1、AHP model and its application,第3篇 層次分析法模型及應用,第11章 層次分析法的基本 原理和步驟 第12章 模糊層次分析方法,2020年8月23日星期日4時18分11秒,12-1 模糊互補判斷 矩陣排序方法,1.1、基本概念,12-2 層次分析法建模案例：教學質量的評價,前言,第12章 模糊層次分析方法,1.2、幾個定理,2.1、問題重述,2.2、問題分析,2.3、模型假設,2.4、符號說明,2.5、模型建立與求解,2.6、模型優(yōu)化與評價,2020年8月23日星期日4時18分11秒,前言,AHP方法作為一種定性與定量結合的決策工具，近十年來得到迅速的發(fā)展。但由于

2、在進行檢驗比較判斷矩陣是否具有一致性時計算上的困難性，修改比較判斷矩陣時的復雜性以及如何更有效解決比較判斷矩陣的一致性與人類思維的一致性有顯著差異等問題，人們將模糊數(shù)學思想和方法引入了層次分析法。1983年荷蘭學者Van Loargoven提出了用三角模糊數(shù)表示Fuzzy比較判斷的方法，之后許多學者紛紛加入Fuzzy AHP的研究工作。由于判斷的不確定性及模糊性，人們在構造比較判斷矩陣時，所給出的判斷值常常不是確定的數(shù)值點，而是以區(qū)間數(shù)或模糊數(shù)形式給出。常見的不確定型判斷矩陣有：區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣、區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣、區(qū)間數(shù)混合判斷矩陣、三角模糊數(shù)互補判斷矩陣、三角模糊數(shù)互反判斷矩陣、三角模糊

3、數(shù)混合判斷矩陣、模糊互補判斷矩陣等。這里我們只介紹模糊互補判斷矩陣一種排序方法。,2020年8月23日星期日4時18分11秒,1.1 基本概念,定義12.1 設判斷矩陣A=(aij)nn , i,j=1,2,n,對任意的i,j均有0aij1, aij+aji=1, 則稱A為模糊互補判斷矩陣。對于模糊互補判斷矩陣A=(aij)nn, 若k(0kn) , 有aij= aik-ajk+0.5,則稱A為模糊一致性判斷矩陣。,定義12.2 設有s個判斷矩陣Ak=(a(k)ij)nn ,k=1,2,s,令,12-1 模糊互補判斷矩陣排序方法,2020年8月23日星期日4時18分11秒,故模糊一致性判斷矩陣

4、的合成矩陣仍然是模糊一致性判斷矩陣。,給出模糊標度如表3-2-1所示。,12-1 模糊互補判斷矩陣排序方法,2020年8月23日星期日4時18分11秒,表12-1 模糊標度及其含義表,12-1 模糊互補判斷矩陣排序方法,2020年8月23日星期日4時18分11秒,可以看出，按上述標度構成的判斷矩陣A=(aij)nn具有以下性質：,因此判斷矩陣稱為模糊互補判斷矩陣。,12-1 模糊互補判斷矩陣排序方法,2020年8月23日星期日4時18分11秒,1.2 幾個定理,定理12.1 設W=(w1,w2,wn)T為模糊互補判斷矩陣A=(aij)nn 的排序向量,若 aij= wi-wj+0.5 則A為模

5、糊一致性判斷矩陣。,證明,由于 aij= wi-wj+0.5， aik= wi-wk+0.5， ajk= wj-wk+0.5，,于是aik-ajk+0.5=wi-wk+0.5-(wj-wk+0.5) +0.5=wi-wj+0.5= aij,由定義12.1知， A=(aij)nn為模糊一致性判斷矩陣。,當A不是模糊一致性判斷矩陣時，則aij= wi-wj+0.5不成立，為此有,12-1 模糊互補判斷矩陣排序方法,2020年8月23日星期日4時18分11秒,定理12.2 設 A=(aij)nn 是一個模糊互補判斷矩陣, W=(w1,w2,wn)T是A的排序向量, 則W 滿足：,證明,作拉格朗日函數(shù)

