1、2.2.1 向量加法運(yùn)算及其幾何意義【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)經(jīng)歷向量加法的探究，掌握向量加法概念,結(jié)合物理學(xué)實(shí)際理解向量加法的意義.能熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，并能作出已知兩向量的和向量.2.在應(yīng)用活動(dòng)中，理解向量加法滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律及表述兩個(gè)運(yùn)算律的幾何意義，掌握有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)向量的和,比如共線向量、共起點(diǎn)向量、共終點(diǎn)向量等.3.通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)事物之間的相互轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的作用. 培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比、遷移、分類(lèi)、歸納等能力.【重點(diǎn)難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn):向量加法的運(yùn)算及其幾何意義.教學(xué)難點(diǎn):對(duì)向量加法法則定義的理解.【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、

2、提出問(wèn)題1（1）數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？類(lèi)比數(shù)的加法,猜想向量的加法，應(yīng)怎樣定義向量的加法？（2）猜想向量加法的法則是什么? 與數(shù)的運(yùn)算法則有什么不同?圖1探究活動(dòng):向量是既有大小、又有方向的量，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧物理中位移的概念，位移可以合成，如圖1. 某對(duì)象從A點(diǎn)經(jīng)B點(diǎn)到C點(diǎn)，兩次位移、的結(jié)果，與A點(diǎn)直接到C點(diǎn)的位移結(jié)果相同. 力也可以合成。老師引導(dǎo)，讓學(xué)生共同探究如下的問(wèn)題:圖2(1)表示橡皮條在兩個(gè)力的作用下，沿著GC的方向伸長(zhǎng)了EO；圖2(2)表示撤去F1和F2，用一個(gè)力F作用在橡皮條上,使橡皮條沿著相同的方向伸長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度.圖2改變力F1與F2的大小和方向，重復(fù)以上的實(shí)

3、驗(yàn),你能發(fā)現(xiàn)F與F1、F2之間的關(guān)系嗎?力F對(duì)橡皮條產(chǎn)生的效果與力F1與F2共同作用產(chǎn)生的效果相同，物理學(xué)中把力F叫做F1與F2的合力. 合力F與力F1、F2有怎樣的關(guān)系呢? 由圖2(3)發(fā)現(xiàn)，力F在以F1、F2為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線上,并且大小等于平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng).數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看,F可以認(rèn)為是F1與F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法.探究結(jié)果:（1）向量加法的定義: 如圖3，已知非零向量a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作=a，=b，則向量叫做a與b的和，記作a+b，即a+b=+=.圖3求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.（2）向量加法的法則:向量加法的三角形法則：

4、 在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法則. 運(yùn)用這一法則時(shí)要特別注意“首尾相接”，即第二個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即為和向量. 位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型. 向量加法的平行四邊形法則：圖4 如圖4，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是a與b的和.我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.力的合成可以看作向量加法的物理模型.提出問(wèn)題2（1）對(duì)于零向量與任一向量的加法，結(jié)果又是怎樣的呢？（2）兩共線向量求和時(shí)，用三角形法則較為合適.當(dāng)在數(shù)軸上表示兩個(gè)

5、向量時(shí)，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？（3）思考|a+b|,|a|,|b|存在著怎樣的關(guān)系？（4）數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系，運(yùn)算律可以有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算. 類(lèi)似地，向量的加法是否也有運(yùn)算律呢? 探究活動(dòng):觀察實(shí)際例子，教師啟發(fā)學(xué)生思考，并適時(shí)點(diǎn)撥、誘導(dǎo)，探究向量的加法在特殊情況下的運(yùn)算，共線向量加法與數(shù)的加法之間的關(guān)系. 數(shù)的加法滿(mǎn)足交換律與結(jié)合律，即對(duì)任意a,bR,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律? 引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖進(jìn)行探索.探究結(jié)果:（1）對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定a+0=0+a=a.（2）兩個(gè)數(shù)相加其結(jié)果是一個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的

6、一個(gè)點(diǎn)；在數(shù)軸上的兩個(gè)向量相加,它們的和仍是一個(gè)向量，對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線段.（3）當(dāng)a,b不共線時(shí)，|a+b|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊);當(dāng)a,b共線且方向相同時(shí)，|a+b|=|a|+|b|;當(dāng)a,b共線且方向相反時(shí)，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|). 其中當(dāng)向量a的長(zhǎng)度大于向量b的長(zhǎng)度時(shí),|a+b|=|a|-|b|；當(dāng)向量a的長(zhǎng)度小于向量b的長(zhǎng)度時(shí)，|a+b|=|b|-|a|.一般地，我們有|a+b|a|+|b|.（4）如圖5，作=a,=b,以AB、AD為鄰邊作ABCD，則=b,=a.因?yàn)?+=a+b，=+=b+a，所以a+b=b+a.如圖6，因?yàn)?+=(

