1、第十二章 全等三角形,12.3 角的平分線的性質(zhì),會用尺規(guī)作圖畫定角的角平分線，并能用全等三角形的判定解釋其原理。 掌握角平分線的性質(zhì)，會運用性質(zhì)解決相關問題，并能證明這一命題。 掌握角平分線的判定定理，理解角平分線的判定定理和性質(zhì)定理的關系。,現(xiàn)在有一張用紙做的角，怎樣不利用其他工具把它平分？ 對折之后的折痕和這個角有什么關系？ 如果是木板不能對折，該怎么平分？,動腦想一想,如圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，則AC所在直線就是這個角的平分線。 你能說明這是為什么嗎？,動腦想一想,證明： 在ADC和ABC 中 AB=AD（已知）

2、 AC=AC（公共邊相等） DC=BC（已知） ADCABC (SSS) DAC=BAC（對應角相等） 即 AE平分BAD,動腦想一想,通過剛才的啟發(fā)，你能想到怎樣畫出下面的角的平分線嗎？,動腦想一想,B,A,O,僅用尺規(guī)作圖，已知AOB，求作AOB的平分線,尺規(guī)法畫角平分線,B,A,O,以點O為圓心，任意適當長度為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N,M,N,尺規(guī)法畫角平分線,B,A,O,分別以點M，N為圓心，大于MN的長度為半徑畫弧，兩弧在AOB的內(nèi)部交于點C,M,N,C,尺規(guī)法畫角平分線,B,A,O,畫射線OC，即為AOB的角平分線,M,N,C,思考和交流,在你剛才畫好的角平分線OC上任

3、意取一點P，過點P畫出OA和OB的垂線段，分別記垂足為D，E。PD和PE的長度有什么關系？ 在OC上再取幾個點試一下，并和你的伙伴交流結(jié)論，你們發(fā)現(xiàn)角平分線有什么性質(zhì)？,思考和交流,經(jīng)過測量，PD=PE總成立。 經(jīng)過討論，我們猜想： 角分線上的點到角兩邊的距離相等。,你能用全等三角形證明嗎？,怎樣證明幾何命題？,證明幾何命題，先明確已知和求證。 已知：一個點在一個角的平分線上。 求證：這個點到這個角兩邊的距離相等。 為了更直觀、清楚地表達題意，我們通常在證明前要畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證。 由已知分析出證明途徑，寫出證明過程。,給出圖形和數(shù)學語言,如圖，已知AOC=BOC，點P在OC

4、上，且PDOA，PEOB，垂足分別為D，E。 求證：PD=PE。,證明過程,角的平分線的性質(zhì),角分線上的點到角兩邊的距離相等,OC平分AOB，PDOA，PEOB PD=PE,動腦想一想,如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)中心，使它到鐵路、公路的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉處500m，這個集貿(mào)中心應建在哪里？,角分線上的點到角兩邊的距離相等。 到角的兩邊的距離相等的點是否也在角的平分線上呢？,動腦想一想,畫出幾何圖形，寫出已知和求證，證明這個猜想。,給出圖形和數(shù)學語言,如圖，P是AOB上的一點，PDOA于D，PEOB于E，且PD=PE。 求證：OP是AOB的平分線。,證明過程,角的平分線的判定,角的內(nèi)

5、部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上,P是AOB內(nèi)的一點，PDOA，PEOB，且PD=PE OP是AOB的平分線,我們之間就學習了三角形的角分線，之前談到過，三條角分線一定交于一點，不過當時我們沒有給出證明，而只是通過畫圖的方法給出了印證。 現(xiàn)在我們學習了角分線的性質(zhì)和判定定理，怎樣證明這個結(jié)論呢？我們先看下面的例題。,動腦想一想,如圖，ABC的平分線BM，CN相交于點P。 求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等。,動腦想一想,證明： 過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn)。 BM是ABC的角平分線， 點P在BM上 PD=PE，同理PE=PF PD=PE

6、=PF 即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等,動腦想一想,根據(jù)PF=PD，且PDAB，PFAC的事實，你現(xiàn)在能得到什么結(jié)論？ 點P也在A的平分線上，也就是說，點A是三角形三條角平分線的交點。,動腦想一想,角分線的判定和性質(zhì),點在角平分線上,點到角兩邊的距離相等,判定,性質(zhì),學完本節(jié)課你應該知道,角的平分線,尺規(guī)畫角的平分線,性質(zhì)和判定,點在角平分線上,點到角兩邊的距離相等,判定,性質(zhì),會證明,動筆練一練,如圖，OP平分AOB，PAOA于A，PB垂直于OB于B，下列結(jié)論一定成立的是（ ） PA=PB PO平分APB OA=OB 以上都一定成立,D,動筆練一練,如圖，在CD上求一點P，使它到邊OA，OB的距離相等，則點P是（ ） 線段CD的中點 CD與過點O做CD垂線的交點 CD與AOB的平分線交點 CD上任意一點,C,動筆練一練,如圖，ADOB于D，BCOA于C，AD與BC相交于點P，若PA=PB，則1和2的大小關系是（ ） 1=2 12 12 無法確定,A,動筆練一練,如圖，ABC中，C=90，AD是ABC的角平分線，DEAB于E，F(xiàn)在AC上BD=DF。 求證：CF=EB。,動筆練一練,證明： AD平分CAB 且DEAB，