1、第六章 離散系統(tǒng)z域分析,6.1 z 變換 一、從拉普拉斯變換到z變換 二、收斂域 6.2 z 變換的性質(zhì) 6.3 逆z變換 6.4 z 域分析 一、差分方程的變換解 二、系統(tǒng)的z域框圖 三、s域與z域的關(guān)系 四、系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 五、借助DTFT求離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng),點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié),第六章 離散系統(tǒng)z域分析,在連續(xù)系統(tǒng)中，為了避開解微分方程的困難，可以通過拉氏變換把微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。出于同樣的動(dòng)機(jī)，也可以通過一種稱為z變換的數(shù)學(xué)工具，把差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。,6.1 z變換,一、從拉普拉斯到z變換,對連續(xù)信號(hào)進(jìn)行均勻沖激取樣后，就得到離散信號(hào)。,取樣信號(hào),兩邊取雙邊拉普拉斯變

2、換，得,第六章 離散系統(tǒng)z域分析,令z = esT，上式將成為復(fù)變量z的函數(shù)，用F(z)表示；f(kT) f(k) ，得,稱為序列f(k)的雙邊z變換,稱為序列f(k)的單邊z變換,若f(k)為因果序列，則單邊、雙邊z 變換相等，否則不等。今后在不致混淆的情況下，統(tǒng)稱它們?yōu)閦變換。,F(z) = Zf(k) , f(k)= Z-1F(z) ；f(k)F(z),6.1 z變換,6.1 z變換,二、收斂域,z變換定義為一無窮冪級(jí)數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級(jí)數(shù)收斂，即,時(shí)，其z變換才存在。上式稱為絕對可和條件，它是序列f(k)的z變換存在的充分條件。,收斂域的定義：,對于序列f(k)，滿足,所有z值組成

3、的集合稱為z變換F(z)的收斂域。,（1）整個(gè)z平面收斂；,6.1 z變換,6.1 z變換,例1 求以下有限序列的z變換 (1) f1(k)=(k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1,解(1),可見，其單邊、雙邊z變換相等。與z 無關(guān)，所以其收斂域?yàn)檎麄€(gè)z 平面。,(2),f(k)的雙邊z 變換為,F(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2,收斂域?yàn)?z ,f(k)的單邊z 變換為,收斂域?yàn)閦 0,對有限序列的z變換的收斂域一般為0z，有時(shí)它在0或/和也收斂。,（2）部分z平面收斂；,6.1 z變換,例2 求因果序列,的z變換（式中a為常數(shù)）。,解

4、：代入定義,可見，僅當(dāng)az-1a =時(shí)，其z變換存在。,收斂域?yàn)閨z|a|,6.1 z變換,例3 求反因果序列,的z變換。,解:,可見，b-1z1,即zb時(shí)，其z變換存在，,收斂域?yàn)閨z| |b|,6.1 z變換,例4 雙邊序列f(k)=fy(k)+ff(k)=,解:,的z變換。,可見，其收斂域?yàn)閍zb,ab,6.1 z變換,（3）整個(gè)z平面均不收斂；,6.1 z變換,例5 雙邊序列f(k)=fy(k)+ff(k)=,解:,的z變換。,ab,z b,z a,6.1 z變換,（1）對于有限長的序列，其雙邊z變換在整個(gè)平面； （2）對因果序列，其z變換的收斂域?yàn)槟硞€(gè)圓外區(qū)域； （3）對反因果序列，

