建符號變量和表達(dá)式 創(chuàng)建符號變量和符號表達(dá)式可以使用sym和syms命令。 1. 使用sym命令創(chuàng)建符號變量和表達(dá)式 語法：sym(變量,參數(shù)) %把變量定義為符號對象 說明

3、：參數(shù)用來設(shè)置限定符號變量的數(shù)學(xué)特性，可以選擇為positive、real和unreal， positive 表示為“正、實(shí)”符號變量，real表示為“實(shí)”符號變量，unreal 表示為“非實(shí)”符號變量。如果不限定則參數(shù)可省略。,例2 創(chuàng)建符號變量，用參數(shù)設(shè)置其特性。 syms x y real %創(chuàng)建實(shí)數(shù)符號變量 z=x+i*y; %創(chuàng)建z為復(fù)數(shù)符號變量 real(z) %復(fù)數(shù)z的實(shí)部是實(shí)數(shù)x ans = x sym(x,unreal); %清除符號變量的實(shí)數(shù)特性 real(z) %復(fù)數(shù)z的實(shí)部 ans = 1/2*x+1/2*conj(x) 程序分析：設(shè)置x、y為實(shí)數(shù)型變量，可以確定z的實(shí)

4、部和虛部。,2. 使用syms命令創(chuàng)建符號變量和符號表達(dá)式 語法： syms(arg1, arg2, ,參數(shù)) %把字符變量定義為符號變量 syms arg1 arg2 ,參數(shù) %把字符變量定義為符號變量的簡潔形式 說明：syms用來創(chuàng)建多個(gè)符號變量，這兩種方式創(chuàng)建的符號對象是相同的。參數(shù)設(shè)置和前面的sym命令相同，省略時(shí)符號表達(dá)式直接由各符號變量組成。 例2續(xù) 使用syms命令創(chuàng)建符號變量和符號表達(dá)式。 syms a b c x %創(chuàng)建多個(gè)符號變量 f2=a*x2+b*x+c %創(chuàng)建符號表達(dá)式 f2 =a*x2+b*x+c syms(a,b,c,x) f3=a*x2+b*x+c; %創(chuàng)建符號

5、表達(dá)式 程序分析：既創(chuàng)建了符號變量a、b、c、x，又創(chuàng)建了符號表達(dá)式，f2、f3和f1符號表達(dá)式相同。,符號矩陣 用sym和syms命令也可以創(chuàng)建符號矩陣。 例如，使用syms命令創(chuàng)建相同的符號矩陣： syms a b c d A=a b; c d A = a, b c, d 例3 比較符號矩陣與字符串矩陣的不同。 A=sym(a,b; c,d) %創(chuàng)建符號矩陣 A = a, b c, d B=a,b;c,d %創(chuàng)建字符串矩陣 B =a,b; c,d,二、符號表達(dá)式的代數(shù)運(yùn)算,符號運(yùn)算與數(shù)值運(yùn)算的區(qū)別主要有以下幾點(diǎn)： 1. 傳統(tǒng)的數(shù)值型運(yùn)算因?yàn)橐艿接?jì)算機(jī)所保留的有效位數(shù)的限制，它的內(nèi)部表示法

6、總是采用計(jì)算機(jī)硬件提供的8位浮點(diǎn)表示法，因此每一次運(yùn)算都會有一定的截?cái)嗾`差，重復(fù)的多次數(shù)值運(yùn)算就可能會造成很大的累積誤差。符號運(yùn)算不需要進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，不會出現(xiàn)截?cái)嗾`差，因此符號運(yùn)算是非常準(zhǔn)確的。 2. 符號運(yùn)算可以得出完全的封閉解或任意精度的數(shù)值解。 3. 符號運(yùn)算的時(shí)間較長，而數(shù)值型運(yùn)算速度快。,符號表達(dá)式的代數(shù)運(yùn)算 1. 符號運(yùn)算中的運(yùn)算符 (1) 基本運(yùn)算符 運(yùn)算符“”，“”，“*”，“”，“/”，“”分別實(shí)現(xiàn)符號矩陣的加、減、乘、左除、右除、求冪運(yùn)算。 運(yùn)算符“.*”，“./”，“.”，“.”分別實(shí)現(xiàn)符號數(shù)組的乘、除、求冪，即數(shù)組間元素與元素的運(yùn)算。 運(yùn)算符“”，“.”分別實(shí)現(xiàn)符號矩陣

7、的共軛轉(zhuǎn)置、非共軛轉(zhuǎn)置。 (2) 關(guān)系運(yùn)算符 在符號對象的比較中，沒有“大于”、“大于等于”、“小于”、“小于等于”的概念，而只有是否“等于”的概念。 運(yùn)算符“= =”、“=”分別對運(yùn)算符兩邊的符號對象進(jìn)行“相等”、“不等”的比較。當(dāng)為“真”時(shí)，比較結(jié)果用1表示；當(dāng)為“假”時(shí)，比較結(jié)果則用0表示。,2. 函數(shù)運(yùn)算 (1) 三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 三角函數(shù)包括sin、cos、tan；雙曲函數(shù)包括sinh、cosh、tanh；三角反函數(shù)除了atan2函數(shù)僅能用于數(shù)值計(jì)算外，其余的asin、acos、atan函數(shù)在符號運(yùn)算中與數(shù)值計(jì)算的使用方法相同。 (2) 指數(shù)和對數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)sqrt、exp、e

