1、江蘇省蘇州中學(xué)、常州中學(xué)精品備課高二數(shù)學(xué)概率二【教學(xué)內(nèi)容、目標(biāo)】第十章 排列 組合 和概率概率2（互斥事件、相互獨(dú)立事件，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)）要求：1、了解互斥事件、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（n重貝努里試驗(yàn)）的概念。 2、會(huì)計(jì)算“互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率”， 會(huì)計(jì)算“相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率”。 3、會(huì)計(jì)算與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有關(guān)的概率問題?！緦W(xué)習(xí)指導(dǎo)】1、隨機(jī)事件的運(yùn)算（1）“事件A與B中至少有一個(gè)發(fā)生”即事件A、B的并，記作A+B(或AB)（2）“事件A、B同時(shí)發(fā)生”即事件A、B的交（積），記作AB（AB）示意圖ABAB（陰影部分）表示A+B表示AB2、互斥事件有關(guān)問題（1）若事件A、B不可能

2、同時(shí)發(fā)生，則稱A、B為互斥事件（互不相容事件）即AB（或AB=）（2）若A、B互斥，則P（A+B）=P（A）+P（B）（3）若A、B互斥且A、B中至少有一個(gè)事件要發(fā)生，即若A不發(fā)生，則B發(fā)生，若A發(fā)生則B不發(fā)生，則稱A、B為對(duì)立事件。記B為。 （注）（4）若A1,A2,An彼此互斥，則P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)3、相互獨(dú)立事件及有關(guān)問題（1）若A（B）事件的發(fā)生與否對(duì)B（A）事件發(fā)生的概率沒有影響，則稱A、B為相互獨(dú)立事件。（2）若A、B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)若A1,A2,An相互獨(dú)立，則P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An) （注

3、）事實(shí)上A,B相互獨(dú)立P(AB)=P(A)P(B)，但不能將這一命題推廣到三個(gè)事件相互獨(dú)立的情況。 如：若A、B、C相互獨(dú)立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)但P(ABC)=P(A)P(B)P(C)A,B,C 相互獨(dú)立4、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（n垂貝努里試驗(yàn)）（1）每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果，A或（A發(fā)示 A事件發(fā)生）（2）若P(A)=P，P()=q，則在n次試驗(yàn)中，A事件發(fā)生k次的概率為： Pn(k)=CnkPkq1-k (注p+q=1)（3）Pn(k)是二項(xiàng)式(p+q)n展開式的第k+1項(xiàng)，因此獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式又叫做概率的二項(xiàng)公布?！镜湫屠}分析】例1、某人射擊一次，如果事件A“中靶”的概率為

4、0.95，事件B“中靶環(huán)數(shù)大于5”的概率為0.7，（中靶的環(huán)數(shù)以0，1，2，10計(jì)），那么：（1）“不中靶”的概率是多少？（2）“中靶環(huán)數(shù)小于6”的概率是多少？（3）“中靶環(huán)數(shù)大于0且小于6”的概率是多少？分析與解：依本題的題意，我們可以將“射擊一次”這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果分成下列兩組相互對(duì)立的事件：（1）A=中靶，P(A)=0.95，則=不中靶，P()=1-P(A)=0.05（2）B=中靶環(huán)數(shù)大于5，P(B)=0.7，則=中靶環(huán)數(shù)小于6，P()=0.3（3）記C=中靶環(huán)數(shù)大于0且小于6列表中靶環(huán)數(shù)i0 1i5 i6概率P0.05 x 0.7注意到C+B+=，且C、B、三個(gè)事件兩兩互斥P(C)=1-P

5、()-P(B)=0.25回顧：1、一次試驗(yàn)的結(jié)果可以分成若干個(gè)互斥的事件，所有這些事件的概率之和應(yīng)為1（可以列張表，這樣的表今后將被稱為分布列）2、“中靶環(huán)數(shù)大于0且小于6”也可以看作為事件A，可P(A)P(A)P()因?yàn)槭录嗀與事件不獨(dú)立。例2、判斷下列試驗(yàn)中的事件A、B，哪些是互斥事件？哪些是相互獨(dú)立事件？（1）五人抽簽決定一個(gè)出線名額，記A“甲抽中”記B“乙抽中”。（2）五把鑰匙中有一把可以打開門，現(xiàn)每次選一把試開，記A“第一次打開門！”記B“第三次打開門。”在下列條件（用后放回；用后不放回）下判斷。（3）口袋中3白、2紅共五個(gè)球，記A“從中任取一只球，得白球?！庇汢“取出的球不放回，從