5、其z變換的收斂域?yàn)槟硞€(gè)圓內(nèi)區(qū)域； （4）對雙邊序列，其z變換(若存在) 收斂域?yàn)榄h(huán)狀區(qū)域。,序列的收斂域大致有一下幾種情況：,6.1 z變換,6.1 z變換,注意：對雙邊z變換必須表明收斂域，否則其對應(yīng)的原序列將不唯一。,例, z2, z2,對單邊z變換，其收斂域比較簡單，一定是某個(gè)圓以外的區(qū)域?？梢允÷浴?結(jié)論：,6.1 z變換,常用序列的z變換：,(k),，z1,，z1,( k 1),(k) 1 ，整個(gè)則z平面,其中：a0,6.2 z變換的性質(zhì),6.2 z變換的性質(zhì),本節(jié)討論z變換的性質(zhì)，若無特殊說明，它既適用于單邊也適用于雙邊z變換。,例1：,一、線性,設(shè),則:,注：其收斂域至少是F1(

6、z) 與F2(z)收斂域的相交部分。,6.2 z變換的性質(zhì),解：,例2： ，求 的雙邊z變換 。,6.2 z變換的性質(zhì),二、移位（移序）特性,單邊、雙邊差別大！,雙邊z變換的移位：,若 f(k) F(z) , 0，則,證明：,單邊z變換的移位：,若 f(k) F(z), |z| ，且有整數(shù)m0, 則,6.2 z變換的性質(zhì),證明（右移）：,上式第二項(xiàng)令k m=n，則：,特例：若f(k)為因果序列，則,即：,6.2 z變換的性質(zhì),例1：求周期為N的有始周期性單位序列,的z變換。,解:,z1,例2：求f(k)= k(k)的單邊z變換F(z).,解:,6.2 z變換的性質(zhì),三、序列乘 （a可為實(shí)數(shù)、虛

7、數(shù)、復(fù)數(shù)） (z域尺度變換),則,證明：,若a=-1，有,6.2 z變換的性質(zhì),例1：,解:,例2：,解:,6.2 z變換的性質(zhì),四、卷積性質(zhì)：,證明：,對單邊z變換，要求f1(k)、 f2(k)為因果序列,注：其收斂域一般為F1(z)與F2(z)收斂域的相交部分。,6.2 z變換的性質(zhì),例： ，求 的雙邊 變換 。,解：,6.2 z變換的性質(zhì),五、序列乘k（z域微分）,設(shè),則,證明：,6.2 z變換的性質(zhì),令,則,即：,解：,例：求 的雙邊 變換 。,6.2 z變換的性質(zhì),六、序列除(k+m)(z域積分）,則,若m=0 ,且k0，則,例：求序列 的z變換。,解：,6.2 z變換的性質(zhì),設(shè),則

8、,證明：,七、k域反轉(zhuǎn)(僅適用雙邊z變換）,6.2 z變換的性質(zhì),利用齊次性，k域和z域同時(shí)乘以a得,解：,例1： 求,解：,6.2 z變換的性質(zhì),八、部分和,若 f(k) F(z) , z，則, max(,1)z,證明：,例：求序列(a為實(shí)數(shù)) (k0)的z變換。,解：,，|z|max(|a|,1),6.2 z變換的性質(zhì),九、初值定理和終值定理,初值定理適用于右邊序列，即適用于kM(M為整數(shù))時(shí)f(k)=0的序列。它用于由象函數(shù)直接求得序列的初值f(M), f(M+1), 而不必求得原序列。,初值定理：,如果序列在kM時(shí)，f(k)=0，它與象函數(shù)的關(guān)系為 f(k)F(z) ，z 則序列的初值

9、,對因果序列f(k)，,6.2 z變換的性質(zhì),證明：,兩邊乘zM，得,上式取z，得,6.2 z變換的性質(zhì),終值定理：,終值定理適用于右邊序列，用于由象函數(shù)直接求得序列的終值，而不必求得原序列。,如果序列在kM時(shí)，f(k)=0，它與象函數(shù)的關(guān)系為 f(k) F(z) ，z 且01 則序列的終值,含單位圓,證明見教材。,設(shè),上式兩邊乘以 ， 為整數(shù)，在 的收斂域內(nèi)作圍線積分：,柯西公式：,6.3 逆z變換,6.3 逆z變換,一、逆z變換,令 ，得：,上式稱為 F(z) 的逆z變換.,Z逆變換的計(jì)算方法：,（1）反演積分法（留數(shù)法）； （2）冪級(jí)數(shù)展開法； （3）部分分式展開法； （4）用 z 變換

