1、,一、高斯消去法,第五章 解線性方程組的直接法 2 高斯消去法,二、矩陣的三角分解,三、高斯消去法的計(jì)算量,四、高斯約當(dāng)消去法,一、高斯消去法,1. 高斯消去法的基本思想,舉例,用消去法解方程組,（求解過程詳見書，請(qǐng)同學(xué)們自學(xué)）,基本思想：用逐次消去未知數(shù)的方法把原來方程組AX=b化為與其等價(jià)的三角形方程組，而求解三角形方程組就容易了！,2. 高斯消去法的一般過程,記 Ax = b 為 A(1)x = b(1)，,(1) 消元過程,第一次消元,(記 為 A(2)x = b(2),第n-1次消元,(記 為 A(n)x = b(n),(2) 回代過程,高斯消去法的特點(diǎn)：消元和回代不同步！,3. 使

2、用高斯消去法的條件,使用高斯消去法要求在每步消元時(shí) ， 那么矩陣A滿足什么，才能保證這一條件呢？,引理：約化的主元素 (i=1,2,n) 的充 要條件是矩陣A的順序主子式,推論：如果A的順序主子式不等于0，則,(k=2,3,n),定理：如果 n 階矩陣A的所有順序主子式均 不為零，則可通過高斯消去法（不進(jìn)行交 換兩行的初等變換），將方程組約化為三 角形方程組。,定理：如果A為 n 階非奇異矩陣，則可通過高斯消去法（及交換兩行的初等變換）將方程組 Ax=b 化為三角形方程組。,二、矩陣的三角分解,由矩陣?yán)碚摽芍瑢?duì)系數(shù)矩陣 A 實(shí)施行的初 等變換相當(dāng)于用初等矩陣左乘 A ，即,等價(jià)于,其中,初等

3、 矩陣,例,則,其中,考察高斯消去法過程 ：,等價(jià)于,其中,消元時(shí)的系數(shù),而且,重復(fù)這一過程，共進(jìn)行 次消元，得,1,將上三角矩陣 A(n) 記為 U，則有,其中,Gauss消去法將A分解為兩個(gè)三角矩陣相乘,定理: (矩陣的LU分解),設(shè) A 為 n 階矩陣，如果 A 的順序主子式 ( i = 1,2,n-1)， 則 A 可分解為一個(gè)單位下 三角矩陣 L 和一個(gè)上三角矩陣 U 的乘積，且 這種分解是唯一的。,注：若A 實(shí)現(xiàn)了LU分解，則,Ax = b,(LU)x=b,Ly = b Ux = y,求解兩個(gè)三角形方程組!,舉例：用系數(shù)矩陣的LU分解求下列方程組,解：,系數(shù)矩陣為,由高斯消去法， m

4、21=0，m31=2 m32=1，故,則求解原方程組可轉(zhuǎn)化為如下兩個(gè)三角形方 程組：,三、高斯消去法的計(jì)算量,定理：如果 A 為 n 階非奇異矩陣，則用高斯 消去法解 Ax = b 所需的乘除法次數(shù)及加減法 次數(shù)分別為,例如：n=10時(shí)，高斯消去法需要430次乘除法，而Cramer法則卻需要39916800次乘法。,四、高斯約當(dāng)消去法(Gauss-Jordan),高斯消去法在消元時(shí)始終消去對(duì)角線下方的 元素，而高斯約當(dāng)消去法則同時(shí)消去對(duì) 角線上方和下方的元素。,第一次消元,(與高斯消去法不相同),第二次消元,故方程組的解為,高斯約當(dāng)消去法的特點(diǎn)：,(1) 消元和回代同時(shí)進(jìn)行；,(2) 乘除法的

5、次數(shù)要比高斯消去法大，所以通常用于同時(shí)求解系數(shù)矩陣相同的多個(gè)方程組或求逆矩陣。,高斯-約當(dāng)消去法的應(yīng)用,1.同時(shí)求解系數(shù)矩陣相同的多個(gè)方程組,例 用高斯-約當(dāng)消去法求解兩個(gè)方程組 AX=b1 和AX=b2 ，其中,解 增廣矩陣為,消元,3/4,消元,于是求得方程組Ax=b1的解,方程組AX=b2的解,基本原理：設(shè)有系數(shù)矩陣都為A的m個(gè)方程組,將b1, b2, , bs依次排在A的第n+1, n+2, , n+m列，作一個(gè)n行n+m列的增廣矩陣，那么可用高斯-約當(dāng)消去法的同時(shí)求解m個(gè)方程組.,2.求解矩陣的逆,基本原理：,設(shè)A為n階非奇異矩陣，I為單位矩陣。由線性代數(shù)的知識(shí)，若對(duì)n2n矩陣A, I作初等行變換，把A化為I，則原先的I就化成了A-1。,所以在計(jì)算機(jī)上用高斯-約當(dāng)消去法計(jì)算即可。即,由關(guān)系式 AA-1 = I,得,其中x(s)為A-1的第s列，es為I的第s列(s=1, 2, , n)。,在計(jì)算機(jī)上用