1、1.2 概率,定義,事件A發(fā)生的可能性大小的數(shù)值度量，稱為A的概率，記為P(A),1.2.1 .古典（等可能）概型,定義 設(shè) E 是一隨機試驗，它具有下列特點：,基本事件的個數(shù)有限 每個基本事件發(fā)生的可能性大小相同,則稱 E 為古典概型或等可能概型,等可能概型中概率的計算：,則,例 袋中有a 只白球，b 只紅球，從袋中按 不放回與放回兩種方式取m個球（ ), 求其中恰有 k 個 ( ）白球的概率,對應(yīng)兩個重要 的概率模型,例 袋中有a 只白球，b 只紅球， 從袋中不放回地取球 k 次, 每次一只，求第k次取得的是白球的概率,E1: 球編號，一次取出 m 個球，記下顏色,1:,記事件 A 為m個

2、球中有k個白球，則,因此,不放回地逐次取m個球，與一次任取m個球 算得的結(jié)果相同。稱為超幾何分布,不放回情形解法一,不放回情形解法二,E: 球編號，任取一球，記下顏色，放在一邊， 重復(fù) m 次,:,記事件 A 為m個球中有k個白球，則,則,有放回地,E2: 球編號，任取一球，記下顏色，放回去， 重復(fù) m 次,2:,記事件 B 為有放回地取 m 個球，其中有k個 白球，則,稱為二項分布,例 袋中有a 只白球，b 只紅球， （1）從袋中不放回地取球 k 次, 每次一只，求 第k次取得的是白球的概率（ ）,（2）從袋中不放回地將球一個個取出，直到剩 下的球的顏色都相同為止，求剩下的球都 是白球的概率

3、,解 (1),E: 球編號，任取一球，記下顏色，放在一邊， 重復(fù) k 次,:,記事件 A 為第k 次取得白球，則,E1: 球編號，任取一球，記下顏色，放在一邊， 將球全部取出,1:,無放回地取球，P ( A ) 與 k 無關(guān),E2: 球不編號，將a + b 個球有次序地排成一排， 觀察 a 個白球的排列位置，每種排法都是等 可能的,2:,設(shè)對應(yīng)的事件為 B 將球全部取出，最后 取得白球,例 15名同學(xué)，其中有3名女同學(xué)，插入3個班級, 每班5人。求 （1）每班各有1名女同學(xué)的概率； （2）3名女同學(xué)分在同一個班的概率,解,（1）,（2）,例 （分房問題）設(shè)有 k 個可以分辨的球，每個球等可能地

4、落入 N 個有編號的盒子中（k N ）, 設(shè)每個盒子容納的球數(shù)無限，求下列事件的概率,（1）某指定的 k 個盒子中各有一球；,（2）恰有 k 個盒子中各有一球；,（3）某指定的一個盒子沒有球；,（4）某指定的一個盒子恰有 m 個球 ( )；,（5）至少有兩個球在同一盒子中,解,設(shè)（1）（5）的各事件分別為,則,例 在0,1,2,3,9中不重復(fù)地任取4個數(shù)，求這 4 個數(shù)能排成一個四位偶數(shù)的概率,解,例 p(10) 設(shè)有 n 個不能分辨的球，m個有編號的盒子，假設(shè)在盒子中球的放置方法等可能。 （1）每個盒子僅能容納一個球，求指定的k個盒子中有 球的概率。 （2）每個盒子能容納任意多個球, 求指定

5、k （k m）個盒子中無 球的概率。,例 （p43）把 n 個“0”和m個“1” （m n +1）隨機的排在一起，求沒有兩個“1”排在一起的概率。,因為求沒有兩個“1”排在一起的概率，樣本空間可以這樣構(gòu)造：把n個 “0”先排起來，然后再把“1”插進去，n個“0”可以排出n+1個位置，然后把n 個沒區(qū)別的“1”放進去，所有的放法 ,沒有兩個排在一起，只要在n+1個位置中取出m個位置放入 “1”。,例 p(11) 一個盒子中有10個同型號的電子元件，其中6個正品，4個次品，隨機的逐個的不放回的抽取，進行試驗，直到取出4個次品為止，求第四個次品在第5次測試中被發(fā)現(xiàn)的概率。,例 p(12) 由n個人組

