1、第三章 極限與函數(shù)的連續(xù)性,一 割圓術(shù)：,劉徽（公元 3 世紀，魏晉時代，九章算術(shù)）利用圓內(nèi)接正多邊形來計算圓的面積，把正n邊形的面積記為 Sn,當 n 越來越大時， Sn 越接近于圓的面積。,即：求圓的面積就要看當 n無限增大時，Sn 的變化趨勢這就是數(shù)列的極限。,1 極限問題的提出,如圖所示 , 可知,二 瞬時速度,以前（中學）一般討論平均速度：需討論一個運動的物體在某一時刻 t 的速度（設(shè)為瞬時速度）,2 數(shù)列的極限,定義域為正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列，,記為xn,即有,xn 是數(shù)列的第 n 項,，也叫做數(shù)列的通項。,數(shù)列也可表示為,定義3.1,寫出來就是,寫出來就是,寫出來就是,例如,1、極

2、限的概念,=,=,例1,例2,無限增大時，,越變越小，無限的接近于1，因此,的極限是1。,當,例3,=,并不無限接近一個常數(shù)，因此說它沒有極限。,當,無限增大時，,也無限增大，,一個常數(shù)，因此也沒有極限。,它在0和2兩個數(shù)中不停的跳動，,前三個數(shù)列的特點：當,無限增大時，,的值無限地接近某個數(shù) .,例4，例5中的數(shù)列沒有極限。,“當,無限增大時，,無限接近于,”是什么意思?,例5,例4,也不是無限地接近,分別對,(只要n 10), 0.001,(只要n 1000),盡管,“很小”，但畢竟是確定的數(shù)。要描述,可以任意小，必須對任意的（無論多么?。┑恼龜?shù)都能做到，,才行。這也能夠做到。從,可知只要

3、,即可。也就是說 取,，當,時，,即從第,項以后的所有項都滿足,例：,都可以做到.,綜上：“當,無限增大時，,無限接近于0”的實質(zhì)是：對任意給定的,（無論它多么?。?，總存在一個正整數(shù),（例取,），,時，,. 將上面的語言抽象化，有下面定義：,正數(shù),當,是一數(shù)列，,是一實數(shù)，若對于任意給定的正數(shù) ,存在正整數(shù),，當,時，都有, 則稱,為數(shù)列,收斂，且收斂于 ,記為,或,的極限。或數(shù)列,定義3.2,沒有極限的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列。,的極限為,”的幾何意義,“數(shù)列,（不一定去找滿足要求的最小的 ）,幾點說明：,1.使用鄰域概念：開區(qū)間,稱為,的,鄰域，記為,對任意給定的,，存在,，當,時，,定義中,必須

4、具有任意性：這樣才能保證,與,但為表明漸近過程的不同階段，,又具有相對固定性。即,是通過無限多個相對固定性表現(xiàn)出來的。,的無限接近，,的任意性,這就是任意與固定的辨證關(guān)系。,的某個函數(shù)也可有同樣作用。,3.,2.,定義中，自然數(shù) 不是唯一的。若存在,滿足要求，,任一自然數(shù)都能起到,的作用，,則比,大的,所以強調(diào)自然數(shù)的存在性,4.,下面看幾個例子：,證明,例6,，證明,證法1 ：若,，結(jié)論顯然成立。故不妨設(shè),對任意給定的,，不妨設(shè),，要使,，即,只要,，令,，則當,時，有,. 這就證明了,設(shè),證法2：,由,知存在,，使得,，從而,對任給的,，要使,，只要放大后的,. 因此取,，則當,時，有,這

5、就證明了 .,不妨設(shè),例7,極限為0的數(shù)列稱為無窮小量。,下面給出非常重要的定義：,的極限為,的充要條件是：,是無窮小量。,命題3.1,定義3.3,值得注意的是,無窮小量是一數(shù)列,而不是一個很小的常數(shù).,由極限的定義顯然有, 以a為極限等價于數(shù)列,以0為極限 . 我們把它寫成下面的命題,從前面的例子可見，,的過程，,出發(fā)，看滿足條件的,是否存在。我們只要找到一個就可以了，不管用的是什么方法。,適當放大到,于是我們很容易找到,當然放大要適當，要保證把,放大后仍然是無窮小量。,整個證明過程實際上是找,采用的是反推法，,即從,證明2用的是適當放大法，它將,證明,證明： 若,結(jié)論顯然成立。,. 記,，

