1、7.3基本不等式及其應(yīng)用,高考數(shù)學(xué),1.基本不等式 如果a,b是正數(shù),那么(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號). 2.幾個重要的不等式 (1)a2+b22ab(a,bR). (2)+2(a,b同號). (3)ab(a,bR+).,知識清單,(4)(a,bR+).,拓展延伸 1.“和定積最大,積定和最小”,即n(n=2,3,)個正數(shù)的和為定值,則可求 其積的最大值;積為定值,則可求其和的最小值. 2.基本不等式是幾個正數(shù)和與積轉(zhuǎn)化的依據(jù),不但可直接解決和與積的不等問題,而且通過結(jié)合不等式性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性等還可解決其他形式的不等式問題.如:和與平方和、和與倒數(shù)和、和與根式和、和與兩數(shù)之積之和等. 3.利用基

2、本不等式求最值的變形技巧湊、拆、除、代、解.,(1)湊:湊項,例:x+=x-1+12+1=3(x1); 湊系數(shù),例:x(1-3x)=3x(1-3x)=; (2)拆:例:=x+3+=x-3+62+6=12(x3); (3)除:例:=1(x0); (4)代:例:已知a0,b0,a+b=1,求+的最小值. 解析:+=+=1+12+2=4. (5)解:例:已知a,b是正數(shù),且ab=a+b+3,求a+b的最小值.解析:ab,a+b+3,即(a+b)2-(a+b)-30,解得a+b6(a+b-2舍去).,利用基本不等式求最值問題 1.利用基本不等式可以求一些函數(shù)或代數(shù)式的最大值或最小值,其基本法則如下:

3、(1)已知x,yR+,若x+y=P(定值),當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,積xy取得最大值P2; (2)已知x,yR+,若xy=S(定值),當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,和x+y取得最小值2. 2.利用基本不等式求最值應(yīng)滿足的三個條件: (1)各項或各因式均為正; (2)和或積為定值; (3)各項或各因式能取到使等號成立的值. 簡記:一正、二定、三相等.,方法技巧,如果解題過程中不滿足上述條件,可以進行必要、合理的拆分或配湊因 式,以滿足以上三個條件. 3.利用基本不等式求函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項和或積的形式,然后用基本不等式求出最值.條件最值的求解通常有兩種方法:一是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構(gòu)

4、造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值;二是消元法,即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值. 例1(1)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是. (2)(2016江蘇南通中學(xué)檢測,12)若a0,b0,且+=1,則a+2b的最 小值為. (3)(2017江蘇蘇北四市期中)已知正數(shù)a,b滿足+=-5,則ab的最小值為.,解析(1)由x+3y=5xy,得+=5(x0,y0), 則3x+4y=(3x+4y) = =(13+12)=5, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2y時,“=”成立. 此時,由解得故填5. (2)設(shè)a+2b=t,則a=t-2b.,a0,b

5、0,+=1, +=1,即+=1. =1-=. 從而2t-3b=1+,即2t=3b+12+1=2+1 ,t. 故a+2b的最小值為. (3)a,b為正數(shù),+2,-52,即-5-60, 6,ab36,當(dāng)且僅當(dāng)b=9a時取等號,因此ab的最小值為36.,答案(1)5(2)(3)36,基本不等式的實際應(yīng)用 應(yīng)用基本不等式解決實際問題的步驟: (1)仔細(xì)閱讀題目,透徹理解題意; (2)分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系,引入未知數(shù),并用它表示其他的變量,把要求最值的變量設(shè)為函數(shù); (3)應(yīng)用基本不等式求出函數(shù)的最值; (4)還原實際問題,作出解答. 例2(2016江蘇泰州中學(xué)質(zhì)檢)某企業(yè)投入81萬元經(jīng)銷某產(chǎn)品,經(jīng)

6、銷時間共60個月,市場調(diào)研表明,該企業(yè)在經(jīng)銷這個產(chǎn)品期間第x個月的利潤f(x)=(單位:萬元).為了獲得更多的利潤,企業(yè)將每月,獲得的利潤再投入到次月的經(jīng)營中.記第x個月的當(dāng)月利潤率g(x)=,例如g(3)=. (1)求g(10); (2)求第x個月的當(dāng)月利潤率; (3)求該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間,哪一個月的當(dāng)月利潤率最大,并求出該月的當(dāng)月利潤率.,解析(1)依題意得f(1)=f(2)=f(3)=f(9)=f(10)=1, g(10)=. (2)當(dāng)x=1時,g(1)=, 當(dāng)1x20,xN*時, g(x)=, 而x=1也符合上式,故當(dāng)1x20,xN*時,g(x)=. 當(dāng)21x60,xN*時, g(x

7、)= =,=, 所以第x個月的當(dāng)月利潤率 g(x)= (3)當(dāng)1x20,xN*時,g(x)=是減函數(shù),此時g(x)的最大值為g(1)= . 當(dāng)21x60,xN*時,g(x)=,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=40時,g(x)取得最大值,最大值為. ,當(dāng)x=40時,g(x)取得最大值. 即該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間,第40個月的當(dāng)月利潤率最大,其當(dāng)月利潤率為.,不等式恒成立問題 恒成立問題是不等式與參數(shù)問題的典型代表,解此類問題主要有以下三種方法: 1.函數(shù)法 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0). (1)f(x)0在xR上恒成立a0且0時, f(x)0在x,上恒成立或或 f(x)0在x,上恒成立,(4)當(dāng)a0在x,上恒成立f(x)f(x)恒成立af(x)max;ag(x)對一切xI恒成立f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方. 例3若不等式x+2a(x+y)對任意的實數(shù)x,y(