1、1,概率及概率空間,2,2.1 概率的定義,1.頻率,3 概率的性質(zhì),2 概率的定義,3,定義： 隨機(jī)事件 : 在一定條件下，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行一次實(shí) 驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果； 必然事件 : 在一定條件下必然要發(fā)生的事件，記作 ； 不可能事件 : 在一定條件下不可能發(fā)生的事件，記作。 基本事件 : 在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，不能分解的事件；,隨 機(jī) 事 件,P (2) fn () =1；,(3) 若A1，A2，An 是兩兩互不相容的事件，則,1.1.2 概率的定義,簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，隨機(jī)事件A發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值），稱(chēng)為A發(fā)生的概率，記作P(A),12,1. 概率的一般（公理化）定義,定義 設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，是它的樣

2、本空間，對(duì)于E的每一事件A對(duì)應(yīng)于一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，稱(chēng)P(A)為事件A的概率，若P(A)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件： (1) 0P(A)1; (2) P()=1； (3) 對(duì)于兩兩互不相容的事件A1，A2，有,以上三個(gè)條件分別稱(chēng)為概率的非負(fù)性、規(guī)范性及可列可加性。 利用概率的定義可以推出概率的一些重要性質(zhì)。,13,性質(zhì)1,因?yàn)?由可列可加性,故,性質(zhì)2 若A1，A2，An為兩兩互不相容的事件，則,由可列可加性有,2. 概率的性質(zhì),14,則 P (BA) = P (B) P (A).,證明 由于 B =A(BA) 且 A . (BA) = , P(B) = P(A)+ P(BA), 于是 P(BA) = P

3、(B)P(A).,推論1 (B-A)=P(B)-P(AB).,推論2 若AB, 則P(B)P(A).,性質(zhì)3 設(shè)A，B是兩事件，若AB,15,性質(zhì)4 對(duì)于任一事件A，有,因,則有,于是有,16,性質(zhì)5 設(shè)任意兩個(gè)事件A、B，則 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB),證明 由右圖可知 A B=A (B - AB)且,由概率可加性及性質(zhì)得 P(A B)=P(A)+P(B - AB)=P(A)+P(B) - P(AB）,A(B - AB)=，ABB,推論1. P(AB ) P(A)+P(B).,推論2. 設(shè)隨機(jī)事件A1, A2, A3 , 則,17,推論3 設(shè)A1，A2，An 是 n 個(gè)隨機(jī)事件

4、， 則,18,例 1 設(shè)事件A、B、AB的概率分別為p、q、r，求P（AB）, P（A ）， P（ B）， P（ ）,解 （1）因?yàn)镻（AB）=P（A）+P（B）-P（AB），所以 P（AB）= p+q-r,（2）因?yàn)锳 =A-AB且ABA，故,P（A,同理可求出P（,（3）因 = ，所以 ,19,1.適用的范圍廣； 2.提供了估算概率的方法； 3.提供了一種檢驗(yàn)理論或假設(shè)正確與否的方法。,概率統(tǒng)計(jì)定義的優(yōu)點(diǎn)：,1.要確定某事件的概率，就必須進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)，這在實(shí)際中難以辦到； 2.即使有條件大量實(shí)驗(yàn)也無(wú)法確切的指出何數(shù)為瀕率的穩(wěn)定值。,返回主目錄,古典概型,概率統(tǒng)計(jì)定義的不足：,20,當(dāng)涉及隨