7、+)+=(a+b)+c,=+=+(+)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).綜上所述,向量的加法滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律.圖5 圖6二、應(yīng)用示例思路1【例1】 如圖7，已知向量a、b，求作向量a+b. 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生,讓學(xué)生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量.在向量加法的作圖中,學(xué)生體會(huì)作法中在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O的依據(jù)它體現(xiàn)了向量起點(diǎn)的任意性.在向量作圖時(shí),一般都需要進(jìn)行向量的平移,用平行四邊形法則作圖時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)向量的起點(diǎn)放在一起,而用三角形法則作圖則要求首尾相連. 圖7 圖8 圖9解:作法一:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O(如圖8),作=a,=b,則=a+b.作法

8、二:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O(如圖9)，作=a,=b.以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB,連接OC,則=a+b.變式訓(xùn)練化簡(jiǎn)：(1)+;(2)+，(3)+. 活動(dòng):根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾順次相接，再運(yùn)用向量加法的結(jié)合律調(diào)整運(yùn)算順序，然后相加.解:(1)+=+=.(2)+=+=(+)+=+=0.(3)+FA=+=+=+=+=0. 點(diǎn)評(píng): 要善于運(yùn)用向量的加法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律來(lái)求和向量.解:如圖11所示,表示船速,表示水速,以AD、AB為鄰邊作ABCD,則表示船實(shí)際航行的速度.(2)在RtABC中,|=2,|=5,所以|=5.4.因?yàn)閠anCAB=，由計(jì)算器得CAB=70.答:船實(shí)際航行速度的大小

9、約為5.4 km/h，方向與水的流速間的夾角為70. 點(diǎn)評(píng):用向量法解決物理問(wèn)題的步驟為:先用向量表示物理量,再進(jìn)行向量運(yùn)算,最后回扣物理問(wèn)題，解決問(wèn)題.變式訓(xùn)練用向量方法證明對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.圖12 活動(dòng):本題是一道平面幾何題,如果用純幾何的方法去思考,問(wèn)題不難解決,如果用向量法來(lái)解,不僅思路清晰,而且運(yùn)算簡(jiǎn)單.將互相平分利用向量表達(dá),以此為條件推證使四邊形為平行四邊形的向量等式成立.教師引導(dǎo)學(xué)生探究怎樣用向量法解決幾何問(wèn)題,并在解完后總結(jié)思路方法.證明:如圖12,設(shè)四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，=+， =+.AC與BD互相平分，=，=，=,因此且|=|， 即

10、四邊形ABCD是平行四邊形. 點(diǎn)評(píng):證明一個(gè)四邊形是平行四邊形時(shí),只需證明=或=即可.而要證明一個(gè)四邊形是梯形,需證明與共線,且|.思路2【例1】 如圖13，O為正六邊形ABCDEF的中心,作出下列向量:(1)+； (2)+； (3)+. 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生由向量的平行四邊形法則(三角形法則)作出相應(yīng)的向量.教師一定要讓學(xué)生親自動(dòng)手操作,對(duì)思路不清的學(xué)生教師適時(shí)地給予點(diǎn)撥指導(dǎo).圖13解:(1)因四邊形OABC是以O(shè)A、OC為鄰邊的平行四邊形,OB是其對(duì)角線，故+=.(2)因=，故+與方向相同,長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度的2倍，故+=.(3)因=， 故+=+=0. 點(diǎn)評(píng):向量的運(yùn)算結(jié)合平面幾何知識(shí),在長(zhǎng)度和方

11、向兩個(gè)方面做文章.應(yīng)深刻理解向量的加、減法的幾何意義.【例2】 在長(zhǎng)江的某渡口處，江水以12.5 km/h的速度向東流,渡船的速度是25 km/h,渡船要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)江，其航向應(yīng)如何確定？活動(dòng):變式訓(xùn)練 已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若+=0，則四邊形ABCD是怎樣的四邊形? 點(diǎn)O是四邊形的什么點(diǎn)? 活動(dòng):要判斷四邊形的形狀就必須找出四邊形邊的某些關(guān)系，如平行、相等等;而要判斷點(diǎn)O是該四邊形的什么點(diǎn)，就必須找到該點(diǎn)與四邊形的邊或?qū)蔷€的關(guān)系.圖15解:如圖15所示，設(shè)點(diǎn)O是任一四邊形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且+=0,過(guò)A作AEOD，連結(jié)ED，則四邊形AEDO為平行四邊形，設(shè)OE與AD的交點(diǎn)為M，過(guò)B作BFOC，則四邊形BOCF為平行四邊形，設(shè)OF與BC的交點(diǎn)為N，于是M、N分別是AD、BC的中點(diǎn).+=0，+=+=，+=+=+=0,即與的長(zhǎng)度相等，方向相反.M、O、N三點(diǎn)共線,即點(diǎn)O在AD與BC的中點(diǎn)連線上.同理，點(diǎn)O也在AB與DC的中點(diǎn)連線上.點(diǎn)O是四邊形ABCD對(duì)邊中