1、第七節(jié) 指數(shù)函數(shù)教 材 面 面 觀1指數(shù)(1)根式根式的定義：如果_，那么x叫做a的n次方根，其中n為大于1的整數(shù).叫做根式，這里n叫做_，a叫做_；根式的性質(zhì)：()當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有_.()_沒有偶次方根；()零的任何次方根都是_(2)指數(shù)冪的有關(guān)概念正整數(shù)指數(shù)冪：_aa (nN*)；零指數(shù)冪：a0_；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：ap_；正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a_；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a_；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪_(3)有理指數(shù)冪的性質(zhì)aras_(a0，r、sQ)；(ar)s_(a0，r、sQ)；(ab)r_(a0，b0，rQ)答案xna根指數(shù)被開方數(shù)|a|負(fù)數(shù)0an1(a0)(a0

2、，m、nN*，且n1)(a0，m、nN*，且n1)沒有意義arsarsarbr2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)定義_叫做指數(shù)函數(shù)定義域_值域_圖象性質(zhì)(1)_(2)圖象經(jīng)過_點(diǎn)(3)a1，當(dāng)_時(shí)，y1；當(dāng)_時(shí)，0y1.0a1，當(dāng)_時(shí)，0y1；當(dāng)_時(shí)，y1.(4)a1，yax為增函數(shù)，0a1，yax為_(5)_(填奇偶性)答案yax(a0，a1的常數(shù))(，)(0，)y0(0,1)x0x0x0x0減函數(shù)非奇非偶函數(shù)3指數(shù)方程在指數(shù)里含有未知數(shù)的方程叫做指數(shù)方程指數(shù)方程的可解類型，可分為(1)形如af(x)ag(x)(a0，a1)的方程，化為_求解(2)形如af(x)bg(x)(a0，b0，a1，b1)的方程

3、，通過兩邊_求解(3)形如a2xbaxc0的方程，用_求解答案f(x)g(x)取對(duì)數(shù)換元法考 點(diǎn) 串 串 講1指數(shù)(1)根式式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)根式的性質(zhì)：n為任意正整數(shù)，()na；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)|a|.(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a(a0，m、nN*，且n1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a(a0，m、nN*，且n1)(3)指數(shù)的運(yùn)算amanamn(a0)；(am)namn(a0)；(ab)mambm(a0，b0)；amanamn(a0)；()n(a0，b0)2指數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)(1)定義一般地，函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x

4、是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.注意在指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)中，冪指數(shù)x是自變量，冪底數(shù)為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)大于0，不等于1.如y2x，y()x，y()x都是指數(shù)函數(shù)，而像y()x，y1x，y2x1，yx4，y4x，這些都不是指數(shù)函數(shù)因?yàn)閷?duì)于y()x，比如當(dāng)x取(nN)這些值時(shí)，這個(gè)式子就沒有意義了而對(duì)于y1x，無論x為何值，y1x1，這個(gè)函數(shù)沒有研究的必要，再說這個(gè)函數(shù)是多值對(duì)應(yīng)的，如果讓它加盟到指數(shù)函數(shù)中來將破壞指數(shù)函數(shù)的統(tǒng)一單調(diào)性，因此干脆將a1這種情況排除，所以限定a0且a1.對(duì)于y2x1，雖然冪的底數(shù)是一個(gè)大于0且不等于1的常數(shù)，但指數(shù)是x1，不是x.而yx4是冪函數(shù)而不是指數(shù)函數(shù)，

5、y4x是1與指數(shù)函數(shù)4x的乘積，所以它不是指數(shù)函數(shù)(2)圖象與性質(zhì)一般地，指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)在底數(shù)a1及0a1兩種情況下的圖象與性質(zhì)如下表所示：a10a1圖象性質(zhì)(1)定義域：R(2)值域：R(3)過點(diǎn)(0,1)(4)在R上是增函數(shù)(4)在R上是減函數(shù)說明：從圖象上還可以看出：若a1，則當(dāng)x時(shí)，y；當(dāng)x時(shí)，y0；當(dāng)x0時(shí)，y1；當(dāng)x0時(shí)，0y1；當(dāng)x0時(shí)，y1.若0a1，則當(dāng)x時(shí)，y0；當(dāng)x時(shí)，y；當(dāng)x0時(shí)，0y1；當(dāng)x0時(shí)，y1；當(dāng)x0時(shí)，y1.指數(shù)函數(shù)的圖象都在x軸的上方，而且當(dāng)a1時(shí)，隨著底數(shù)a值的增大，函數(shù)yax的圖象從左到右越來越陡峭；當(dāng)0a1時(shí)，隨著底數(shù)a值的增大，函數(shù)

