1、了解離散型隨機變量的意義，會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列 1隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變 量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母、等表示 2離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列 出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量,第十二章 概率與統(tǒng)計 第60課時 離散型隨機變量的分布列,3分布列：設離散型隨機變量可能取的值為x1，x2，xi， 取每一個值xi(i1,2，)的概率為P(xi)pi，則稱表 為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列 4分布列的兩個性質 (1)pi0，i1,2，；(2)p1p21.,5二項分布：在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也

2、可能不發(fā)生，在n次 獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量如果在一次試驗 中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次 的概率是Pn(k) pkqnk，(k0,1,2，n，q1p) 于是得到隨機變量的概率分布如下：,由于 恰好是二項展開式 (qp)n中的各項的值， 所以稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作B(n，p)， 其中n，p為參數(shù)，并記 b(k；n，p),6幾何分布：在獨立重復試驗中，某事件第一次發(fā)生時，所作試驗的次數(shù)也 是一個正整數(shù)的離散型隨機變量“k”表示在第k次獨立重復試驗時事 件第一次發(fā)生如果把k次試驗時事件A發(fā)生記為Ak、事件A不發(fā)生記為 ， P(

3、Ak)p，P( )q(q1p)，那么P(k)P( ) P(Ak1)P(Ak)qk1p(k0,1,2，q1p) 于是得到隨機變量的概率分布如下：,稱這樣的隨機變量服從幾何分布，記作g(k，p)qk1p， 其中k0,1,2，,1若隨機變量的概率分布列為 且p1 p2，則p1等于() A. B. C. D. 解析：由p1p21且p22p1可解得p1 答案：B,2隨機變量服從二項分布即B(6， ) ，則使b(k；6， )， 取得最大值的k為() A3 B4 C5 D6 解析：b(k；6， ) 當k3時，b(k；6， )取得最大值 答案：A,3某廠生產電子元件，其產品的次品率為5%，現(xiàn)從一批產品中，任意

4、地連續(xù)取出2件，其中次品數(shù)的概率分布是,解析：由題意“任意連續(xù)取出2件”可認為兩次獨立重復試驗，則次品數(shù) 服從二項分布即B(2,0.05)P(0) 0.9520.902 5； P(1) 0.950.050.095；P(2) 0.0520.002 5. 則的概率分布為 答案：0.902 50.0950.002 5,4兩封信隨機投入A、B、C三個空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)的數(shù)學期望E_.,解析：隨機變量的分布列為： 則E0 1 2 答案：,求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況， 然后利用排列、組合與概率知識求出取各個值的概率 分布列中隨機變量取值的概率都在0,1，同時所有概率和

5、一定等于1. 離散型隨機變量的分布列實質上是用表格統(tǒng)計數(shù)據(jù)的一種方法，第一行數(shù) 字是對一次試驗可能出現(xiàn)的所有基本事件分類的代號，而第二行數(shù)據(jù)是第 一行數(shù)據(jù)表示的事件所對應的概率,【例1】 從一批有10個合格品與3個次品的產品中，一件一件地抽取產品， 設各個產品被抽取到的可能性相同，在下列三種情況下， 分別求出直到取出合格品為止時所需抽取次數(shù)的分布列： (1)每次取出的產品都不放回此批產品中； (2)每次取出的產品都立即放回此批產品中，然后再取出一件產品； (3)每次取出一件產品后總把一件合格品放回此批產品中,解答：(1)的取值為1,2,3,4， 當1時，即只取一次就取得合格品，故P(1) ；

6、當2時，即第一次取到次品，而第二次取到合格品， 故P(2) ； 類似地，有P(3) ， P(4) ，所以，的分布列為：,(2)的取值為1,2,3，n，. 當1時，即第一次就取到合格品，故P(1) ； 當2時，即第一次取到次品，而第二次取到合格品， 故P(2) ； 當3時，即第一、第二次均取到次品，而第三次取到合格品， 故P(3) ； 類似地，當n時，即前n1次均取到次品，而第n次取到合格品， 故P(n) ，n1,2,3，,因此，的分布列為：,(3)的取值為1,2,3,4， 當1時，即第一次就取到合格品，故P(1) ； 當2時，即第一次取到次品而第二次取到合格品，注意第二次再取時， 這批產品有1