6、,12-1 模糊互補判斷矩陣排序方法,2020年8月23日星期日4時18分11秒,則有,由模糊互補判斷矩陣的性質,推得,從而,推得,12-1 模糊互補判斷矩陣排序方法,2020年8月23日星期日4時18分11秒,注:由這種方法導出的排序向量的方法稱為最小 方差法(LVM); 我們可以直接由模糊互補判斷矩陣利用排序 公式求出排序向量；,此時應將問題反饋給專家重新判定。,12-1 模糊互補判斷矩陣排序方法,2020年8月23日星期日4時18分11秒,解：由公式,可直接求出排序向量,其MATLAB程序為： A=0.5 0.3 0.6 0.7;0.7 0.5 0.7 0.5;0.4 0.3 0.5 0

7、.4;0.3 0.5 0.6 0.5 b=ones(4,1) w=1/4*(A*b+b-2*b),例1,輸出結果為：w = 0.2750 0.3500 0.1500 0.225,12-1 模糊互補判斷矩陣排序方法,2020年8月23日星期日4時18分11秒,將上述結論推廣到群組決策中,可以有類似的定理,12-1 模糊互補判斷矩陣排序方法,2020年8月23日星期日4時18分11秒,Fuzzy AHP方法的優(yōu)點 AHP方法是一種定性與定量結合的有效決策工具。但在實際操作中經(jīng)常會受到比較判斷矩陣不滿足一致性的困擾，有時修改多次，仍不夠理想。尤其是在群組決策時，操作起來困難很大。Fuzzy AHP方

8、法的給出，使得在進行層次分析方法的操作中，不必再顧及比較判斷矩陣是否滿足一致性了，只需要判定,是否出現(xiàn)，若出現(xiàn)了，說明所給的模糊判斷矩陣不滿足一致性，進行調整，否則可以直接求出權重向量,12-1 模糊互補判斷矩陣排序方法,2020年8月23日星期日4時18分11秒,2013年天津科技大學數(shù)學建模競賽A題: 教學質量的評價。 隨著我國高等教育的改革與發(fā)展，各個高校都把促進學生學習、提高教師的教學質量作為自己的目標。在實現(xiàn)這一目標的過程中，各個高校也都提出了各自的教學質量評價辦法，諸如學生評教、同行評教等。這些評價辦法在促進教學管理和教學水平提高的同時，由于沒有考慮到不同學院、不同班級和不同課程之

9、間的差異，本身也就存在一些問題和不足。因此，如何更為合理的評價教師的教學質量就成了一個亟待解決的問題。 現(xiàn)有某高校多個學年的學生考試成績（以附件給出），數(shù)據(jù)涉及多個學院、多個班級、多門課程和多位教師。,12-2 層次分析法建模案例：教學質量的評價,2020年8月23日星期日4時18分11秒,試根據(jù)附件中數(shù)據(jù)，通過數(shù)學建模的方法，完成以下問題： 1針對同一學年的同一門課程，分析不同學院、不同班級和不同教師之間的差異。 2針對同一學年的成績數(shù)據(jù)，分析不同學院、不同班級和不同課程之間是否具有可比性。 3建立合適的數(shù)學模型，對教師的教學質量做出合理的評價。,下面是參賽的優(yōu)秀論文部分節(jié)選。,12-2 層

10、次分析法建模案例：教學質量的評價,2020年8月23日星期日4時18分11秒,教學質量的評價,摘要：本文是研究關于高等學校學生評價教師的評價系統(tǒng)問題，用層次分析法確定了十項指標的權值，并給出了一個新的評教分數(shù)的計分模型模糊綜合評價模型。 本文亮點在于采用基于層次分析法的模糊數(shù)學模型。 首先，建立層次分析模型，充分考慮每個指標對綜合評價的貢獻，并把貢獻按權值進行分配；通過層次分析法中的歸一化處理，得到兩兩指標間的相對重要性的定量描述，從而解決不同指標間的差異。 其次建立模糊綜合評教模型，輸入一組專家（同學）的模糊評價，通過最大隸屬度原則把模糊評價輸出為綜合評價。 最后本文在難易程度不同的課程下（