10、性質(zhì)求逆 z 變換。,6.3 逆z變換,6.3 逆z變換,一般而言，雙邊序列f(k)可分解為因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)兩部分，即,其中,相應(yīng)地，其z變換也分為兩部分,6.3 逆z變換,已知象函數(shù)F(z)時(shí)，根據(jù)給定的收斂域不難由F(z)求得F1(z)和F2(z)，并分別求得它們所對應(yīng)的原序列f1(k)和f2(k)，根據(jù)線性性質(zhì)，將兩者相加得到F(z) 所對應(yīng)的原序列f(k)。,二、冪級(jí)數(shù)展開法,根據(jù)z變換的定義，因果序列和反因果序列的象函數(shù)分別是z-1和z的冪級(jí)數(shù)。其系數(shù)就是相應(yīng)的序列值。,6.3 逆z變換,解:,（1）由于F(z)的收斂域在半徑為2的圓外，故f(k)為因果序列。

11、用長除法將F(z)展開為z -1的冪級(jí)數(shù)：,于是，得原序列：,6.3 逆z變換,（2）由于F(z)的收斂域在半徑為1的圓內(nèi)，故f(k)為反因果序列。用長除法將F(z)（其分子、分母按z 的升冪排列）展開為z 的冪級(jí)數(shù)如下：,于是，得原序列：,6.3 逆z變換,(3) F(z)的收斂域?yàn)?z2的環(huán)形區(qū)域，其原序列f(k) 為雙邊序列。將F(z)展開為部分分式，有,根據(jù)給定的收斂域不難看出，上式第一項(xiàng)屬于因果序列的象函數(shù)F1(z)，第二項(xiàng)屬于反因果序列的象函數(shù)F2(z)，即,6.3 逆z變換,將它們分別展開為z -1及z的冪級(jí)數(shù)，有,用上述方法求逆z變換，原序列通常難以寫成閉合形式。,于是，得原序

12、列：,6.3 逆z變換,三、部分分式展開法,式中mn,（1）F(z)均為單極點(diǎn)，且不為0,式中各系數(shù),所以：,6.3 逆z變換,根據(jù)給定的收斂域，將上式劃分為F1(z)(z)和F2(z)(z)兩部分，根據(jù)已知的變換對，如,等，就可求得原函數(shù)。,6.3 逆z變換,解: 部分分式展開為,(1)當(dāng)z2，f(k)為因果序列,(2) 當(dāng)z1，f(k)為反因果序列,(3)當(dāng)1z2， f(k)為雙邊序列,6.3 逆z變換,解：,由收斂域可知，上式前兩項(xiàng)的收斂域滿足z1，后兩項(xiàng)滿足z2。,6.3 逆z變換,(2) F(z)有共軛單極點(diǎn),6.3 逆z變換,解：,6.3 逆z變換,（1） 為因果序列,6.3 逆z

13、變換,(3) F(z)有重極點(diǎn),F(z)展開式中含 項(xiàng)(r1)，則逆變換為：,若za ,對應(yīng)原序列為因果序列：,6.3 逆z變換,以za 為例：,當(dāng)r=3時(shí)，為,當(dāng)r=2時(shí)，為,可這樣推導(dǎo)記憶：,兩邊對a求導(dǎo)得:,再對a求導(dǎo)得:,故:,6.3 逆z變換,解:,例1： 求逆變換 。,解：,6.3 逆z變換,四、用性質(zhì)求逆z變換,方法1：,方法2：,6.3 逆z變換,例2、因果周期信號(hào) 如圖，求 的單邊 變換 。,設(shè)第一周期內(nèi)信號(hào)為 ，則 可表示為,設(shè),6.3 逆z變換,解：,五、反演積分法（留數(shù)法）*,6.3 逆z變換,6.3 逆z變換,6.3 逆z變換,例：,解：,6.3 逆z變換,6.3 逆