7、1個合格品，2個次品，故P(2) ； 類似地，P(3) ，P(4) ， 因此，的分布列為：,變式1.袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為 . 現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后 不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止每個球在每一次被取出 的機會是等可能的，用表示取球終止時所需要的取球次數(shù) (1)求袋中原有白球的個數(shù)； (2)求隨機變量的概率分布； (3)求甲取到白球的概率,解答：(1)設袋中白球共有x個，根據(jù)已知條件 ，即x2x60， 解得x3，或x2(舍去) (2)表示取球終止時所需要的次數(shù)，則的取值分別為：1,2,3,4,5. 因此，P(

8、1) ，P(2) ，P(3) ， P(4) ，P(5) . 則隨機變量分布列為：,(3)甲取到白球的概率為P,.,二項分布是常見的離散型隨機變量的分布一般地，如果能考慮的試驗可以看做是一個只有兩個可能結果A和 的獨立重復試驗，則n次試驗中A發(fā)生的次數(shù)服從二項分布注意在實際應用中往往出現(xiàn)數(shù)量“較大”、“很大”、“非常多”等字眼，這表明試驗可視為獨立重復試驗,【例2】 甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為 ， 乙每次擊中目標的概率為 . (1)記甲擊中目標的次數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學期望E； (2)求乙至多擊中目標2次的概率； (3)求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率,解答：(1) 甲擊

9、中目標的次數(shù)服從二項分布B(3， )，E . (2)乙每次擊中目標的概率為 . 則乙至多擊中目標2次的概率為P11 (3)甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為 P2 .,拋擲兩個骰子，當至少有一個5點或一個6點出現(xiàn)時，就說這次試驗成 功，求在5次試驗中成功次數(shù)的分布列 解答：一次試驗成功的概率為1 . 所以服從二項分布，B(5， )，因此隨機變量的分布列為,變式2.,幾何分布與二項分布一樣是常見的離散型隨機變量的分布，也是以獨立重復試驗問題為背景，但試驗的次數(shù)不是有限的，隨機變量的取值是所有正整數(shù)，而通常遇到的問題多數(shù)是“準幾何分布”,【例3】某射手進行射擊訓練，假設每次射擊擊中目標的概率為 且各

10、次射擊的結果互不影響 (1)求射手在3次射擊中，至少有兩次連續(xù)擊中目標的概率；(用數(shù)字作答) (2)求射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率；(用數(shù)字作答) (3)設隨機變量表示射手第3次擊中目標時已射擊的次數(shù)，求的分布列,解答：(1)記“射手射擊1次，擊中目標”為事件A， 則在3次射擊中至少有兩次連續(xù)擊中目標的概率 P1P(AA )P( AA)P(AAA) . (2)射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率 P2 .,(3)由題設，“k”的概率為 P(k) (kN*且k3) 所以的分布列為,1首先要明確離散型隨機變量分布列的意義：第一行數(shù)字是隨機變量的取 值，它分別代表了一系列事件；而

11、第二行數(shù)字是第一行數(shù)字代表事件所對 應的概率 2可根據(jù)離散型隨機變量分布列的性質，通過求和或求無窮數(shù)列各項的和 (數(shù)列極限)檢驗列表的正確與否.,【方法規(guī)律】,(本題滿分12分)袋中裝著標有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個從袋中任取3個小 球，按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都相等， 用表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求： (1)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率； (2)隨機變量的概率分布和數(shù)學期望； (3)計分介于20分到40分之間的概率.,解答：(1)解法一：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記 為A，則P(A) . 解法二：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A， “一次取出的3個小球上有兩個數(shù)字相同”的事件記為B， 則事件A和事件B是對立事件，因為P(B) , 所以P(A)1P(B) .,【答題模板】,(2)由題意，可能的取值為：2,3,4,5. P(2) ；P(3) ； P(4) ；P(5) . 所以隨機變量的概率分布為： 則的數(shù)學期望為：E .,(3)“一次取球所得計分介于20分到40分之間”的事件記為C， 則P(C)P(3或4)P(3)P(4) .,離散型隨機變量的分布列是高考考查理科數(shù)學應用問題的重點和熱點 本題主要考查等可能事件、互斥事件、分布列及期望的求解此類問題的 求解，關鍵在于利用排列組合的有關知識，