6、yax的圖象從左到右，越來越平坦如圖所示典 例 對(duì) 對(duì) 碰題型一 運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算、化簡(jiǎn)例1化簡(jiǎn)：解析(1)x1(x1)(xx1)，x1(x1)(xx1)，xxx (x1)(x1)，原式x1xx1x (x1)x. 點(diǎn)評(píng)這里著重選擇了立方和、立方差公式在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中的應(yīng)用，化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)把分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪看作一個(gè)整體，這樣就可以使用有理式中的一切乘法及因式分解的公式.變式遷移1化簡(jiǎn)下列各式：題型二 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例2求函數(shù)y()|12x|x2|的單調(diào)區(qū)間分析應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)因?yàn)樽冊(cè)谥笖?shù)位置，所以要注意底數(shù)數(shù)值；(2)因?yàn)楹瘮?shù)解析式中含有絕對(duì)值符號(hào)，所以要分段討論解析(1)當(dāng)x時(shí)，y()1

7、2xx2()13x23x18x，函數(shù)在(，)上為增函數(shù)(2)當(dāng)x2時(shí)，y()12xx2()3x23x()x，函數(shù)在，2)上為減函數(shù)(3)當(dāng)x2時(shí)，y()12xx2()3x1213x2()x，函數(shù)在2，)為減函數(shù)又x1，2)，x22，)時(shí)，2()x2()x1223x2232x1213x223x1.又13x2(3x1)43x2x14x13x20，13x23x1.213x223x1，即2()x2()x1.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增，而在區(qū)間，)上單調(diào)遞減.變式遷移2求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間(1)y()6x2x2；(2)y2x2x6.解析(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽.令u6x2x2，則y()u.

8、二次函數(shù)u6x2x2的對(duì)稱軸為x，在區(qū)間，)上u6x2x2是減函數(shù)又函數(shù)y()u是減函數(shù)函數(shù)y()6x2x2在區(qū)間，)上是增函數(shù)(2)令tx2x6，則y2t.二次函數(shù)tx2x6的對(duì)稱軸是x，在區(qū)間，)上tx2x6是增函數(shù)又函數(shù)y2t為增函數(shù)函數(shù)y2x2x6在區(qū)間，)上是增函數(shù).題型三 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域和值域問題例3求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y()2xx2；(2)y分析由于指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)的定義域是R，所以函數(shù)yaf(x)(a0且a1)與函數(shù)f(x)的定義域相同，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域解析(1)顯然定義域?yàn)镽.2xx2(x1)211，且y()x為減函數(shù)()2xx2()

9、1.故函數(shù)y()2xx2的值域?yàn)椋?(2)由32x10，得：32x132，y3x為增函數(shù)，2x12，即x，此函數(shù)的定義域?yàn)椋?，由上可知32x10，y0.即函數(shù)的值域?yàn)?，).變式遷移3求下列函數(shù)的值域：(1)y10；(2)y.解析(1)由|x|x0，可知x0，且0.又函數(shù)y10x是增函數(shù)，函數(shù)y10的值域?yàn)?1，)(2)令t2x，則t0.又ut26t10在(0，)遞增，u10，y.故所求的值域?yàn)?，).題型四 與指數(shù)函數(shù)圖象有關(guān)的問題例4當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)yax和y(a1)x2的圖象只能是圖中的()解析a2，指數(shù)函數(shù)yax是增函數(shù)，二次函數(shù)y(a1)x2開口向上故選A.答案A變式遷移4函數(shù)yax

10、(b1)(a0，且a1)的圖象在第一、三、四象限，則必有()A0a1，b0B0a1，b0Ca1，b1 Da1，b0答案D解析由函數(shù)圖象的大致形狀，可知a1，b11，即a1，b0.題型五 指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用例5已知函數(shù)f(x)()x3(a0且a1)(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)討論函數(shù)f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范圍，使f(x)0在定義域上恒成立分析因?yàn)閤3對(duì)任意xR都有意義，且其單調(diào)性和奇偶性很顯然，所以解決該題的關(guān)鍵是討論的性質(zhì)解析(1)由于ax10，且ax1，所以x0.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x0(2)對(duì)于定義域內(nèi)任意x，有f(x)()(x)3()(x)3(1)(x)3()x

11、3f(x)，f(x)是偶函數(shù)(3)當(dāng)a1時(shí)，對(duì)x0，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知ax1，ax10，0.又x0時(shí)，x30，x3()0，即當(dāng)x0時(shí)，f(x)0.又由(2)，f(x)為偶函數(shù)，知f(x)f(x)，當(dāng)x0時(shí)，x0，有f(x)f(x)0成立綜上可知，當(dāng)a1時(shí)，f(x)0在定義域上恒成立當(dāng)0a1時(shí)，f(x).當(dāng)x0時(shí)，1ax0，ax10，ax10，x30，此時(shí)f(x)0，不滿足題意；當(dāng)x0時(shí)，x0，f(x)f(x)0，也不滿足題意綜上可知，所求a的取值范圍是a1.點(diǎn)評(píng)(1)判斷此類函數(shù)的奇偶性，常需要對(duì)所給式子變形，以達(dá)到所需要的形式，另外，還可利用f(x)f(x)，來判斷(2)將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)