5、機(jī)變量時(shí)，我們必須首先定義概率空間；也就是說(shuō)，我們需要設(shè)定一個(gè)框架來(lái)對(duì)偶然性和相應(yīng)概率進(jìn)行定義而不用擔(dān)心一致性問(wèn)題。 概率的定義具有一致性，具有兩個(gè)條件： （1） （2）,概率的一致性問(wèn)題,返回主目錄,古典概型,21,在實(shí)際工作中，我們會(huì)經(jīng)?？疾煊袟l件的隨機(jī)事件，即在一些信息已知的情況下，某一隨機(jī)現(xiàn)象的變化。 例如，央行加息后股票價(jià)格或債券價(jià)格的漲落情況、國(guó)家的稅收政策發(fā)生變化后投資回報(bào)將如何變動(dòng)等等，都是典型的條件隨機(jī)現(xiàn)象，這就是我們?cè)诖藬M要考察的條件事件和條件概率問(wèn)題。在后面有關(guān)鞅的定義和討論中，人們會(huì)看到條件概率和條件期望更多的作用。,條件概率,22,在初等概率論中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)，當(dāng)事件

6、B發(fā)生時(shí)事件A的概率為 P(A/B)= P(AB) / P(B), P(B)0 簡(jiǎn)稱(chēng)事件B關(guān)于事件A的條件概率。其中，A/B表示條件事件。 然而，上述公式并不全面，因?yàn)楫?dāng)事件B已知后，B的逆 也成為已知信息，人們自然也會(huì)關(guān)心在已知 情況下事件A的概率，即P(A / )。即使求出P(A / )，也仍存在美中不足的地方，因?yàn)樾畔⒌淖钔陚湫问绞谴鷶?shù)，所以只有在考察了由B與生成的代數(shù)(B )下事件A的概率后，才可能對(duì)B發(fā)生以后事件A發(fā)生的可能性有更深刻、更全面的認(rèn)識(shí)和了解。為此，需定義和計(jì)算P(A/(B )。,23,24,25,設(shè)(, F,P)為概率空間，AF , BF，且P(B)0。利用公式P(A/

7、B)= P(AB) / P(B)可知，PB=P(/B)是由事件B和概率測(cè)度P誘導(dǎo)出來(lái)的、定義在可測(cè)空間(, F)上的概率測(cè)度，于是得到一個(gè)新的概率空間(, F,PB)。對(duì)(, F,PB)上的隨機(jī)變量關(guān)于概率測(cè)度PB求積分。若該積分存在，則稱(chēng)此積分為已知事件B發(fā)生條件下的條件期望，記為E(|B)，即 E(/B)= (w)dPB = P(dw/B),條件期望,26,2.2 概率空間,樣本空間的概念 我們知道：如果某個(gè)實(shí)驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，而且事前不能確定，我們就稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)； （1）隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能結(jié)果稱(chēng)為事件； （2）不可能再分的事件稱(chēng)為基本事件，常用只包含一個(gè)

8、元素的單點(diǎn)集來(lái)表示； （3）由若干基本事件組成的事件稱(chēng)為復(fù)合事件，一般用包含若干個(gè)元素的集合表示。 所有基本事件對(duì)應(yīng)的元素的全體組成的集合稱(chēng)為樣本空間，記作；樣本空間中的每一個(gè)元素稱(chēng)為樣本點(diǎn)。,27,樣本空間是一個(gè)必然事件，其逆事件是一個(gè)空集。 樣本空間可以是一個(gè)離散的集合；如拋一枚硬幣，分別用1和2表示正面和反面的事件，則樣本空間=1, 2是由有限個(gè)離散點(diǎn)組成的集合。 樣本空間也可以是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間或空間。考察2004年我國(guó)大學(xué)生的就業(yè)比率，其基本事件為0, 1區(qū)間中每一個(gè)有理數(shù)組成的集合，于是樣本空間可用區(qū)間0, 1中所有有理數(shù)組成的集合表示，是含有無(wú)限個(gè)樣本點(diǎn)的集合； 考察某三支股票未來(lái)