6、則,因此,對任意給定的,，不妨設(shè),，取,，則當,時，有,最后設(shè),。這時存在,使,，因此,由于,，故對任意給定,，存在,，當,時，有,這樣我們證明了當,時，總有,設(shè),例8,證明,證明 ： 當,時，,對任意給定的,，取,則當,即,時，有,例9,2、極限的四則運算與性質(zhì) 尋找求極限的方法,則,定理實際上說的是：極限運算和四則運算可以交換次序。,設(shè),定理3.1,給出收斂數(shù)列的兩個性質(zhì)：,稱數(shù)列,有界，若存在正數(shù),對一切的,成立，等價于：若存在,，使得,，又稱,分別為,的下、上界。,，使得,定義3.4,（有界性） 有極限存在的數(shù)列必有界。,定理3.2,若,無界，則,發(fā)散。,推論3.1,證明,設(shè)數(shù)列,有極

7、限a . 由定義，對,則存在N,當,，時有,因此,令,則,這就證明了,是有界的。,證明：由,知對,，存在N, 當 nN時，有,，從而,證畢。,（保號性）若,，則存在N，當,時，有,設(shè),若,則存在,，當,時，有,若,則存在,，當,時，有,證明：,由,知對,存在,當,時，有,即有,推論3.2,定理3.3,定理3.1的證明：,對任意,，有,任給,，由,及,由定理3.2，知存在,，使,又知存在,，當,時，有,并存在,，當,時，,令,則當,時，有,這就證明了,有,根據(jù)極限定義，,由,，根據(jù)推論3.2，存在,，當,時，有,從而當,時，有,已知,由極限定義，對任意給定的,存在,，當,時，有,存在,，當,時，

8、有,若,， 是常數(shù)，則,若,是無窮小量，,是有界數(shù)列，則,是無窮小量。,由定理3.1知，無窮小量的代數(shù)和、積仍是無窮小量。,推論3.3,定理3.4,令,則當,時，有,這就證明了,求,解 因為,，,是有界數(shù)列，,例10,而,所以,求,解,例11,更一般的，若,是正整數(shù)，,則,（保序性）若,，且,則存在,當,時，有,（用定理3.3的證明方法） 對,，由,知存在,當,時，有,則有,又由,知存在,，當,時，有,則有,，則當,時，有,令,，則,由定理 3.3 知, 存在,當,時，有,即,，這又證明了定理3.5,證法2,證法1,定理3.5, 令,（用定理3.3的結(jié)論）,定理3.6（極限不等式）,若對任意的

9、正整數(shù) n ，有,且,則,證明 用反證法。如果不然 ,設(shè),，當,，與假設(shè)條件矛盾，故必有,則由定理3.5，存在,時,有,如果條件,注意到數(shù)列的前有限項并不影響數(shù)列的極限，因此定理3.6的條件可以減弱為“存在 ，當 時, 有,改為,并不能得到,的結(jié)論。,例如,，,可見結(jié)論也只能得到,定理3.6表明，在極限存在的前提下，可以在不等式兩邊取極限，但千萬不要忘記“帶上等號”。,但,定理3.7（唯一性）,若數(shù)列極限存在，則極限是唯一的,證明,用反證法。如果不然，設(shè),有極限a和b，,不放設(shè),對,，存在,，當,有,時,同樣存在,，當,時,有,故當,時，有,這是不可能的，這就證明了極限的唯一性。,定理3.8.