14、z變換,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,單邊z變換將系統(tǒng)的初始條件自然地包含于其代數(shù)方程中，可求得零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。,一、差分方程的z域解,設(shè)f(k)在k=0時(shí)接入，系統(tǒng)初始狀態(tài)為y(-1),y(-2),y(-n)。,取單邊z變換得：,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,令,稱為系統(tǒng)函數(shù)。,h(k)H(z),例1：若某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2) 已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系統(tǒng) 的yx(k)、yf(k)、y(k)。,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,解：,方程取z變換，得：,整理得

15、：,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,例2：,解：,系統(tǒng)的差分方程為：,1、求完全響應(yīng) ：,由單邊z變換的右移性質(zhì)：,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,解：,根據(jù)右移性質(zhì)，對系統(tǒng)差分方程取單邊z變換，得,由上式得：,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,2、求零輸入響應(yīng),的方程：,根據(jù)右移性質(zhì)，對 的方程取單邊 變換，得：,由上式得：,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,3、求零狀態(tài)響應(yīng),的方程：,由右移性質(zhì)，對 的方程取單邊 變換，得,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,說明：前向差分方程的解法：,（1）用左移性質(zhì)：,初始條件：對 、 、,對 、 、,（2）轉(zhuǎn)變?yōu)橛珊笙虿罘址匠蹋糜乙菩再|(zhì)求解，,初始條件：對 、 、,對 、 、

16、,若初始條件不適用，則用遞推法由相應(yīng)的差分方程遞推得到需要的初始條件。,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,二、系統(tǒng)函數(shù)H(z):,1、定義：,2、物理意義：,3、計(jì)算：,（1）,（2）,（3）由系統(tǒng)差分方程求,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,例：,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,解：,由于是零狀態(tài)響應(yīng)，對方程取z變換，得：,4、應(yīng)用：,（4）表示系統(tǒng)特性：頻率特性、穩(wěn)定性等。,（1）求,（2）求,（3）求,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,三、系統(tǒng)的z域框圖:,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,復(fù)變量s與z的關(guān)系：,四、s域與z域的關(guān)系,s平面的左半平面（z平面的單位圓內(nèi)部（z=1),s平面

17、的j軸（=0)-z平面的單位圓（z=1),s平面上的原點(diǎn)（=0，=0）-z平面上z=1的點(diǎn)（=1，=0）,s平面的右半平面（0)-z平面的單位圓外部（z=1),6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,s平面上實(shí)軸（=0)-z平面的正實(shí)軸（=0),6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,五、離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：,1、LTI離散系統(tǒng)對正弦序列的響應(yīng)：,設(shè)系統(tǒng)輸入,初始時(shí)刻,響應(yīng)為,表示為：,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,（1）系統(tǒng)對 的響應(yīng)：,設(shè)輸入 ，響應(yīng)為,則,即,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,設(shè) 的收斂域含單位圓，令z為：,則,其中， 的收斂域含單位圓。,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,（2）系統(tǒng)對 的響應(yīng)：,設(shè)輸入 ，響應(yīng)為,則,（3）系統(tǒng)對正弦序列的響應(yīng)：,系統(tǒng)輸入,響應(yīng)為,由系統(tǒng)的線性性質(zhì)，得：,設(shè),則,稱LTI離散系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,2、LTI離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：,若LTI因果離散系統(tǒng)得系統(tǒng)函數(shù)H(z)得收斂域包含 單位圓， ， 則 稱為LTI因果離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。其中,稱為系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)；,稱為系統(tǒng)的相頻響應(yīng)；,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,（2） 是 的連續(xù)函數(shù)；,（3） 表示系統(tǒng)對不同頻率 的正弦序列 的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性。,（1） 是 的周期函數(shù)，周期為 ；,6.4 離散系統(tǒng)的z域分析,說明：,例1：,為因果信號(hào)