1、1,第三節(jié) 偏 導(dǎo) 數(shù)與全微分,偏導(dǎo)數(shù),連續(xù)性與可微性,偏導(dǎo)數(shù)與可微性,小結(jié) 思考題 作業(yè),partial derivative,第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用,total differentiation,2,一、偏導(dǎo)數(shù),1. 定義,存在,內(nèi)有定義，,函數(shù)有相應(yīng)的增量,如果極限,則稱此極限為函數(shù),(稱為關(guān)于x的偏增量).,記為,對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),3,記為,或,同理,可定義函數(shù),為,記為,或,對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù),4,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù),仍是,的二元函數(shù),它就稱為函數(shù),如果函數(shù),對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù),(簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)),記作,或,同理,可定義函數(shù),對(duì)自變量y的,偏導(dǎo)函數(shù),(簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)),記作,或,在區(qū)

2、域d內(nèi)任一點(diǎn),(x, y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,5,結(jié)論:,6,偏導(dǎo)數(shù)的概念可以,推廣到二元以上函數(shù),設(shè),則,求多元函數(shù),對(duì)某個(gè)變?cè)?的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),作關(guān)于該變?cè)囊辉瘮?shù)來(lái)求導(dǎo)即可.,只要把其他變?cè)?dāng)作常量,而把函數(shù)當(dāng),7,求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),例 求 的偏導(dǎo)數(shù).,利用一元函數(shù),只需將y,的求導(dǎo)法對(duì)x求導(dǎo)即可.,看作常量,并不需要新的方法,例 求 的偏導(dǎo)數(shù).,8,三個(gè)偏導(dǎo)數(shù).,解,求某一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),例,變?yōu)橐辉瘮?shù),代入,在點(diǎn)(1,0,2)處的,可將其它變量的值,再求導(dǎo),常常較簡(jiǎn)單.,9,證,例,10,2、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,設(shè)二元函數(shù),在點(diǎn),有,如圖,為曲面,偏導(dǎo)數(shù).,上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn),作平面,此

3、平面,與曲面相交得一曲線,曲線的,方程為,由于偏導(dǎo)數(shù),等于一元函數(shù),的,導(dǎo)數(shù),故由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,11,可知:,偏導(dǎo)數(shù),在幾何上表示,曲線,在點(diǎn),處的切線對(duì),x軸的斜率;,偏導(dǎo)數(shù),在幾何上表示,曲線,在點(diǎn),處的切線對(duì)y軸的斜率.,12,思考,曲線,在點(diǎn)(2,4,5)處的切線,與x軸正向所成的傾角是多少?,解,在點(diǎn)(2,4,5)處的切線,與y軸正向所成的傾角是多少?,思考,曲線,13,解,例,按定義得,14,但前面已證,此函數(shù)在點(diǎn)(0,0)是不連續(xù)的.,按定義得,由以上計(jì)算可知,在點(diǎn),處可偏導(dǎo),15,偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系,？,一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù),多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)

4、,不了連續(xù)性.,偏導(dǎo)數(shù)都存在,函數(shù)未必有極限,更保證,16,x = x0上的值有關(guān) ,而與(x0, y0)鄰域內(nèi)其他點(diǎn)上,所以偏導(dǎo)數(shù)存在不能保證函數(shù),說(shuō)明,因偏導(dǎo)數(shù)fx (x0, y0)僅與,函數(shù) f (x, y)在y = y0,上的值有關(guān),偏導(dǎo)數(shù) f y(x0, y0)僅與,函數(shù) f (x, y)在,的函數(shù)值無(wú)關(guān),有極限.,17,二元函數(shù)f(x, y)在點(diǎn) (x0, y0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是 f (x, y) 在該點(diǎn)連續(xù)的 ( ).,a. 充分條件而非必要條件,b. 必要條件而非充分條件,c. 充分必要條件,d. 既非充分條件又非必要條件,d,

5、18,二、全微分,函數(shù)的變化情況.,偏導(dǎo)數(shù)討論的只是某一自變量變化時(shí),函數(shù)的變化率.,現(xiàn)在來(lái)討論當(dāng)各個(gè)自變量同時(shí)變化時(shí),19,先來(lái)介紹,全增量的概念,為了引進(jìn)全微分的定義,全增量.,域內(nèi)有定義,函數(shù)取得的增量,全增量.,20,全微分的定義,處的,全微分.,可表示為,可微分,在點(diǎn),則稱函數(shù),稱為函數(shù),記作,即,函數(shù)若在某平面區(qū)域d內(nèi)處處可微時(shí),則稱,可微函數(shù).,這函數(shù)在d內(nèi)的,而不依賴于,21,可微與偏導(dǎo)數(shù)存在有何關(guān)系呢？,?,微分系數(shù),全微分有類似一元函數(shù)微分的,a=? b=?,兩個(gè)性質(zhì):,全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).,的線性函數(shù);,高階無(wú)窮小.,22,類似一元函數(shù)的局部線性化,有

