1、4.2.2復(fù)數(shù)的減法運算及幾何意義教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)知識點1.理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的減法運算法則，共軛復(fù)數(shù)的減法運算的性質(zhì)，復(fù)數(shù)減法的幾何意義.2.掌握復(fù)數(shù)的減法與模的不等式z1-z2z1-z2z1+z2.二、能力訓(xùn)練要求1.能用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的減法運算法則進(jìn)行有關(guān)運算，并能利用減法的運算法則的幾何意義解決一些實際問題.2.會用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)z1-z2z1-z2z1+z2求模的最大值和最小值.三、德育滲透目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.2.培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點（實與虛、分與合、動與靜）.3.培養(yǎng)學(xué)生的探索和創(chuàng)新精神，養(yǎng)成善于思

2、考的良好習(xí)慣.教學(xué)重點復(fù)數(shù)的減法運算法則和減法的幾何意義是本節(jié)課的教學(xué)重點，特別是它的幾何意義及運用.教學(xué)難點復(fù)數(shù)的減法運算的幾何意義的理解和應(yīng)用是教學(xué)難點.教學(xué)方法建構(gòu)主義觀點在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的實踐的教學(xué)方法.在學(xué)生初步掌握復(fù)數(shù)的加法運算法則和幾何意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練和變式訓(xùn)練，通過平面向量的減法運算類比復(fù)數(shù)的減法運算，使學(xué)生逐步建構(gòu)減法運算法則和幾何意義，這樣就突破了教學(xué)難點.教具準(zhǔn)備實物投影儀、幻燈機、幻燈片等.教學(xué)過程.課題導(dǎo)入師上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)加法運算法則及幾何意義，今天我們研究的課題是復(fù)數(shù)減法運算法則及幾何意義.(板書課題：復(fù)數(shù)減法運算及幾何意義).講授新課（一）

3、概念建構(gòu)師首先規(guī)定，復(fù)數(shù)減法是加法逆運算，那么復(fù)數(shù)減法法則為(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. (板書)1.復(fù)數(shù)減法法則（1）規(guī)定：復(fù)數(shù)減法是加法逆運算；（2）法則：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i(a、b、c、dR).如何推導(dǎo)這個法則呢？生把（a+bi）-(c+di)看成(a+bi)+(-1)(c+di).(學(xué)生口述，教師板書)(a+bi)-(c+di)=(a+bi)+(-1)(c+di)=(a+bi)+(-c-di)=(a-c)+(b-d)i.師說一下這樣推導(dǎo)的想法和依據(jù)是什么？生把減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算，利用乘法分配律和復(fù)數(shù)加法法則.師轉(zhuǎn)化的想法很

4、好.但復(fù)數(shù)和乘法分配律在這里作為依據(jù)不合適，因為復(fù)數(shù)乘法還沒有學(xué)，邏輯上出現(xiàn)一些問題.生我覺得可以利用復(fù)數(shù)減法是加法逆運算的規(guī)定來推導(dǎo).(學(xué)生口述，教師板書)推導(dǎo)：設(shè)(a+bi)-(c+di)=x+yi(x、yR),即復(fù)數(shù)x+yi為復(fù)數(shù)a+bi減去復(fù)數(shù)c+di的差.由規(guī)定，得(x+yi)+(c+di)=a+bi，依據(jù)加法法則，得(x+c)+(y+d)i=a+bi,依據(jù)復(fù)數(shù)相等定義，得即故(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.師這樣推導(dǎo)每一步都有合理依據(jù).我們得到了復(fù)數(shù)減法法則，那么兩個復(fù)數(shù)的差是什么數(shù)？生仍是復(fù)數(shù).師兩個復(fù)數(shù)相減所得差的結(jié)果會不會是不同的復(fù)數(shù)？生不會.師這說明什

5、么?生兩個復(fù)數(shù)的差是唯一確定的復(fù)數(shù).師復(fù)數(shù)的加（減）法與多項式加（減）法是類似的.就是把復(fù)數(shù)的實部與實部，虛部與虛部分別相加（減），即(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.師我們有了做復(fù)數(shù)減法的依據(jù)復(fù)數(shù)減法法則，那么復(fù)數(shù)減法的幾何意義是什么？圖4-8（板書：2.復(fù)數(shù)減法的幾何意義）生用向量表示兩個做減法的復(fù)數(shù).(學(xué)生口述，教師板書)設(shè)z=a+bi(a、bR),z1=c+di(c、dR),對應(yīng)向量分別為、，如圖4-8所示.師怎樣用向量表示z-z1的差.(學(xué)生困惑，教師啟發(fā))師還記得剛才推導(dǎo)復(fù)數(shù)減法法則時我們是如何轉(zhuǎn)化的嗎？（學(xué)生活躍起來，議論紛紛）圖4-9生由于復(fù)數(shù)減法是加法的逆運算，