6、成的團隊參加團體訓(xùn)練，其中甲乙兩人是好朋友；若n個人任意排成一排，或n個人圍成一圈，求甲乙兩人之間恰有k個人（kn-1）的概率。,作業(yè)：8，9，12，16,4 幾何概型概率的計算,例 某人的表停了，他打開收音機聽電臺報時， 已知電臺是整點報時的，問他等待報時的時 間短于十分鐘的概率,9點,10點,10分鐘,幾何概型 設(shè)樣本空間對應(yīng)于一個有限區(qū)域，若樣本點 落入內(nèi)任何區(qū)域G 中的概率與區(qū)域G 的測度 成正比，則樣本點落入G內(nèi)的概率為,例 兩船欲停靠同一個碼頭，設(shè)兩船到達碼頭 的時間各不相干，而且到達碼頭的時間在 一晝夜內(nèi)是等可能的。如果兩船到達碼頭 后需在碼頭停留的時間分別是1小時與2小 時，試

7、求在一晝夜內(nèi)，任一船到達時，需 要等待空出碼頭的概率。,解 設(shè)船1 到達碼頭的瞬時為 x ，0 x 24 船2 到達碼頭的瞬時為 y ，0 y 24,設(shè)事件 A 表示任一船到達碼頭時需要等待 空出碼頭,頻率與概率的統(tǒng)計定義,定義 設(shè)在 n 次試驗中，事件 A 發(fā)生了nA 次， 則稱,為事件A 在這 n 次試驗中發(fā)生的頻率,頻率的性質(zhì),事件 A, B互斥，則,可推廣到有限個兩兩互斥事件的和事件,頻率的穩(wěn)定性與概率的統(tǒng)計定義,例 投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù),Buffon n = 4040, n H=2048, f n( H ) = 0.5069,Pearson n = 12000, n H =6

8、019, f n( H ) = 0.5016,Pearson n = 24000, n H =12012, f n( H ) = 0.5005,例 Dewey G. 統(tǒng)計了約438023個英語單詞中各 字母出現(xiàn)的頻率，發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)的頻率 不同：,A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0

9、594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,2. 概率的公理化定義及其性質(zhì),定義 設(shè)E 是一隨機試驗， 是其樣本空間，若 能找到一個法則，使得對于E 的每一事件 A 賦于一個實數(shù)，記為P ( A ), 稱之為事件 A 的概率，這種賦值滿足下面的三條公理：,非負性：,規(guī)范性：,概率的性質(zhì),若,對任意兩個事件A, B, 有,B = AB + (B - AB),P ( B ) = P ( AB ) + P ( B - AB ),加法公式：對任意兩個事件A, B, 有,推廣：,例

10、 某人外出旅游兩天，需要知道兩天的天氣 情況，據(jù)天氣預(yù)報，第一天下雨的概率為 0.6, 第二天下雨的概率為0.3, 兩天都下雨 的概率為0.1. 求 第一天下雨，第二天不下雨的概率 兩天至少有一天下雨的概率 兩天都不下雨的概率 兩天至少有一天不下雨的概率,解 設(shè)A1, A2 分別表示第一天下雨與第二天下雨,(1),(2),(3),(4),例 設(shè)A , B 是兩事件，P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 問在什么條件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？,解,（當(dāng) ）,最小值,最大值,（當(dāng) ）,例 在1,2,3,9中可重復(fù)地任取 n 個數(shù)（ ）, 求 n

11、 次取到的數(shù)字的乘積能被10整除的概率,解,設(shè) A 表示事件 “n 次取到的數(shù)字的乘積能被 10整除”,設(shè) A1 表示事件 “n 次取到的數(shù)字中有偶數(shù)” A2表示事件 “n 次取到的數(shù)字中有5”,A = A1 A2,例 把標(biāo)有 1,2,3,4 的 4 個球隨機地放入標(biāo)有 1,2,3,4 的 4 個盒子中，每盒放一球，求 至少有一個盒子的號碼與放入的球的號 碼一致的概率,解 設(shè) A 為所求的事件,設(shè) Ai 表示 i 號球入 i 號盒， i = 1,2,3,4,則,由加法公式,例 利用概率模型證明,思考題,1654年，法國著名數(shù)學(xué)家帕斯卡，被一名叫梅勒的賭徒遇到的問題難住了，梅勒和他的朋友每人出30枚硬幣，約定兩人誰先贏滿3局，誰就可以得到全部賭注，在游戲進行了一會兒之后，梅勒贏了2局，對方贏了1局，這時梅勒有急事需要離開，他們該如何分桌上的60枚金幣的賭注？梅勒的朋友認為既然他接下來贏的機會是梅勒的一半，那么他該得20枚，梅勒拿40枚。然而梅勒認為再擲一次骰骰子，即使他輸了，游戲也是平局，他最少也能得到賭注的一半（30枚），但是，但如果