6、二元函數(shù)的局部線性化.,設(shè)函數(shù),表示一個(gè)平面,即,二元函數(shù),23,三、連續(xù)性與可微性, 偏導(dǎo)數(shù)與可微性,多元函數(shù)在某點(diǎn)可微是否保證,事實(shí)上,顯然,結(jié)論:,由全微分的定義有,可得,多元函數(shù)可微必連續(xù),連續(xù)的定義,?,不連續(xù)的函數(shù),函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù),如果函數(shù),可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).,一定是不可微的.,1. 可微與連續(xù),24,(1). 可微分的必要條件,由下面的定理來(lái)回答：,( 可微必偏導(dǎo)存在).,定理1,(可微必要條件),如果函數(shù),可微分,且函數(shù),的全微分為,2、可微的條件,25,證,總成立,同理可得,上式仍成立,此時(shí),的某個(gè)鄰域,如果函數(shù),可微分,26,多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在,下面

7、舉例說(shuō)明,二元函數(shù)可微一定存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).,一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在,?,由定理1知,結(jié)論：,27,如，,但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)卻不一定可微.,(由偏導(dǎo)數(shù)定義可求得),28,則,說(shuō)明它不能隨著,而趨于0,因此,如果考慮點(diǎn),沿直線,趨近于,29,說(shuō)明,這也是一元函數(shù)推廣到多元函數(shù)出現(xiàn)的又,函數(shù)是可微分的.,多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證,全微分存在.,一個(gè)原則區(qū)別.,現(xiàn)再假定函數(shù)的,則可證明,各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),30,(2). 可微分的充分條件,* 證,在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必存在的意思.,定理2,(今后常這樣理解).,用拉氏定理,(微分充分條件),假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)p(x,y)連續(xù),就含有偏導(dǎo)

8、數(shù),偏導(dǎo)數(shù),31,32,同理,33,在原點(diǎn)(0,0)可微.,并非必要條件.,如,事實(shí)上,注,定理2的條件,(即兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù),在點(diǎn),連續(xù)),可微的充分,僅是函數(shù),在點(diǎn),條件,同樣,34,在原點(diǎn)(0,0)可微.,于是,35,即函數(shù)f(x,y)在原點(diǎn)(0,0)可微.,但是,事實(shí)上,偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù).,所以,特別是,不存在.,即fx(x,y)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù).,極限,函數(shù)在一點(diǎn)可微,此題說(shuō)明:,在這點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù).,36,特別, 當(dāng) 時(shí),同樣當(dāng) 時(shí),因此,如果函數(shù)的微分存在,常寫成,37,記全微分為,通常把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和,疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況.

9、,習(xí)慣上,稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理,如三元函數(shù),則,38,解,例,計(jì)算函數(shù),在點(diǎn),的全微分.,所以,39,答案,練習(xí),40,解,例,計(jì)算,的近似值.,利用函數(shù),在點(diǎn),處的可微性,可得,41,考慮二元函數(shù) f (x, y)的下面4條性質(zhì):,選擇題, f (x, y)在點(diǎn)(x0 , y0)處連續(xù), f (x, y)在點(diǎn)(x0 , y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), f (x, y)在點(diǎn)(x0 , y0)處可微,f (x, y)在點(diǎn)(x0 , y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.,若用“”,表示可由性質(zhì)p推出性質(zhì)q,則有,42,連續(xù).,d,結(jié)論不正確的是( ).,都存在,43,d,44,是非題,(非),事實(shí)上,45,偏導(dǎo)數(shù)的定義,偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,(偏增量比的極限),偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)、極限的關(guān)系,四、小結(jié),46,全微分的定義,全微分的計(jì)算,多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)、可微的關(guān)系,(注意：與一元函數(shù)有很大的區(qū)別),可微分的必要條件、,可微分的充分條件,47,對(duì)一元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微間的關(guān)系：,可微 可導(dǎo) 連續(xù) 有極限,對(duì)多元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系：,偏導(dǎo)連續(xù) 可微 連續(xù) 有極限,有偏導(dǎo),48,思考題1