12、化為求函數(shù)值域問題，是解決恒成立問題的常用方法.變式遷移5已知f(log2x)，(1)求出yf(x)的解析式；(2)寫出yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)討論f(x)與f(x1)的大小解析(1)設(shè)tlog2x，則x2t，f(t)|2t1|，故f(x)|2x1|.(2)f(x)|2x1|f(x)在0，)上為增函數(shù)，在(，0上為減函數(shù)(3)當(dāng)x0時(shí)，x1x0，由f(x)的增函數(shù)性質(zhì)知f(x1)f(x)；當(dāng)x10，即x1.由xx10且由f(x)的減函數(shù)性質(zhì)知f(x1)f(x)當(dāng)1x0時(shí)，f(x1)f(x)(2x11)(12x)32x2.1xlog2時(shí)，32x20f(x1)f(x)；xlog2時(shí)，32x20

13、f(x1)f(x)；log2x0時(shí)，32x20f(x1)f(x)綜上所述：當(dāng)log2x0時(shí)，f(x1)f(x)；當(dāng)xlog2時(shí)，f(x1)f(x)；當(dāng)1xlog2時(shí)，f(x1)f(x)【教師備課資源】題型六 整體代換思想在指數(shù)式運(yùn)算中的應(yīng)用例6若xx3，求的值分析先由已知求得x再代入所求式子，可以求出值，但較為麻煩，能否不求x，利用整體代換呢？觀察所求式子的特點(diǎn)，可由已知兩邊平方，三次方求出所求式子分母、分子的值解析由xx3，兩邊平方得xx17，再平方得x2x247.x2x2245.由xx3，兩邊立方得27. 即315.原式.變式遷移6設(shè)x3x32，求x的值解析設(shè)xt，則t323t.即t33t

14、20，(t1)(t2t2)0，(t1)2(t2)0.x3與x同號(hào)，x0，故x2.題型七 含參數(shù)的指數(shù)函數(shù)問題例7已知函數(shù)f(x)3x，且f(a2)18，g(x)3ax4x的定義域?yàn)閰^(qū)間1,1(1)求g(x)的解析式；(2)判斷g(x)的單調(diào)性；(3)若方程g(x)m有解，求m的取值范圍解析(1)f(a2)18，f(x)3x.3a218，即3a2.故g(x)(3a)x4x2x4x，x1,1(2)g(x)(2x)22x(2x)2.當(dāng)x1,1時(shí)，2x，2，令t2x.由二次函數(shù)單調(diào)性(t)2在，2上是減函數(shù)函數(shù)g(x)在1,1上是減函數(shù)(3)由(2)知t2x，2，則方程g(x)m有解方程2x4xm在1

15、,1內(nèi)有解mtt2(t)2，t，2m的取值范圍是2，.變式遷移7設(shè)a0，且a1，如果函數(shù)ya2x2ax1在1,1上的最大值為14，求a的值解析ya2x2ax1(ax1)22.由x1,1知：當(dāng)a1時(shí)，axa1，a顯然當(dāng)axa，取x1時(shí)，ymax(a1)22.(a1)2214，即a3(a5舍去)如果0a1，則由x1,1，得axa，顯然ax，即x1時(shí)，ymax(1)22.(1)2214，a(a舍去)綜上所述：a或a3.方 法 路 路 通1比較兩個(gè)冪值的大小是一種常見題型，也是一類容易做錯(cuò)的問題解決這類問題，首先要分清是底數(shù)相同還是指數(shù)相同，如果底數(shù)相同，可采用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；如果指數(shù)相同，可利用冪

16、函數(shù)的單調(diào)性；如果底數(shù)和指數(shù)都不相同，則要引入中間量來比較2指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)是單調(diào)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)yau(其中u是關(guān)于x的函數(shù)u(x)的單調(diào)性，由yau和uu(x)的單調(diào)性綜合確定利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可以處理有關(guān)指數(shù)式的比較大小問題；以及某些最簡(jiǎn)指數(shù)方程(不等式)的求解3對(duì)于指數(shù)函數(shù)yax的有界性是指ax0，也就是說其值域?yàn)?0，)4與指數(shù)函數(shù)yax密切相關(guān)的函數(shù)y(axax)，y(axax)的單調(diào)性、奇偶性經(jīng)常出現(xiàn)于各種習(xí)題中，請(qǐng)注意歸納和總結(jié).正 誤 題 題 辨例關(guān)于x的方程()x有負(fù)根，求a的取值范圍錯(cuò)解錯(cuò)解一：()x有負(fù)根，0，或解之得a5或a.錯(cuò)解二：()x有負(fù)根，x0.x