1、2020/9/4,1,第四節(jié) 無(wú)窮小與無(wú)窮大,一、無(wú)窮小 二、無(wú)窮大 三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系 四、小結(jié) 思考題,2020/9/4,2,一、無(wú)窮小,1、定義:,極限為零的變量稱為無(wú)窮小.,2020/9/4,3,例如,注意,（1）無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;,（2）零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).,2020/9/4,4,2、無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:,證,必要性,充分性,2020/9/4,5,意義,（1）將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);,3、無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):,定理2 在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.,證,2020/9/4,6,注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.

2、,2020/9/4,7,定理3 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.,證,2020/9/4,8,推論1 在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.,推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.,推論3 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.,都是無(wú)窮小,2020/9/4,9,二、無(wú)窮大,絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.,2020/9/4,10,特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大,注意,（1）無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;,（3）無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.,2020/9/4,11,不是無(wú)窮大,無(wú)界，,2020/9/4,12,證,2020/9/4,13,三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,定理4 在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.,證,2020/9/4,14,意義 關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.,2020/9/4,15,四、小結(jié),1、主要內(nèi)容:,兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.,2、幾點(diǎn)注意:,無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.,（1） 無(wú)窮?。?大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；,（2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小；,（3） 無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.,2020/9/4,16,思考題,作業(yè)：P43 習(xí)題1-4 2（2），3,2020/9/4,17,思考題解答,不能保證.,例,有,2020/9/4