8、xpm的使用方法與數(shù)值計(jì)算的完全相同；對數(shù)函數(shù)在符號計(jì)算中只有自然對數(shù)log(表示ln)，而沒有數(shù)值計(jì)算中的log2和log10。 (3) 復(fù)數(shù)函數(shù) 復(fù)數(shù)的共軛conj、求實(shí)部real、求虛部imag和求模abs函數(shù)與數(shù)值計(jì)算中的使用方法相同。但注意，在符號計(jì)算中，MATLAB沒有提供求相角的命令。 (4) 矩陣代數(shù)命令 MATLAB提供的常用矩陣代數(shù)命令有diag，triu，tril，inv，det，rank， poly，expm，eig等，它們的用法幾乎與數(shù)值計(jì)算中的情況完全一樣。,例4 求矩陣的行列式值、非共軛轉(zhuǎn)置和特征值。 syms a11 a12 a21 a22 A=a11 a12;

9、 a21 a22 %創(chuàng)建符號矩陣 A = a11, a12 a21, a22 det(A) %計(jì)算行列式 ans =a11*a22-a12*a21 A. %計(jì)算非共軛轉(zhuǎn)置 ans = a11, a21 a12, a22 eig(A) %計(jì)算特征值 ans = 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2) 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2),例5 符號表達(dá)式f=2x2+3x+4與g=5x+6的代數(shù)運(yùn)算。 f=sym(2*x2+3*x+4) f = 2*

10、x2+3*x+4 g=sym(5*x+6) g = 5*x+6 f+g %符號表達(dá)式相加 ans = 2*x2+8*x+10 f*g %符號表達(dá)式相乘 ans = (2*x2+3*x+4)*(5*x+6),符號數(shù)值任意精度控制和運(yùn)算 1. Symbolic Math Toolbox中的算術(shù)運(yùn)算方式 在Symbolic Math Toolbox中有三種不同的算術(shù)運(yùn)算： (1) 數(shù)值型：MATLAB的浮點(diǎn)運(yùn)算。 (2) 有理數(shù)型：Maple的精確符號運(yùn)算。(7.7之前的版本，7.7之后的版本MuPAD) (3) VPA型：Maple的任意精度運(yùn)算。 2. 任意精度控制 任意精度的VPA型運(yùn)算可以使

11、用digits和vpa命令來實(shí)現(xiàn)。 語法：digits(n) %設(shè)定默認(rèn)的精度 說明：n為所期望的有效位數(shù)。digits函數(shù)可以改變默認(rèn)的有效位數(shù)來改變精度，隨后的每個(gè)進(jìn)行Maple函數(shù)的計(jì)算都以新精度為準(zhǔn)。當(dāng)有效位數(shù)增加時(shí)，計(jì)算時(shí)間和占用的內(nèi)存也增加。命令“digits”用來顯示默認(rèn)的有效位數(shù)，默認(rèn)為32位。 語法：S=vpa(s,n) %將s表示為n位有效位數(shù)的符號對象 說明：s可以是數(shù)值對象或符號對象，但計(jì)算的結(jié)果S一定是符號對象；當(dāng)參數(shù)n省略時(shí)則以給定的digits指定精度。vpa命令只對指定的符號對象s按新精度進(jìn)行計(jì)算，并以同樣的精度顯示計(jì)算結(jié)果，但并不改變?nèi)值膁igits參數(shù)。,

12、3. Symbolic Math Toolbox中的三種運(yùn)算方式的比較 例6 用三種運(yùn)算方式表達(dá)式比較2/3的結(jié)果。 a1 =2/3 %數(shù)值型 a1 = 0.6667 a2 = sym(2/3) %有理數(shù)型 a2 =2/3 a3 =vpa(2/3,32) %VPA型 a3 = 0.66666666666666666666666666666667 程序分析：(1)三種運(yùn)算方式中數(shù)值型運(yùn)算的速度最快； (2)有理數(shù)型符號運(yùn)算的計(jì)算時(shí)間和占用內(nèi)存是最大的，產(chǎn)生的結(jié)果是非常準(zhǔn)確的；(3) VPA型的任意精度符號運(yùn)算比較靈活，可以設(shè)置任意有效精度，當(dāng)保留的有效位數(shù)增加時(shí)，每次運(yùn)算的時(shí)間和使用的內(nèi)存也會增