6、中任取一只球，得紅球?！狈治雠c解：（1）A、B是互斥的，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)出線名額，甲、乙不可能同時(shí)抽中。（2）在（用后放回）條件下，A、B是相互獨(dú)立的，不輪第一次能否打開門，第三次打開門的概率都是。 在（用后不放回）條件下，A、B是互斥的，在這個(gè)前提下，五次試開中有且僅有一次能打開門，A、B不可能同時(shí)發(fā)生。（3）A、B既不互斥，也不獨(dú)立。A、B可以同時(shí)發(fā)生（第一次取白球，第二次取紅球）A發(fā)生時(shí)，B發(fā)生的概率為，A不發(fā)生時(shí)，B發(fā)生的概率為。故A、B不獨(dú)立。回顧：1、從概念上看，互斥事件與相互獨(dú)立事件之間，分屬不同的判斷系統(tǒng)?；コ馐录梢杂梦氖蠄D，從集合論的角度加以理解，而相互獨(dú)立事件是不能用文氏圖來

7、輔助理解的，因而掌握時(shí)更加困難。2、可以驗(yàn)證，對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)事件A、B。（P(A),P(B)（0，1）必有：A、B互斥則A、B不獨(dú)立，A、B獨(dú)立則A、B不互斥。（反之不成立）例3、有兩門高射炮，每門射擊一次，擊中敵機(jī)的概率都為0.6，現(xiàn)兩門炮同時(shí)射擊一次。求：（1）都擊中敵機(jī)的概率；（2）恰有一門擊中敵機(jī)的概率；（3）至少有一門擊中敵機(jī)的概率；（4）若要使擊中敵機(jī)的概率不小于0.99，至少需要多少門這樣的高射炮同時(shí)射擊一次？解：記A=甲炮擊中敵機(jī)，B=乙炮擊中敵機(jī)，則事件A、B相互獨(dú)立且P(A)=P(B)=0.6（1）AB=都擊中敵機(jī) P(AB)=P(A)P(B)=0.36（2）恰有一門炮擊中敵

8、機(jī)=A+BP(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.48（3）“至少有一門炮擊中敵機(jī)”的對(duì)立事件為“沒有一門炮擊中敵機(jī)”其概率P=1-P()=1-0.40.4=0.84（4）設(shè)需要n門高射炮，據(jù)題意要求至少有一門炮擊中敵機(jī)。其概率為P=1-(0.4)n, 1-(0.4)n0.99，即0.4n0.01，nlog0.40.015.03（注：取lg2=0.3010，用換底公式）故至少6門高射炮同時(shí)射擊一次。例4、如圖，用A、B、C三種不同的元件連結(jié)成兩個(gè)系統(tǒng)，N1,N2，當(dāng)A、B、C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N1正常工作；當(dāng)元件A正常工作且B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N2正常

9、工作。已知元件A、B、C能正常工作的概率依次為0.80, 0.90，0.90，分別求系統(tǒng)N1、N2正常工作的概率。解：分別記元件A、B、C能正常工作的事件為A、B、C，則：P(A)=0.80, P(B)=0.90, P(C)=0.90（1）系統(tǒng)N1正常工作即A、B、C同時(shí)正常工作，即ABC事件發(fā)生。P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.80.90.9=0.684（2）系統(tǒng)N2正常工作即事件A（B+C）發(fā)生，（關(guān)鍵求P（B+C） (N1) A B C C B (N2) A （解法一）B、C至少有一個(gè)發(fā)生對(duì)應(yīng)三種情況：B發(fā)生，C不發(fā)生；B不發(fā)生，C發(fā)生；B、C都發(fā)生。 =0.80.90

10、.1+0.80.10.9+0.80.90.9=0.792（解法二）“B、C至少有一個(gè)發(fā)生”的對(duì)立事件為“B、C都不發(fā)生” 即 P2=P(A(B+C)=P(A)P(B+C)=P(A)(1-P()P()= 0.8（1-0.10.1）=0.80.99=0.792（解法三）B、C不互斥，則P(B+C)=P(B)+P(C)-P(BC)=0.9+0.9-0.81=0.99P2=P(A(B+C)=P(A)P(B+C)=0.80.99=0.792回顧：1、本題為2001年天津、江西、山西高考題 2、解法二用到了狄摩根律：例5、甲、乙兩只冰箱內(nèi)各有5聽飲料，某人在每次飲同時(shí)，在任一冰箱內(nèi)任取一聽，求甲冰箱已空，