6、設(shè)z=(a-c)+(b-d)i,所以z-z1=z2,z2+z1=z,由復(fù)數(shù)加法的幾何意義，以為一條對角線，為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊OZ2所表示的向量就與復(fù)數(shù)z-z1的差(a-c)+(b-d)i對應(yīng),如圖4-9.師很好.在這個平行四邊形中與z-z1差對應(yīng)的向量只有向量嗎？生還有.師為什么？生因為OZ2Z1Z所以向量也與z-z1的差對應(yīng).師向量起點、終點分別是什么？生向量是以Z1為起點，Z為終點的向量.師點Z1、Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是什么？生點Z1對應(yīng)的復(fù)數(shù)是減數(shù)z1,Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)是被減數(shù)z.師誰能概括一下復(fù)數(shù)減法的幾何意義？（學(xué)生議論片刻）生兩個復(fù)數(shù)的差z-z1與連接這兩個向

7、量終點并指向被減數(shù)的向量對應(yīng).(教師板書此段話并配圖示)師你能聯(lián)想到什么？（學(xué)生討論）生這與高一時我們學(xué)習(xí)的平面向量是完全一致的，由圖形（平行四邊形）可知，2+2=2(2+2）,即有z1+z22+z1-z22=2(z12+z22).師你們能用代數(shù)方法證明嗎？生（板演）設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR)，z1+z22+z1-z22=(a+c)+(b+d)i2+(a-c)+(b-d)i2=(a+c)2+(b+d)2+(a-c)2+(b-d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2+a2-2ac+c2+b2-2bd+d2=2(a2+b2+c2+d2)=2(z12+z22).(二)

8、例題分析（課本例題及習(xí)題）例1設(shè)z1=-2+5i,z2=3+2i,分別用代數(shù)及幾何方法計算z1-.(學(xué)生口述，教師板書)圖4-10解：z1-=(-2+5i)-()=(-2+5i)-(3-2i)=(-2-3)+5-(-2)i=-5+7i.生在直角坐標(biāo)系中點Z1(-2,5)，連結(jié)OZ1，向量與復(fù)數(shù)z1對應(yīng)，標(biāo)點Z2（3，2），Z2關(guān)于x軸對稱點Z2(3,-2),向量與復(fù)數(shù)z2對應(yīng)，連結(jié)Z1，向量與z1-的差對應(yīng).師根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義，連接復(fù)數(shù)z1、對應(yīng)向量終點Z1、，但一定要注意箭頭指向被減數(shù)對應(yīng)點Z1，否則，方向不同將表示不同的向量，對應(yīng)復(fù)數(shù)也就不同.向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)與其終點對應(yīng)復(fù)數(shù)是不是同一

9、個復(fù)數(shù)呢？圖4-11生不是，向量對應(yīng)復(fù)數(shù)是z1- =-5+7i，而向量1的終點Z1對應(yīng)復(fù)數(shù)是z1=-2+5i. 師哪個向量終點與復(fù)數(shù)z1-對應(yīng)呢？生過O點作oz3Z1，向量的終點Z3對應(yīng)向量為z1-=-5+7i.師通過這道題我們知道向量與向量是相等向量，對應(yīng)同一個復(fù)數(shù)，但向量在復(fù)數(shù)減法的幾何運算中作圖比較方便，而向量終點Z3直接與復(fù)數(shù)z1-對應(yīng). 例2根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及向量表示，求復(fù)平面內(nèi)兩點間的距離公式.(學(xué)生思考片刻口述，教師板書)解：設(shè)復(fù)平面內(nèi)的任意兩點Z1、Z2分別表示復(fù)數(shù)z1、z2,那么就是復(fù)數(shù)z2-z1對應(yīng)的向量.點Z1、Z2之間的距離就是向的模，即復(fù)數(shù)z2-z1的模.如果用d表

10、示點Z1、Z2之間的距離，那么d=z2-z1.師很好，這就是復(fù)平面內(nèi)兩點的距離公式.這個公式與我們學(xué)過的兩點間距離公式是否一致？生我認(rèn)為一致.設(shè)z1=x1+y1i,z2=x2+y2i，則z2-z1=(x2+y2i)-(x1+y1i)=(x2-x1)+(y2-y1)i=.師這就是說關(guān)于距離問題可以用復(fù)數(shù)表示.例3在復(fù)平面內(nèi)，滿足下列復(fù)數(shù)形式方程的動點Z的軌跡是什么.(1)z-1-i=z+2+i;師我們應(yīng)該如何認(rèn)識這個方程？（學(xué)生困惑，教師引導(dǎo)）師我們先看方程左式、右式分別表示什么？生方程左式可以看成z-(1+i)，是復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)1+i差的模.師有什么幾何意義嗎？生是動點Z與定點（1，1）間的距離

11、.(學(xué)生活躍起來，紛紛舉手回答)生方程右式也可以寫成z-(-2-i),是復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)-2-i差的模，也就是動點Z與定點（-2,-1）間距離.這個方程表示的是到兩點(1,1),(-2,-1)距離相等的點的軌跡方程，這個動點軌跡是以點（1，1），（-2，-1）為端點的線段的垂直平分線.(2)z+i+z-i=4;(學(xué)生議論后，舉手回答)生方程可以寫成z-(-i)+z-i=4,表示的是到兩個定點(0,-1)和(0,1)距離和等于4的動點的軌跡.師這個動點的軌跡是什么曲線呢？（學(xué)生稍有遲疑，有些同學(xué)小聲議論）生是橢圓吧.師似乎回答的不夠肯定，不妨回憶一下橢圓的定義.(學(xué)生在教師的提示下一起回答)生在平面