9、價(jià)格（分別設(shè)為p1，p2，p3）的變化情況，其基本事件為(p1，p2，p3)，其中p10，p20，p30，于是樣本空間=( p1，p2，p3)|0 p1 +，0 p2 +，0 p3 +是一個(gè)含有無(wú)限點(diǎn)的連續(xù)三維空間。,樣本空間的表示,28,為了保證考察問(wèn)題的完備性，避免運(yùn)算、推理過(guò)程出現(xiàn)矛盾，就需要所考察事件的集合的構(gòu)成必須遵循一定規(guī)則，于是引出了代數(shù)的概念。簡(jiǎn)單來(lái)講，代數(shù)就是根據(jù)考察和評(píng)價(jià)的需要從的子集中挑選出的集合（即事件），并由這些集合按照一定規(guī)則構(gòu)成的集合簇，具體定義為： 定義1 設(shè)為樣本空間，F(xiàn)是由的一些子集（或事件）組成的集合簇，若F滿(mǎn)足下列條件： (i) F，即F包含了空間本身；

10、 (ii) 若AF，則A的逆事件F ，即如果事件A（A為的一個(gè)子集）屬于F， 則A的補(bǔ)集也屬于F； (iii)若AiF，i=1, 2, , +，則 AiF，即如果的可列子集屬于F，則這些可列子集的并集也屬于F。 則稱(chēng)F 為一個(gè)代數(shù)。,代數(shù)的概念,29,顯然，代數(shù)不止一個(gè)。對(duì)于一個(gè)給定的樣本空間，其最小的代數(shù)是由空集和構(gòu)成的，而最大的代數(shù)則由的冪集，即的所有子集構(gòu)成。最大的代數(shù)由的2個(gè)子集組成。 令G為任一子集簇，所有包含G的代數(shù)的交是包含G的最小的代數(shù)，稱(chēng)為由G生成的代數(shù)，記為(G)。 由實(shí)數(shù)集R1中的所有子集(a，b組成的集合蔟而生成的代數(shù)是包含所有R1區(qū)間族的最小代數(shù)，稱(chēng)為Borel代數(shù)，

11、記作B(R1)。B(R1)包含了R1所有開(kāi)集和閉集，也可以看作是從R1的區(qū)間開(kāi)始經(jīng)過(guò)一系列所有可能的有限和可列集合的并、交、補(bǔ)等運(yùn)算而獲得的。 對(duì)于一般的n維Eulid空間Rn，可類(lèi)似得到Rn的Borel代數(shù)，記作B(Rn)，只不過(guò)Rn的區(qū)間應(yīng)為(a,b=（x1,x2,xn）| ai xibi,a =(a1,a2,an), b=(b1,b2,bn),i=1,2, .,代數(shù)的概念（續(xù)）,30,F為的代數(shù)表明，F(xiàn)中的元素，即由中元素構(gòu)成的、并屬于F的事件，是可測(cè)的，于是我們將F中的所有元素稱(chēng)為可測(cè)集，將與其可測(cè)集簇代數(shù)F組成的一對(duì)（, F）稱(chēng)為一個(gè)可測(cè)空間。 對(duì)可測(cè)空間（, F），我們需要知道F中的可測(cè)集即事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是需要對(duì)F中的事件進(jìn)行評(píng)價(jià)和測(cè)度。為避免出現(xiàn)矛盾的情況，測(cè)度方式也需要按照一定的規(guī)則進(jìn)行，于是，有 定義2 對(duì)可測(cè)空間（, F），在F上定義一個(gè)函數(shù)：F R1稱(chēng)為一個(gè)測(cè)度，若滿(mǎn)足： ()=0； AF，0(A) +； (iii) AiF，i=1, 2, , +，且Ai Aj=（ ），則( Ai)= (Ai)。,可測(cè)空間的概念與表示,31,對(duì)隨機(jī)事件的測(cè)度，人們普遍習(xí)慣于用概率測(cè)度，記為P。概率測(cè)度P滿(mǎn)足P()=1，P()=0，并對(duì)于AF，皆有0 P(A) 1。 于是，樣本空間、的需要測(cè)度的代數(shù)F與定義在F上的測(cè)度方式、即概率測(cè)度P