11、在專業(yè)必修課，專業(yè)選修課，公共選修課下進行評價），得出對同一教師的綜合評價，發(fā)現(xiàn)其在不同課程下的綜合評價均不同。于是得出結論，該模型的確能解決不同課程難易程度帶來的對總體評教的影響。因為一個教師的綜合教學質量并不應該在不同的課程下得到變化較大的評教。因此本文建立的模型能夠有效地解決不同課程難易程度帶來的差異。 關鍵詞：層次分析法，歸一化，模糊綜合評價模型，實例分析,12-2 層次分析法建模案例：教學質量的評價,2020年8月23日星期日4時18分11秒,一、問題重述 隨著我國高等教育改革的深入發(fā)展，教育質量越來越受到人們的重視，“學生評教”作為一個重要的教學管理手段，也逐步被采用，并且取得了一

12、定的效果。學生評教是學生結合自己的感受對教師課堂教學效果進行客觀評價，其目的是凸顯學生在高校教學中的地位，也是學生行使自己的權利，維護個人利益的途徑之一；同時讓教師能及時了解自己教學的優(yōu)點、弱點及不足，進行自我完善，是不斷改進教學方法、提高教學質量的動力來源。 目前絕大多數(shù)高校都采用了網(wǎng)絡評教系統(tǒng)，其具體評教方法是學生對其任課教師按每個固定指標評分，分值為110分。不區(qū)分具體課程，將該教師的所有學生在每項內容上的評分做簡單的算術平均即得到單項分值，將十個單項分值直接求和即得到最終的評教總評分。但是此計分方式都或多或少存在以下問題： 1不同指標的差異帶來的評價不實。 2不同課程的難易程度帶來的評

13、價不公。 根據(jù)背景資料，建立數(shù)學模型并研究以下問題： 設計一種更加合理的評教分數(shù)的計算方法，能夠有效改變指標間的差異和課程帶來的差異對總評分數(shù)的影響。,12-2 層次分析法建模案例：教學質量的評價,2020年8月23日星期日4時18分11秒,二、問題分析 問題要求我們建立新的評教分數(shù)的計分方法來解決不同指標的差異以及不同課程難易程度對總體評教的影響。 1.原模型的缺陷 題目所給的評教模型之所以會出現(xiàn)弊端一，是因為其模型是基于其計分方式是對10個指標進行平均所得的平均值作為評價的量化指標，并默認這10個指標對總體分數(shù)的貢獻是一樣的，即權重都是0.1。這種模型并沒有考慮到指標間的差異使得有些指標的

14、加權均值并不能反映實際狀況，比如對指標E（教學方法得當，能夠激發(fā)學生的學習興趣；）、I（關愛學生、師生關系融洽）此類受主觀感受影響較大的指標，加權平均的思想并不是一種合理的定量方式。并且在現(xiàn)實中，不同專業(yè)背景的同學對10個指標的重視程度不一樣，也就是10個指標的權重是不一樣的。 同理，弊端二產(chǎn)生的原因也是因為其原來的計分方式帶來的，因為不同的課堂難易程度不同，如果只是簡單地以1-10為等級打分，然后求其平均值，必然會使得同學在評價較難的課程時普遍打低分，使得其總體平均分也較低；而對較易的課程普遍打高分，使得總體平均分也比較高；會使一個本來很優(yōu)秀的老師在較難的課程中得到一個較差的綜合評價。這樣的

