1、第2課時函數(shù)的最大(小)值,1.理解函數(shù)最大值和最小值的概念,明確定義中“任意”和“存在”表達(dá)的含義. 2.能借助函數(shù)的圖象和單調(diào)性,求一些簡單函數(shù)的最值. 3.能利用函數(shù)的最值解決有關(guān)的實際應(yīng)用問題.,1.最大值和最小值,知識拓展1.定義中的M是一個函數(shù)值,它是值域的一個元素,如函數(shù)f(x)=-x2(xR)的最大值為0,有f(0)=0. 2.最大(小)值定義中的“任意”是說對定義域內(nèi)的每一個值都必須滿足不等式,即對于定義域內(nèi)的全部元素,都有f(x)M(f(x)M)成立,也就是說,y=f(x)的圖象不能位于直線y=M的上(下)方. 3.最大(小)值定義中的“存在”是說定義域中至少有一個實數(shù)滿足

2、等式,也就是說y=f(x)的圖象與直線y=M至少有一個交點.,【做一做1】 設(shè)函數(shù)f(x)=2x-1(0 x1),則f(x)() A.有最大值,無最小值 B.有最小值,無最大值 C.既有最大值,又有最小值 D.既無最大值,也無最小值 解析:函數(shù)f(x)=2x-1在x0,1)上單調(diào)遞增, f(x)在x=0時取得最小值,無最大值. 答案:B,2.最值,歸納總結(jié)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)在定義域R上,當(dāng)a0時,【做一做2】 函數(shù)y=-x2+2x的最大值是. 答案:1,函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系 剖析(1)函數(shù)的單調(diào)性是其定義域的子集上的性質(zhì),是“局部”性質(zhì),而函數(shù)的最值是整個定義域上的

3、性質(zhì),是“整體”性質(zhì). (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上是增(減)函數(shù),則f(x)在區(qū)間a,b上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b). (3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上是增(減)函數(shù),在區(qū)間b,c上是減(增)函數(shù),則f(x)在區(qū)間a,c上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個.,題型一,題型二,題型三,題型四,圖象法求最值 【例1】 已知函數(shù)y=-|x-1|+2,畫出函數(shù)的圖象,確定函數(shù)的最值,并寫出值域. 分析:討論x與1的大小,化函數(shù)f(x)為分段函數(shù).,圖象如圖所示, 由圖象知,函數(shù)y=-|x-1|+2的最大值為2, 沒有最小值, 所

4、以其值域為(-,2. 反思圖象法求函數(shù)y=f(x)的最值的步驟: (1)畫出函數(shù)y=f(x)的圖象; (2)依據(jù)函數(shù)最值的幾何意義,借助圖象寫出最值.,題型五,題型一,題型二,題型三,題型四,(1)畫出f(x)的圖象; (2)利用圖象找出該函數(shù)的最大值和最小值. 解:(1)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示. (2)由圖象可知f(x)的最小值為f(1)=1,無最大值.,題型五,題型一,題型二,題型三,題型四,利用函數(shù)的單調(diào)性求最值,(1)判斷f(x)在區(qū)間1,2和2,3上的單調(diào)性; (2)根據(jù)f(x)的單調(diào)性寫出f(x)的最值. 分析:(1)證明單調(diào)性的流程為:取值作差變形判斷符號結(jié)論; (2)借助最

5、值與單調(diào)性的關(guān)系,寫出最值.,題型五,題型一,題型二,題型三,題型四,解:(1)設(shè)x1,x2是區(qū)間1,3上的任意兩個實數(shù),且x1x2,即f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù). 當(dāng)2x1x23時,4x1x29,f(x1)f(x2),即f(x)在區(qū)間2,3上是增函數(shù).,題型五,題型一,題型二,題型三,題型四,f(x)的最大值為5. 反思利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值的步驟: (1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)借助最值與單調(diào)性的關(guān)系寫出最值.,題型五,題型一,題型二,題型三,題型四,解:任取2x1x25,2x10,x1-10. f(x2)-f(x1)0.f(x2)f(x1).,題型五,題型一,題型二,題