10、 夾迫性,證:,由條件 (2) ,當,時,當,時,令,則當,時, 有,故,例12,設(shè),其中,求證,證明,由于,而,由定理3.8即得,例13,證明,證法1,當,時，,令,其中,這時,因此,故,已知,由定理3.8得,時 ，由平均值不等式得,而由定理3.8得,當,證法2,（單調(diào)有界原理單調(diào)有界數(shù)列存在極限）,(要證有極限，到目前只能用定義才可能可行，,，然后再證這個數(shù)就是,的極限. ),單調(diào)上升有上界的數(shù)列必有極限。,單調(diào)下降有下界的數(shù)列必有極限,證明：設(shè)數(shù)列,單調(diào)上升有上界,一個合適的數(shù),如何確定? 想到實數(shù)基本定理。,定理3.9,故要先確定,需要構(gòu)造實數(shù)得一個分劃：A|B,令B是,全體上界組成的

11、集合，即,取A=RB , 則A|B是實數(shù)R的一個分劃：事實上 ,不空：,有上界，知B不空，又,單調(diào)上升，故,不是,的上界,所以,任取,（往證 ),因 a不是,的上界，所以存在,使,，又b為,的一個上界，故,，所以,由,，即A也不空,由A=RB 知A，B不漏,不漏：,不亂：,根據(jù)實數(shù)基本定理 ，存在,，使得對任意,，有,下證,任給,（要證：,，當,時，,）,由于,，即,不是,的上界，故存在N，使,，又,單調(diào)上升,所以當,又,，即,為,的一個上界，故對任意 n，有,所以當,時，有,，即,這就證明了,單調(diào)有界原理只斷言極限存在，而沒有給出如何求出極限。但即使只給出極限的存在性，有時已能提供計算的方法

12、。,設(shè),求,的極限。,例14,解 顯然,單調(diào)上升，下面用數(shù)學歸納法證明,有上界.,. 若,則, 故,從而必有極限。設(shè)極限為a，由,令,，即得,解得,或,由于,，故必有,。舍去,故,單調(diào)上升有上界，,顯然,注:上述例14中的數(shù)列是一個遞推數(shù)列（迭代數(shù)列），一般定義,在求此數(shù)列的極限時，極限存在性的前提是非常重要的。,，它的極限不存在，但是它滿足,，令,兩邊取極限，使得,即,最后看單調(diào)有界原理的一個重要結(jié)果，,例如,考察數(shù)列,，這顯然是荒謬的結(jié)論,證明數(shù)列,的極限存在.,記這一極限為e，即,例15,證明見45頁,注:前面從幾個方面（特別是定義）敘述,的極限是,如何用肯定的語氣敘述“,不是以,為極限

13、”,對照極限的定義，根據(jù)任意與存在的對應(yīng)規(guī)則，逐步分解來找：,對任給,，存在N，當,時，,不成立,存在某個,不存在N，使當,時，,存在,存在,，滿足,但,總之：,存在,，對任意的N，存在,使,不成立”?,對任意的N，,或“,無窮大量,3、,在發(fā)散的數(shù)列中，有一種特殊的數(shù)列 ：當,無限增大時，,也無限增大。,例如：,我們稱這種數(shù)列為無窮大量，仿,語言，有定量化的定義。,定義 3.4,設(shè),是一數(shù)列，若對于任意給定的G0，,時，有,則稱,是無窮大量,或,存在正整數(shù)N，當,記為,從幾何上看，無窮大量是指任意給定區(qū)間,必然從某項,起，后面的所有項都落在區(qū)間,之外。換句話說，數(shù)列,至多有N項,落在區(qū)間,之中。,證明,對任意給定的G0,不妨設(shè)G2 ，要使,即,只要,令,，則當,時，有,，即,是無窮大量.,和,的定義，分別稱,為正窮大量和負無窮大量.,例16：,是無窮大量。,證明,類似給出,例17,證明,證明,對任意給定的,，不妨設(shè),，要使,，只要, 取,，則當,時，有,故,非無窮大量的肯定敘述：,使,由此證明：1，0，2，0，3，0，, n，0,不是無窮大量。,無窮大量的運算法則和性質(zhì)：,1、無窮大量和無窮