15、計分方式使得不同難易程度課程的評價結果不實，導致評教不公平。,12-2 層次分析法建模案例：教學質量的評價,2020年8月23日星期日4時18分11秒,2.問題解決思路 對于教師的評價不應該絕對化，不應該用孤立的標準去量化計算，而應該用一定的對比和參照，否則單純的一個數(shù)值結果很難為評估其教學質量提供直接的幫助。鑒于此，本文擯棄原來的計算分數(shù)的方法，嘗試建立一個新的量化評教模型基于層次分析法的模糊綜合評價模型。 為了解決不同指標間的差異，本文嘗試建立層次分析模型，用層次分析法把每個指標進行分類，然后兩兩比較求出指標間的相對關系。 建立的模糊綜合評價模型，利用了隸屬度函數(shù)量化十個指標的模糊關系，使

16、得對十個指標的評價能做出定量化表達，從而解決不同指標間的差異對總體評教的影響。 對于弊端二，在模糊綜合評教模型的基礎上建立層次分析法，對指標進行分類，然后在不同課程下確定不同的正互反矩陣從而確定各大類的權重，通過歸一化處理，從而解決弊端二不同課程難易程度帶來的對總體評教的影響。,12-2 層次分析法建模案例：教學質量的評價,2020年8月23日星期日4時18分11秒,三、模型假設 1.所有學生對教師的評價過程不帶任何感情色彩，均能做出實際客觀的判斷； 2.每個學生的評價能力沒有差異； 3.學生均來自同一個專業(yè)背景； 4.假設不存在不參加測評的學生，所有學生均參加測評，且填完所有的項目。,四、符

17、號說明,12-2 層次分析法建模案例：教學質量的評價,2020年8月23日星期日4時18分11秒,五、模型的建立和求解 1.通過層次分析結構模型建立評教綜合體系指標 (1)建立評教系統(tǒng)的遞階層次結構 首先對10個指標進行分層，將決策問題分為3個層次：目標層O，準則層C，方案層P：每層有若干元素。如圖3-2-1所示。,12-2 層次分析法建模案例：教學質量的評價,2020年8月23日星期日4時18分11秒,教學內容X4,教學態(tài)度X1,學生評教,教學方式 X2,教學效果X3,能夠按課表規(guī)定時間上下課,不遲到不早退(A),有課后答疑學生有問必答(H),關愛學生師生關系融洽(I),能夠根據(jù)教學要求合理

18、布置作業(yè),并能認真批改(G),教學方法得當,能夠激發(fā)學生的學習興趣(E),能有效把我教學秩序，課堂氣氛活躍(F),課堂教學使用普通話，表達清晰，不照本宣科(C),課件制作或板書認真(D),我對教師的總體評價(J),教學內容準確易接受理解(B),圖12-1 評教系統(tǒng)的遞階層次結構,目標層,準則層,方案層,12-2 層次分析法建模案例：教學質量的評價,2020年8月23日星期日4時18分11秒,（2）構造比較判斷矩陣,首先分析準則層對目標層的影響，本文把10個指標分成4類，所以設有n個因素（X1,X2,X3,X4）(分別構成教學態(tài)度、教學方式、教學效果、教學內容)，用aij表示Xi和Xj對上層目標的影響比。,表12-2 相對重要程度aij取值情況,12-2 層次分析法建模案例：教學質量的評價,2020年8月23日星期日4時18分11秒,首先我們考慮專業(yè)必修課上，經(jīng)過我們對專家(全體同學)對比教學態(tài)度、教學方式、教學效果、教學內容的咨詢，可近似得到以下系數(shù)：,從而得到正互反矩陣,12-2 層次分析法建模案例：教學質量的評價,2020年8月23日星期日4時18分11秒,（3）層次單排序及其一致性檢驗,利用Matlab求矩陣A的最大特征值得:,對正互反矩陣進行一致性檢驗，采用T.L.Saaty一致性指標,根據(jù)Saaty的隨機一致性指標，得RI=0.90 一致性比例,經(jīng)過Matla