12、內(nèi)，與兩個定點F1、F2距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓. 師滿足這個方程的動點的軌跡是不是橢圓呢？生是.因為點Z到兩個定點的距離和是常數(shù)4，并且大于兩點（0，-1）、（0，1）間的距離2，所以滿足方程的動點的軌跡是橢圓.(3)z+2-z-2=1.(學(xué)生議論后，舉手回答)生這個方程可以寫成z-(-2)-z-2=1,所以表示到兩個定點(-2,0)、(2,0)距離差等于1的點的軌跡，這個軌跡是雙曲線.師說的再準(zhǔn)確些.生是雙曲線右支.師很好.由z1-z2的幾何意義，將z1-z2取模得到復(fù)平面內(nèi)兩點間距離公式d=z1-z2,由此得到線段垂直平分線、橢圓、雙曲線等復(fù)數(shù)方程.使有些曲線方

13、程形式變得更為簡潔，且反映曲線的本質(zhì)特征.圖4-12例4設(shè)動點Z與復(fù)數(shù)z=x+yi對應(yīng)，定點P與復(fù)數(shù)P=a+bi對應(yīng).求：（1）復(fù)平面內(nèi)圓的方程；（學(xué)生口述，教師板書）解：設(shè)定點P為圓心，r為半徑，由圓的定義，得復(fù)平面內(nèi)圓的方程z-P=r.師這個圓的方程與我們以前所學(xué)實數(shù)表示的圓的方程是否一致？生一致.由于z-P=(x+yi)-(a+bi)=(x-a)+(y-b)i=.又z-P=r,則(x-a)2+(y-b)2=r2.師如果P在原點，復(fù)平面內(nèi)圓的方程是什么？生z=r.(2)復(fù)平面內(nèi)滿足不等式z-Pr(r0)的點Z的集合是什么圖形？（學(xué)生口述，教師板書）解：復(fù)平面內(nèi)滿足不等式z-Pr(r0)的點

14、的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）.師利用復(fù)平面內(nèi)兩點間距離公式，可以用復(fù)數(shù)解決解析幾何中某些曲線方程、不等式等問題.例5集合M=zz-11,zC,N=zz-1-i=z-2,zC,集合P=MN.(1)指出集合P在復(fù)平面上所對應(yīng)點集表示的圖形；(2)求P中復(fù)數(shù)模的最大和最小值.圖4-13生解：（1）由z-11，可知集合M在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點集是以點E（1，0）為圓心，1為半徑的圓的內(nèi)部和邊界；由z-1-i=z-2，可知集合N是以點（1，1）和(2,0)為端點的線段的垂直平分線l，因此集合P是圓E截直線l所得的一條線段AB，如圖4-13所示.(2)圓的方程為x2+y2-2x=0,

15、直線l的方程為y=x-1.解方程組,得,.OA=,OB=.點O到直線l的距離為,且過O向l引垂線垂足在線段BE上，.故集合P中復(fù)數(shù)模最大值為,最小值為.解題回顧：（1）本題N中的兩個定點可以不在圓上.(2)過O向l作垂線，若垂足在線段BE之外，此時，OB為最小值.課堂練習(xí)(一)課本152練習(xí)2(二)補充練習(xí)在復(fù)平面上復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的點分別為A、B,|z1-z2|=|z1+z2|,線段AB的中點M對應(yīng)的復(fù)數(shù)是3+4i,求|z1|2+|z2|2的值.解:設(shè)z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1、y1、x2、y2R),由M是AB中點得x1+x2=b,且y1+y2=8.|z1-z2|=|z1

16、+z2|,(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1+x2)2+(y1+y2)2.x1x2+y1y2=0.|z1|2+|z2|2=x12+x22+y12+y22=(x1+x2)2+(y1+y2)2=36+64=100.課時小結(jié)師本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的減法法則及幾何意義，你總結(jié)一下具體內(nèi)容.圖4-14生1.如果復(fù)數(shù)z1、z2分別對應(yīng)于向量、,那么，向量就是z1-z2的差所對應(yīng)的向量.2.若復(fù)數(shù)z1、z2在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為Z1、Z2,則=z1-z2.3.由復(fù)數(shù)的幾何意義，我們可以將一些常見軌跡表述成復(fù)數(shù)形式：（1）以復(fù)數(shù)P對應(yīng)的點為圓心，r為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程是z-P=r;(2)設(shè)Z1、Z2是復(fù)平面內(nèi)的兩點，則線段Z1Z2的垂直平分線的方程是z-z1=z-z2;(3)以復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的兩點F1、F2為焦點，長軸長為2a(2az1-z2)的橢圓方程是z-z1+z-z2=2a；(4)以復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的兩點F1、F2為焦點，實軸長為2a(2az1-z2)的雙曲線方程是z-z1-z-z2=2a.4.復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：z1-z2z1