13、加。,符號對象與數(shù)值對象的轉(zhuǎn)換 1. 將數(shù)值對象轉(zhuǎn)換為符號對象 sym命令可以把數(shù)值型對象轉(zhuǎn)換成有理數(shù)型符號對象，vpa命令可以將數(shù)值型對象轉(zhuǎn)換為任意精度的VPA型符號對象。 2. 將符號對象轉(zhuǎn)換為數(shù)值對象 使用double、 numeric函數(shù)可以將有理數(shù)型和VPA型符號對象轉(zhuǎn)換成數(shù)值對象。 語法：N=double(S) %將符號變量S轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量N N=numeric(S) %將符號變量S轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量N,例7 將符號變量與數(shù)值變量進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 clear a1=sym(2*sqrt(5)+pi) a1 = 2*sqrt(5)+pi b1=double(a1) %轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量 b1 =

14、7.6137 a2=vpa(sym(2*sqrt(5)+pi),32) a2 = 7.6137286085893726312809907207421,注意：這是一數(shù)值么？,三、 符號表達(dá)式的操作和轉(zhuǎn)換,符號表達(dá)式中自由變量的確定 1. 自由變量的確定原則 MATLAB將基于以下原則選擇一個(gè)自由變量： (1) 小寫字母i和j不能作為自由變量。 (2) 符號表達(dá)式中如果有多個(gè)字符變量，則按照以下順序選擇自由變量：首先選擇x作為自由變量；如果沒有x，則選擇在字母順序中最接近x的字符變量；如果與x相同距離，則在x后面的優(yōu)先。 (3) 大寫字母比所有的小寫字母都靠后。,2. findsym函數(shù) 如果不確

15、定符號表達(dá)式中的自由符號變量，可以用findsym函數(shù)來自動(dòng)確定。 語法：findsym(EXPR,n) %確定自由符號變量 說明：EXPR可以是符號表達(dá)式或符號矩陣；n為按順序得出符號變量的個(gè)數(shù)，當(dāng)n省略時(shí)，則不按順序得出EXPR中所有的符號變量。 例8 得出符號表達(dá)式中的符號變量。 f=sym(a*x2+b*x+c) f =a*x2+b*x+c findsym(f) %得出所有的符號變量 ans =a, b, c, x g=sym(sin(z)+cos(v) g =sin(z)+cos(v) findsym(g,1) %得出第一個(gè)符號變量 ans =z 程序說明：符號變量z和v距離x相同，

16、以在x后面的z為自由符號變量。,符號表達(dá)式的化簡 同一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)的符號表達(dá)式的可以表示成三種形式，例如以下的f(x)就可以分別表示為： (1) 多項(xiàng)式形式的表達(dá)方式：f(x)=x3+6x2+11x-6 (2) 因式形式的表達(dá)方式：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) (3) 嵌套形式的表達(dá)方式：f(x)=x(x(x-6)+11)-6 例9 三種形式的符號表達(dá)式的表示。 f=sym(x3-6*x2+11*x-6)%多項(xiàng)式形式 f = x3-6*x2+11*x-6 g= sym(x-1)*(x-2)*(x-3) %因式形式 g = (x-1)*(x-2)*(x-3) h= sym( x*(x*

17、(x-6)+11)-6) %嵌套形式 h = x*(x*(x-6)+11)-6,MATLAB提供了pretty, collect, expand, horner, factor, simplify和simple函數(shù)，可以對符號表達(dá)式進(jìn)行化簡。,符號表達(dá)式的替換 1. subexpr函數(shù) 語法：subexpr(s,s1) %用符號變量s1來置換s中的子表達(dá)式 subexpr函數(shù)對子表達(dá)式是自動(dòng)尋找的，只有比較長的子表達(dá)式才被置換，比較短的子表達(dá)式，即使重復(fù)出現(xiàn)多次，也不被置換。 例10 用subexpr函數(shù)使的特征值表達(dá)式簡潔。 syms a b c d x s=eig(a b;c d) %計(jì)算

18、特征值 s = 1/2*a+1/2*d+1/2*(a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2) 1/2*a+1/2*d-1/2*(a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2) subexpr(s,x) %用x替換子表達(dá)式 ans = 1/2*a+1/2*d+1/2* (a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2) 1/2*a+1/2*d-1/2* (a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2) ,2. subs函數(shù) subs函數(shù)可用來進(jìn)行對符號表達(dá)式中符號變量的替換。 語法：subs(s) %用給定值替換符號表達(dá)式s中的所有變量 subs(s,new) %用new替換符號表達(dá)式s中的自由變量 subs(s,old,new) %用new替換符號表達(dá)式s中的old變量 例10續(xù) 用subs函數(shù)對符號表達(dá)式(x+y)2+3(x+y)+5進(jìn)行替換。 f=sym(x+y)2+3*(x+y)+5) %創(chuàng)建符號表達(dá)式 f = (x+y)2+3*(x+y)+5 x=5; f1=subs(f) %用工作空間的給定值替換x f1 = (5+y)2+20+3*y f2=subs(f,x+y,s) %用