6、型三,題型四,題型五,二次函數(shù)的最值問題 【例3】 已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2,x-1,1,求函數(shù)f(x)的最小值. 分析:拋物線開口方向確定,對稱軸不確定,需根據(jù)對稱軸的不同情況分類討論.可畫出二次函數(shù)相關(guān)部分的簡圖,用數(shù)形結(jié)合法解決問題.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,解:f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的圖象開口向上,且對稱軸為直線x=a. 當(dāng)a1時,函數(shù)圖象如圖(1)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,1上是減函數(shù),最小值為f(1)=3-2a; 當(dāng)-1a1時,函數(shù)圖象如圖(2)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,1上先減后增,最小值為f(a)=2-a2; 當(dāng)a-

7、1時,函數(shù)圖象如圖(3)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,1上是增函數(shù),最小值為f(-1)=3+2a.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,反思1.求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題,一般要先作出y=f(x)的草圖,再根據(jù)圖象的增減性進(jìn)行研究.特別要注意二次函數(shù)圖象的對稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系,它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù).二次函數(shù)圖象的對稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系通常有三種:(1)對稱軸在所給區(qū)間的右側(cè);(2)對稱軸在所給區(qū)間的左側(cè);(3)對稱軸在所給區(qū)間內(nèi).,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,2.對于二次函數(shù)f(x)=a(x-h)2+k(a0)在區(qū)間m,n上的最值可作如

8、下討論:,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,【延伸探究】 在本例條件下,求函數(shù)f(x)的最大值. 解:f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的圖象開口向上,且對稱軸為直線x=a.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,當(dāng)a1時,函數(shù)圖象如圖(1)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,1上是減函數(shù),最大值為f(-1)=3+2a; 當(dāng)0a1時,函數(shù)圖象如圖(2)所示,可知函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,1上的最大值為f(-1)=3+2a; 當(dāng)-1a0時,函數(shù)圖象如圖(3)所示,可知函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,1上的最大值為f(1)=3-2a; 當(dāng)a-1時,函數(shù)圖象如圖(4)所示,可知函數(shù)f(x)在

9、區(qū)間-1,1上是增函數(shù),最大值為f(1)=3-2a.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,應(yīng)用問題 【例4】 將進(jìn)貨單價為40元的商品按50元一個出售時,能賣出500個.已知這種商品每漲價1元,其銷售量就減少10個,為得到最大利潤,則售價應(yīng)為多少元?最大利潤是多少? 分析:設(shè)出售價及利潤,建立利潤與售價的函數(shù)解析式,具體如下:,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,解:設(shè)售價為x元,利潤為y元, 則單個漲價(x-50)元,銷量減少10(x-50)個. y=(x-40)500-10(x-50)=-10(x-70)2+9 000, 當(dāng)x=70時,ymax=9 000, 即售價為70元時,利潤

10、最大為9 000元. 反思解應(yīng)用題要弄清題意,從實際出發(fā),引進(jìn)數(shù)學(xué)符號,建立數(shù)學(xué)模型,列出函數(shù)解析式,分析函數(shù)的性質(zhì),從而解決問題,這里要注意自變量的取值范圍.在實際應(yīng)用問題中,最大利潤、用料最省等問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值來解決.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,易錯易混題 易錯點求最值時忽視單調(diào)性致錯 【例5】 若函數(shù)f(x)=x2-6x+m在區(qū)間2,+)內(nèi)的最小值是-3,則實數(shù)m的值為. 錯解f(x)在區(qū)間2,+)內(nèi)單調(diào)遞增, f(x)的最小值為f(2)=4-12+m=m-8, m-8=-3,m=5. 錯因分析:在求函數(shù)最值時,只有判斷出函數(shù)的單調(diào)性,才能確定函數(shù)最值在何處取得,不能直接代入?yún)^(qū)間的端點來求.如本例函數(shù)在區(qū)間2,+)內(nèi)先減后增,故最小值不在x=2處取得.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,正解:函數(shù)f(x)=x2-6x+m圖象的對稱軸是x=3,開口向上,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間2,3上單調(diào)遞減,在區(qū)間3,+)內(nèi)單調(diào)遞增,故函數(shù)在x=3處取得最小值. 由f(3)=32-63+m=-3,解得m=6. 故實數(shù)m的值為6.,題型一,題型二,題型三,