1、1,第五節(jié) 極限運(yùn)算法則,二、極限四則運(yùn)算法則,四、小結(jié) 思考題,一、無窮小的性質(zhì),三、復(fù)合函數(shù)的極限,2,一、無窮小的運(yùn)算性質(zhì),【教材上證明的是xx0時(shí)的情形】,【定理1】 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.,【證】,考慮兩個(gè)無窮小之和，且僅證 的情形,1）和的性質(zhì),3,【注意】無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.,n個(gè),【例如】,非無窮小,4,【證】,【定理2】有界函數(shù) 與無窮小 的乘積是無窮小.,【分析】,（僅證 時(shí)）,（注：M為定值）,2）乘積的性質(zhì),設(shè),又設(shè),即,當(dāng),時(shí), 有,取,則當(dāng),時(shí) , 就有,【證完】,故,即,是,時(shí)的無窮小 .,5,【推論1】 有極限的變量與無窮小的乘積是無窮

2、小.,【推論2】 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,【推論3】 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.,都是無窮小,【例1】,【解】,由定理 2 可知：,【說明 】 y = 0 是,的漸近線 .,6,二、極限的運(yùn)算法則,【定理3】,【證】,由無窮小運(yùn)算法則,得,以下符號lim表示自變量的同一變化過程,推廣到有限項(xiàng),【聲明】,1.函數(shù)極限運(yùn)算法則,7,由第三節(jié)定理3*得,8,【推論1】,常數(shù)因子可以提到極限記號外面.,【推論2】,有界，,函數(shù)和,差,積,商的極限等于極限的和,差,積,商.,9,【定理4】,設(shè)數(shù)列,【注意】,定理3及其兩個(gè)推論成立的前提條件是：,“f (x)與g (x)的極限存在”,若,則,2

3、.數(shù)列極限運(yùn)算法則,【提示】因數(shù)列是一種特殊的函數(shù) ,故此定理4 可由,定理3（x情形）與海因定理直接得出結(jié)論 .,10,【定理5】,【證】,令,則,由定理3可知,由第三節(jié)函數(shù)極限的局部保號性的推論可知,【證完】,3.極限保序性,11,【例2】,【解】,求極限方法舉例,12,【小結(jié)】,需特別注意,13,【解】,商的法則不能用,【例3】,【方法】無窮大的倒數(shù)法,x = 1 時(shí),分母 = 0 , 分子0 ,但因,14,【解】,【例4】,【方法】消去零因子法,在x1（但x1）時(shí)是相同的函數(shù),故而極限相等,15,【例5】,【解】,【方法】抓大頭（以消除不定性）無窮小量分出法,16,【小結(jié)】,以分子、分

4、母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限的方法，稱之.,【無窮小量分出法】,分式求極限一般有如下結(jié)果：,為非負(fù)常數(shù) ),17,【例6】,【解】,先變形再求極限.,【方法】先變形再求極限法,18,【小結(jié)】無窮多項(xiàng)和或積的極限的一般解法是：,利用夾逼準(zhǔn)則（第六節(jié)內(nèi)容介紹）,把無限和或積通過恒等變形化為有限表達(dá)式再求之.,詳見高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)P21 例19,【特別注意】,含無窮多項(xiàng)和或積的極限，不能逐項(xiàng)求極限.應(yīng)先寫為有限表達(dá)式，再求極限.,19,【例7】,【解】,左右極限存在且相等,【方法】分段函數(shù)在分界點(diǎn)的極限，一般考察左右極限.,20,三、復(fù)合函數(shù)的極限法則,【分析】,需證

5、,有,1.【定理6】,21,【證明】,有,有,（1）,（2）,22,【意義】,（換元法求極限）,（1）（2）兩式同時(shí)成立,即,從而,此即,【證完】,23,【注意】,為方便記憶，定理6可簡單的敘述為,內(nèi)層函數(shù)極限存在、外層函數(shù)極限也存在，則復(fù)合后的函數(shù)極限必存在.(不嚴(yán)格),若定理6中,則類似可得,2、【方法】直接代入法,24,【例8】,【解】,【方法】先有理化后可變?yōu)槎ㄊ?25,三、小結(jié),1. 【極限運(yùn)算法則】,(1) 無窮小運(yùn)算性質(zhì),(2) 極限四則運(yùn)算法則,(3) 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則,注意使用條件,26,(4) 復(fù)合函數(shù)極限求法,設(shè)中間變量,(2)利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限,(3)利用左右極限求分段函數(shù)極限,2. 【求函數(shù)極限的方法】,(1) 多項(xiàng)式、分式函數(shù)極限求法,1) xx0時(shí), 用代入法,( 分母不為 0 ),2) xx0時(shí), 對,型 , 消去無窮小公因子,3) x時(shí) , 分子分母同除最高次冪,“ 抓大頭”,無窮小因子分出法,27,【思考題】,在某個(gè)過程中，若 有極限，