1、2.2.1直線方程的概念與直線的斜率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直線的方程、方程的直線的概念.2.理解直線的傾斜角、斜率,掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.3.體會(huì)用斜率和傾斜角刻劃直線的傾斜程度,并掌握它們之間的關(guān)系.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1.直線的方程的概念一般地,如果以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在某條直線上,且這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解,那么這個(gè)方程叫做這條直線的方程；這條直線叫做這個(gè)方程的直線.2.直線的斜率(1)通常把直線ykxb中的系數(shù)k叫做這條直線的斜率.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),為直線l上任意兩點(diǎn),且x1x2,則直線l的斜率為k.3.直線的傾斜角(1)x軸正向與直線向上的方向所成的角叫

2、做這條直線的傾斜角.規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角.(2)由斜率k的定義可知當(dāng)k0時(shí),直線平行于x軸或與x軸重合；當(dāng)k0時(shí),直線的傾斜角為銳角,k值增大,直線的傾斜角也隨著增大；當(dāng)k0時(shí),直線的傾斜角為鈍角,k值增大,直線的傾斜角也隨著增大；垂直于x軸的直線的傾斜角等于90.要點(diǎn)一直線的傾斜角例1設(shè)直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),它的傾斜角為,如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45,得到直線l1,那么l1的傾斜角為()A.45B.135C.135D.當(dāng)0135時(shí),傾斜角為45；當(dāng)135180時(shí),傾斜角為135答案D解析根據(jù)題意,畫出圖形,如圖所示：因?yàn)?180,顯然A,B,C未分類討論,均不全面

3、,不合題意.通過(guò)畫圖(如圖所示)可知：當(dāng)0135時(shí),l1的傾斜角為45；當(dāng)135180時(shí),l1的傾斜角為45180135.故選D.規(guī)律方法1.解答本題要注意根據(jù)傾斜角的概念及傾斜角的取值范圍解答.2.求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來(lái)求,其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,找準(zhǔn)傾斜角,有時(shí)要根據(jù)情況分類討論.跟蹤演練1一條直線l與x軸相交,其向上的方向與y軸正方向所成的角為(090),則其傾斜角為()A. B.180C.180或90 D.90或90答案D解析如圖,當(dāng)l向上方向的部分在y軸左側(cè)時(shí),傾斜角為90；當(dāng)l向上方向的部分在y軸右側(cè)時(shí),傾斜角為90.故選D.要點(diǎn)二直線的斜率例2已知直線l過(guò)P(2,1),且

4、與以A(4,2),B(1,3)為端點(diǎn)的線段相交,求直線l的斜率的取值范圍.解根據(jù)題中的條件可畫出圖形,如圖所示,又可得直線PA的斜率kPA,直線PB的斜率kPB,結(jié)合圖形可知當(dāng)直線l由PB變化到與y軸平行的位置時(shí),它的傾斜角逐漸增大到90,故斜率的取值范圍為,當(dāng)直線l由與y軸平行的位置變化到PA位置時(shí),它的傾斜角由90增大到PA的傾斜角,故斜率的變化范圍是.綜上可知,直線l的斜率的取值范圍是.規(guī)律方法(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式ktan (90)解決.(2)由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式k(x1x2)求解.(3)涉及直線與線段有交點(diǎn)問(wèn)題常數(shù)形結(jié)合利用公式求解.跟蹤演練2

5、已知兩點(diǎn)A(3,4),B(3,2),過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)求直線l的傾斜角的取值范圍.解如圖所示,由題意可知kPA1,kPB1.(1)要使直線l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是k1,或k1.(2)由題意可知,直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間,又PB的傾斜角是45,PA的傾斜角是135,所以的取值范圍是45135.要點(diǎn)三斜率公式的應(yīng)用例3已知實(shí)數(shù)x,y滿足y2x8,且2x3,求的最大值和最小值.解如圖所示,由于點(diǎn)(x,y)滿足關(guān)系式2xy8,且2x3,可知點(diǎn)P(x,y)在線段AB上移動(dòng),并且A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)

6、可分別求得為A(2,4),B(3,2).由于的幾何意義是直線OP的斜率,且kOA2,kOB,所以可求得的最大值為2,最小值為.規(guī)律方法若所求最值或范圍的式子可化為的形式,則聯(lián)想其幾何意義,利用圖形數(shù)形結(jié)合來(lái)求解.跟蹤演練3已知實(shí)數(shù)x,y滿足yx2x2(1x1),試求的最大值和最小值.解由的幾何意義可知,它表示經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(2,3)與曲線段AB上任一點(diǎn)(x,y)的直線的斜率k,由圖可知kPAkkPB,由已知可得A(1,2),B(1,4).則kPA,kPB7.k7,的最大值為7,最小值為.1.下圖中標(biāo)注的表示直線l的傾斜角的是()A. B. C. D.答案A解析結(jié)合直線l的傾斜角的概念可知可以,選A

7、.2.已知直線l的傾斜角為30,則直線l的斜率為()A. B. C.1 D.答案A解析由題意可知,ktan 30.3.若過(guò)兩點(diǎn)A(2,3),B(y,4)的直線的傾斜角為45,則y的值為()A. B. C.3 D.3答案D解析tan 45kAB,即1,所以y3.4.直線l經(jīng)過(guò)第二、四象限,則直線l的傾斜角范圍是()A.090 B.90180C.90180 D.0180答案C解析直線傾斜角的取值范圍是0180,又直線l經(jīng)過(guò)第二、四象限,所以直線l的傾斜角范圍是90180.5.如圖所示,直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則k1,k2,k3之間的大小關(guān)系為_(kāi).答案k1k3k2解析設(shè)l1,l2,l3的傾斜角分別為1,2,3,則由題圖可知032901tan 30,tan 10,故k1k3k2.1.傾斜角是一個(gè)幾何概念,它直觀地描述并表現(xiàn)了直線對(duì)于x軸正方向的傾斜程度.2.直線的斜率和傾斜角都反映了直線的傾斜程度,兩者緊密相連,如下表：直線情況的大小009090900不存在k0k的增減情況k隨的增大而增大k隨的增大而增大3.運(yùn)用兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)求直線斜率k應(yīng)注意的問(wèn)題：(1)斜率公