11、而乙冰箱還剩3聽飲料的概率。解：甲冰箱已空，乙冰箱還剩3聽，則一共取了7次，每次取甲、乙冰箱的概率均為P=。在這7次中，恰有5次取了甲冰箱，有2次取了乙冰箱，故這7次（取法）可視為7次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，故當(dāng)甲空而乙有3聽飲料的概率為：回顧：本題相當(dāng)于“甲、乙兩盒各有若干只相同的小球，每次從兩盒中任選一盒，取一只小球，向甲盒被取了5次，而乙盒被取了2次的概率?！?注意每次取的時(shí)候，能區(qū)分的僅為冰箱，與冰箱中的飲料是無關(guān)的，故每次試驗(yàn)的樣本空間都為甲、乙，而取甲、還是取乙的概率都是，因此這個(gè)試驗(yàn)可被視為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?！就骄毩?xí)】1、某產(chǎn)品共50個(gè)，其中正品45個(gè)，次品5個(gè)，從中任取三個(gè)，出現(xiàn)至少一件次

12、品的概率為。2、某房間內(nèi)有4個(gè)人，至少有兩個(gè)人生日相同（以每年365天計(jì)）的概率為。3、從4名男生，5名女生任選3人組成代表隊(duì)，則男生人數(shù)不超過2人的概率 。4、同一試題，甲解出此題的概率為，乙解出此題的概率為，丙解出此題的概率為，甲、乙、丙三人獨(dú)立解題，則恰有一人解出此題的概率為。5、某植物種子的發(fā)芽率為0.9，現(xiàn)種下此類種子5粒，恰有2粒種子發(fā)芽的概率為 。6、某氣象站的天氣預(yù)報(bào)準(zhǔn)確率為0.8，在一周內(nèi)（7天），連續(xù)5天預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為。7、已知某人解每道題的正確率都為，則該人解五道題答對(duì)3題的概率為 。8、某廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命超過1000小時(shí)的概率為0.8，則同樣的三個(gè)燈泡在使用100

13、0小時(shí)后，至多只有一個(gè)壞的概率為。9、甲、乙兩人比賽象棋，已知甲勝乙的概率為0.32，甲不輸?shù)母怕蕿?.63，若兩人連賽2盤，則乙都不輸棋的概率為。10、某產(chǎn)品有3個(gè)零件A、B、C，若A、B、C都是正品，所得產(chǎn)品才是合格品，已知A、B的合格率分別為0.98，0.97，又已知該產(chǎn)品的次品率約為6%，則零件C的次品率為。11、有10張足球票，其中5張10元面值，3張20元面值，2張50元面值，從這10張球票中任取3張，求票價(jià)之和為80元的概率。12、如圖，電路由A、B、C三個(gè)元件構(gòu)成，A、B、C三個(gè)元件發(fā)生故障的概率分別為0.2，0.2，0.3，求電路能正常工作的概率。 B A C 13、某單位有

14、20人，已知有8人為A型血，4人為B型血，1人為AB型血，7人為O型血。已知，O型血的人能輸血給任何人，AB型血的人能接受任何人的輸血，同血型的人也可以互相供血?，F(xiàn)從中，任取兩人，問這兩人可以完成一次供、輸血的概率。參考答案1、 一件次品也沒有的概率 至少一件次品的概率2、 沒有任何人生日相同的概率為 至少2人生日相同的概率為3、 即求“男生人數(shù)至多2人”的概率，其對(duì)立事件為“男生人數(shù)超過2人”即“男生有3人”其概率為4、 記A、B、C分別為甲、乙、丙解出此題的時(shí)間“恰有1人解出此題”即 5、0.0081 即5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生2次的概率 P5(2)=6、0.0393 因要求連續(xù)五天預(yù)報(bào)正確，只可能周一周五或周二周六或周三周日三種情況。故P=30.850.22=0.03937、 8、0.896 三個(gè)都不損壞P1=0.83，只壞一個(gè) P=P1+P2=0.8969、0.4624 記A=甲勝乙，則=甲不勝乙=乙不輸，連賽2盤，乙都不輸棋，對(duì)應(yīng)于事件，10、0.01 設(shè)C的合格率為P(C)=x，則1-0.980.9x=0.06x0.99，次品率