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第四章 矩陣分解,本章主要介紹QR分解、滿秩分解、奇異值分解。這些分解在計(jì)算數(shù)學(xué)、最優(yōu)化問(wèn)題中都扮演著十分重要的角色，尤其是QR分解所建立的QR方法，它對(duì)數(shù)值代數(shù)理論的發(fā)展起著關(guān)鍵的作用。,第一節(jié) 矩陣的滿秩分解,一.矩陣的滿秩分解,定義 設(shè) ,若存在矩陣 及 ,使得 ，則稱其為A的一個(gè)滿秩分解.,定理4.3 任何非零矩陣均存在滿秩分解,注：滿秩分解不唯一,例 求下列矩陣的滿秩分解.,第二節(jié) 矩陣的QR分解,定義 如果方陣可以分解成一個(gè)酉（正交）矩陣與一個(gè)復(fù)（實(shí)）上三角矩陣的乘積，即A=QR，此式稱為A的一個(gè)QR分解.,矩陣的分解在數(shù)值代數(shù)中起著重要作用，它為計(jì)算特征值的數(shù)值方法提供了理論依據(jù)，并且是求解線性方程組的一個(gè)重要工具.,定理4.6 如果階方陣 非奇異，則存在酉（正交）矩陣Q和復(fù)（實(shí)）的正線（主對(duì)角元素全為正實(shí)數(shù)）上三角矩陣R，使得 A=QR. 且除相差一個(gè)對(duì)角元的模（絕對(duì)值）全等于1的對(duì)角陣因子外，分解式是唯一的.,推論1 設(shè)矩陣 ，則存在n階酉（正交）矩陣Q和r階復(fù)（實(shí)）的正線上三角矩陣R使得,推論2 設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在正線上三角矩陣R，使得 .

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